Ta đã biết (§ 2, no. 1, Mệnh đề 1) rằng $\overline{H}$ là một nhóm con của $G$. Ngoài ra, nếu $\alpha$ là một toán tử tùy ý trên $G$, thì ảnh của $H$ qua ánh xạ liên tục $x \to x^\alpha$ được chứa trong $H$, và do đó ảnh của $\overline{H}$ được chứa trong $\overline{H}$ (Chương I, § 2, no. 1, Định lý 1).

Cho $H$ là một nhóm con chuẩn ổn định của một nhóm tôpô $G$ với toán tử. Khi đó, với mỗi toán tử $\alpha$ trên $G$, ánh xạ của $G/H$ vào chính nó cảm sinh bởi $x \to x^\alpha$ là liên tục (§ 2, no. 8, Nhận xét 3), và do đó cấu trúc nhóm với toán tử trên $G/H$ là tương thích với tôpô thương trên $G/H$.

Cho $(G_i)_{i \in I}$ là một họ các nhóm tôpô với toán tử, trong đó mỗi $G_i$ được giả sử có cùng tập toán tử $\Omega$. Với mỗi $\alpha \in \Omega$, ánh xạ $x \to ((\mathrm{pr}_i x)^\alpha)$ của $G = \prod_{i \in I} G_i$ vào chính nó là liên tục (Chương I, § 4, no. 1, Mệnh đề 1), và do đó cấu trúc các nhóm với toán tử trên $G$ là tương thích với tôpô tích trên $G$.

Nếu $G$ là một nhóm tôpô Hausdorff với toán tử và nếu $G$ có một phép hoàn thiện $\hat{G}$ (§ 3, no. 4), thì mọi tự đồng cấu $x \to x^\alpha$ của $G$ được xác định bởi một toán tử trên $G$ có thể được mở rộng bởi tính liên tục thành một tự đồng cấu của $\hat{G}$ (§ 3, no. 3, Mệnh đề 5). Do đó $\hat{G}$ có cấu trúc của một nhóm tôpô với toán tử, và tập toán tử là giống nhau đối với $\hat{G}$ và $G$.

Vì ánh xạ $x \to (p_i(x))$ là nghịch đảo của ánh xạ $(x_i) \to \sum_{i=1}^n x_i$.

Vì $1 = \sum_{i=1}^n P_i$ (trong đó $1$ ký hiệu cho ánh xạ đồng nhất của $E$) nên chỉ cần $n - 1$ trong số các phép chiếu $p_i$ là liên tục để phép chiếu thứ $n$ cũng liên tục.

Nếu $E$ là tổng trực tiếp tôpô của hai nhóm con ổn định $M, N$, thì $N$ được gọi là một phần bù tôpô của $M$ trong $E$; điều này xảy ra khi và chỉ khi ánh xạ chính tắc của $E/M$ lên là một đẳng cấu của các nhóm tôpô với các toán tử.

a) $M$ có một phần bù tôpô trong $E$.

b) Có một phép chiếu liên tục $p$ của $E$ vào $E$ sao cho $p(E) = M$.

c) Ánh xạ đồng nhất của $M$ có thể được mở rộng thành một ánh xạ tuyến tính liên tục của $E$ lên $M$.

Từ Mệnh đề 2 suy ra rằng a) kéo theo b), và hiển nhiên rằng b) kéo theo c). Cuối cùng, nếu $p$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục của $E$ lên $M$ mở rộng ánh xạ đồng nhất của $M$, thì $p$ là một phép chiếu liên tục, và các phép chiếu $p$ và $1 - p$ liên kết với phân tích tổng trực tiếp $E = M + N$, trong đó $N = \overline{p}(0)$.

Các điều kiện là cần thiết. Thật vậy, khi đó ta có $u(v(F)) = F$ và a fortiori $u(E) = F$; hơn nữa, nếu $p = v \circ u$, thì $p$ là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ $E$ vào chính nó sao cho $p^2 = p$; do đó (Hệ quả của Mệnh đề 2) $p(E) = v(u(E)) = v(F)$ có một phần bù tôpô $\overline{p}(0)$ trong $E$; nhưng vì $u(p(x))) = u(x)$ theo giả thiết, ta có $\overline{u}(0) = \overline{p}(0)$. Cuối cùng, ánh xạ song ánh từ $E/\overline{u}(0)$ lên $F$, liên kết với $u$, là hợp thành của ánh xạ song ánh từ $E/\overline{u}(0)$ lên $v(F)$, liên kết với $p$, và hạn chế của $u$ trên $v(F)$; vì $v$ liên tục, cả hai ánh xạ này đều là các đẳng cấu, và do đó $u$ là một cấu xạ ngặt từ $E$ lên $F$.

Các điều kiện là đủ. Thật vậy, nếu $\varphi$ là đồng cấu chính tắc từ E lên $E/\overline{u}^1(o)$, việc nói rằng $\overline{u}^1(o)$ có một phần bù tôpô M trong E chính là nói rằng hạn chế của $\varphi$ trên M là một đẳng cấu của M lên $E/\overline{u}^1(o)$. Mặt khác, vì $u = w \circ \varphi$, trong đó w là một đẳng cấu của $E/\overline{u}^1(o)$ lên F, ta thấy rằng hạn chế của u trên M là một đẳng cấu của M lên F, và đẳng cấu nghịch đảo v do đó thỏa mãn $u \circ v$ là ánh xạ đồng nhất của F lên chính nó.

Các điều kiện là đủ, vì nếu chúng được thỏa mãn thì ta thu được một nghịch đảo trái v của u bằng cách lấy hợp thành của đẳng cấu từ u(E) lên E là nghịch đảo của u, với một phép chiếu liên tục của F lên u(E).

Các điều kiện là cần thiết. Thật vậy, quan hệ $v(u(x)) = x$ cho thấy rằng $\overline{u}^1(o) = \{ o \}$; do đó u là một song ánh của E lên u(E), và vì hạn chế của v trên u(E) là liên tục, suy ra rằng u là một đẳng cấu của E lên u(E). Mặt khác, nếu đặt $q = u \circ v$, thì q là một ánh xạ tuyến tính liên tục từ F lên u(E) sao cho $q^2 = q$, điều này chứng minh (Hệ quả của Mệnh đề 2) rằng u(E) có một phần bù tôpô trong F.

Chứng minh giống như đối với Mệnh đề 8 của § 2, số 3 : nếu chẳng hạn $K$ là một iđêan trái trong $H$, thì ánh xạ $(z, x) \to zx$ là liên tục trên $A \times A$ và biến $H \times K$ vào $K$; do đó nó biến $A \times K = \overline{H} \times K$ vào $\overline{H}$.

Cho $H$ là một iđêan hai phía trong một vành tôpô $A$. Theo cùng lập luận như đối với các nhóm thương, ta thấy rằng thương của tôpô của $A$ theo quan hệ $x - y \in H$ là tương thích với cấu trúc vành của $A/H$. Đặc biệt, nếu $A$ không Hausdorff, thì bao đóng $N$ của $\{0\}$ trong $A$ là một iđêan hai phía đóng, theo Mệnh đề 5; vành thương, là Hausdorff ($\S$ 2, no. 5, Mệnh đề 13) được gọi là vành Hausdorff liên kết với $A$.

Cho $(A_i)_{i \in I}$ là một họ các vành tôpô. Trên tập hợp $A = \prod_{i \in I} A_i$, tích của các tôpô của các $A_i$ là tương thích với tích của các cấu trúc vành của các $A_i$ (chứng minh tương tự như đối với các nhóm tích); vành tôpô $A$ được xác định như vậy được gọi là tích của các vành tôpô $A_i$.

Cho $(x_0, y_0)$ là một điểm tùy ý của $E \times F$, và cho $\mathfrak{U}, \mathfrak{B}$ là các vết trên A, B tương ứng của các lọc lân cận của $x_0, y_0$ ($\mathfrak{U}, \mathfrak{B}$ là các lọc, theo giả thiết). Để chỉ ra rằng f có thể được mở rộng bằng tính liên tục, chỉ cần chỉ ra rằng $f(\mathfrak{U} \times \mathfrak{B})$ là một cơ sở lọc Cauchy trên G (Chương II, § 3, no. 6, Mệnh đề 11). Xét đẳng thức

Ta sẽ chỉ ra rằng bằng cách lấy $(x, y)$ và $(x', y')$ trong một tập hợp đủ nhỏ của $\mathfrak{U} \times \mathfrak{B}$, và bằng cách chọn $x_1$ và $y_1$ thích hợp, ta có thể làm cho mỗi số hạng ở vế phải rất nhỏ. Cho W là một lân cận bất kỳ của 0 trong G; vì f liên tục tại $(0, 0) \in A \times B$, nên có một tập hợp $U \in \mathfrak{B}$ và một tập hợp $V \in \mathfrak{B}$ sao cho $f(x' - x, y' - y) \in W$ bất cứ khi nào $x \in U, x' \in U, y \in V, y' \in V$. Lấy một điểm $x_1 \in U$ và một điểm $y_1 \in V$; khi đó với mọi $x, x'$ trong U và mọi $y, y'$ trong V ta sẽ có

Mặt khác, ánh xạ từng phần $x \to f(x, y_1)$ là liên tục trên A; do đó có một tập hợp $U' \subset U$, thuộc $\mathfrak{U}$, và sao cho, bất cứ khi nào $x$ và $x'$ thuộc $U'$, ta có $f(x' - x, y_1) \in W$. Tương tự, tồn tại $V' \subset V$ thuộc $\mathfrak{B}$ sao cho, bất cứ khi nào $y$ và $y'$ thuộc $V'$, ta có $f(x_1, y' - y) \in W$. Do đó, nếu $(x, y)$ và $(x', y')$ là hai điểm bất kỳ của $U' \times V'$, thì

điều này chứng minh sự tồn tại của mở rộng $\overline{f}$ của f. Việc $\overline{f}$ là $\mathbf{Z}$-song tuyến tính là một hệ quả ngay lập tức của nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức (Chương I, § 8, no. 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2).

Q.E.D.

Trong ứng dụng của định lý này vào một vành tôpô Hausdorff A, ta lấy E, F và G lần lượt là $\hat{A}$, A và B là vành A, và f là

(*) $f$ được gọi là $\mathbf{Z}$-song tuyến tính nếu, với mọi phần tử $x, x'$ của A và mọi phần tử $y, y' \in B$ ta có

ánh xạ $\mathbf{Z}$-song tuyến tính $(x, y) \to xy$, mà theo giả thiết là liên tục. Ta lại ký hiệu bởi $xy$ giá trị của hàm mở rộng trên $\hat{A} \times \hat{A}$; hàm này là một luật hợp thành trên $\hat{A}$, và nói rằng nó là $\mathbf{Z}$-song tuyến tính có nghĩa là nó phân phối về cả hai phía đối với phép cộng; và nó cũng kết hợp, theo nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức. Do đó:

Nếu $A$ là giao hoán (tương ứng có một phần tử đơn vị) thì điều tương tự cũng đúng đối với $\hat{A}$ (nguyên lý mở rộng các đồng nhất thức).

Cho $A$ là một vành tôpô, không nhất thiết Hausdorff; cho $N$ là bao đóng của $\{0\}$ trong $A$, và cho $A' = A/N$ là vành Hausdorff liên kết với $A$. Khi đó $\hat{A}'$, phép hoàn thành của $A'$, được gọi là phép hoàn thành Hausdorff của $A$ và cũng được ký hiệu là $\hat{A}$. Ta chứng minh như trong § 3, no. 4, Mệnh đề 8 rằng mọi đồng cấu vành liên tục $u$ của $A$ với một vành tôpô Hausdorff đầy đủ $C$ đều có thể được phân tích duy nhất thành $u = v \circ \varphi$, trong đó $v$ là một đồng cấu liên tục từ $\hat{A}$ vào $C$ và $\varphi$ là ánh xạ chính tắc của $A$ vào $\hat{A}$. Nếu $A, B$ là hai vành tôpô, và $u : A \to B$ là một đồng cấu liên tục, thì do đó tồn tại duy nhất một đồng cấu liên tục $\hat{u} : \hat{A} \to \hat{B}$ sao cho biểu đồ

là giao hoán ($\varphi$ và $\psi$ là các ánh xạ chính tắc); ta chỉ cần áp dụng kết quả trước đó cho $\psi \circ u$.

Có những vành chia tôpô trong đó điều kiện này không được thỏa mãn và trong đó vành $\hat{K}$ có các ước không (xem Bài tập 26). Hơn nữa, ngay cả khi phép đầy đủ $\hat{K}$ là một vành chia tôpô, không có lý do tiên nghiệm nào để giả sử rằng các cấu trúc nhân của $\hat{K}$ là các cấu trúc của một không gian đầy đủ. Tuy nhiên, điều này sẽ đúng đối với các vành chia $K$ sao cho $\hat{K}$ là địa phương compact (xem Chương I, § 9, no. 7, Mệnh đề 13, và Chương III, § 3, no. 3, Mệnh đề 4) và đối với các trường tôpô; đối với trường hợp sau, ta có mệnh đề sau:

Ta sẽ chứng minh rằng nếu $\mathfrak{F}$ là một lọc Cauchy đối với cấu trúc nhân trên K*, thì $\mathfrak{F}$ là một lọc Cauchy đối với cấu trúc cộng tính trên K, và không hội tụ về 0; điều này sẽ thiết lập kết quả. Cho U là một lân cận bất kỳ của 0 trong K, cho V là một lân cận đóng của 0 sao cho $V \subset U, VV \subset U$ [tiên đề (AV$_\text{II}$)] và $-1 \notin V$; khi đó theo giả thiết tồn tại một tập hợp $A \in \mathfrak{F}$ sao cho, với mọi $x \in A$ và $y \in A$, ta có $x^{-1}y \in 1 + V$. Cho $a \in A$, khi đó $A \subset a + aV$, và $a + aV$ là một tập hợp đóng không chứa 0; do đó 0 không thuộc bao đóng của A và vì vậy không là điểm tụ của $\mathfrak{F}$. Cho W là một lân cận của 0 sao cho $aW \subset V$ [tiên đề (AV$_\text{I}$)]; khi đó theo giả thiết tồn tại một tập hợp $B \in \mathfrak{F}$ sao cho $B \subset A$ và, với mọi $x \in B$ và $y \in B$, ta có $x^{-1}y \in 1 + W$; do đó $y - x \in xW \subset AW \subset aW + aVW$; nhưng K là giao hoán, và vì vậy $aVW = aWV \subset VW \subset U$; do đó $y - x \in U + U$ và Mệnh đề được chứng minh.

Cùng một chứng minh cho thấy Mệnh đề 8 có thể được mở rộng đến trường hợp trong đó mọi lọc Cauchy đối với một trong các cấu trúc nhân của K cũng là một lọc Cauchy đối với cấu trúc nhân kia.