a) Nếu nhóm ổn định của mỗi điểm của $X_\alpha$ là một nhóm con compact của $G_\alpha$ với mỗi $\alpha \in I$, thì nhóm ổn định của mỗi điểm $x = (x_\alpha)$ của $X$ là một nhóm con compact của $G$; quỹ đạo của $x$ (đối với $G$) đồng phôi một cách chính tắc với giới hạn ngược của các quỹ đạo của các $x_\alpha$ (đối với $G_\alpha$); và ánh xạ chính tắc $h : X/G \to \varprojlim X_\alpha/G_\alpha$ là đơn ánh.

b) Nếu, với mỗi $\alpha \in I$, mọi quỹ đạo của một điểm của $X_\alpha$ (đối với $G_\alpha$) đều compact, thì mọi quỹ đạo của một điểm của $X$ (đối với $G$) đều tương đối compact, và $h$ là toàn ánh. Nếu thêm nữa $h$ là song ánh, thì mọi quỹ đạo của một điểm của $X$ đều compact.

Thật vậy, các giả thiết của a) và b) được thỏa mãn, vì mọi nhóm con đóng của $G_\alpha$ đều compact và $u_\alpha : s_\alpha \to s_\alpha \cdot x_\alpha$ là một ánh xạ liên tục từ một không gian compact vào một không gian Hausdorff.

Vì giả thiết a) được thỏa mãn, và $X'_\alpha = X_\alpha$ với mỗi $\alpha$.

Tương tự, giả thiết của b) suy ra rằng hệ ngược các ánh xạ chính tắc $v_\alpha : X_\alpha \to X_\alpha/G_\alpha$ thỏa mãn các điều kiện của Chương I, § 9, no. 6, Mệnh đề 8, Hệ quả 2, và do đó giới hạn ngược của nó $v = \varprojlim v_\alpha : X \to \varprojlim X_\alpha/G_\alpha$ là toàn ánh, và ảnh ngược qua v của mọi điểm của $\varprojlim X_\alpha / G_\alpha$ là compact. Vì v phân tích thành

trong đó $\psi$ là ánh xạ chính tắc, nên các khẳng định của b) suy ra.

Giả sử rằng các $G_\alpha$ là Hausdorff. Với mỗi $\alpha \in I$, gọi $K_\alpha$ là một nhóm con compact của $G_\alpha$, sao cho $f_{\alpha \beta} (K_\beta) \subset K_\alpha$ mỗi khi $\alpha \leq \beta$. Khi đó, nếu $K = \varprojlim K_\alpha$, ánh xạ chính tắc $h$ của không gian thuần nhất $G/K$ vào $\varprojlim G_\alpha / K_\alpha$ là một đồng phôi.

Việc $h$ là song ánh suy ra từ Hệ quả 1, áp dụng bằng cách thay $X_\alpha$ bằng $G_\alpha$, và $G_\alpha$ bằng $K_\alpha$ tác động bởi các phép tịnh tiến phải (§ 2, no. 5). Gọi $\varphi$ là ánh xạ chính tắc $G \to G/K$, và với mỗi $\alpha$ gọi $f_\alpha$ là ánh xạ chính tắc $G \to G_\alpha$. Nếu, với mỗi $\alpha$, $V_\alpha$ chạy qua một hệ cơ bản các lân cận mở của phần tử đơn vị $e_\alpha$ của $G_\alpha$, thì các tập $V = \overline{f}_\alpha^{-1}(V_\alpha)$ ($\alpha$ và $V_\alpha$ biến) lập thành một hệ cơ bản các lân cận của phần tử đơn vị $e$ trong $G$ (Chương I, § 4, no. 4, Mệnh đề 9), và các tập $\varphi(V.K)$ lập thành một hệ cơ bản các lân cận của $\varphi(e)$ trong $G/K$. Ta phải chứng minh rằng ảnh của $\varphi(V.K)$ dưới $h$ chứa một lân cận của $h(\varphi(e))$, tức là tồn tại $\beta \geq \alpha$ và một lân cận $W_\beta$ của $e_\beta$ trong $G_\beta$ sao cho $\overline{f}_\beta^{-1}(W_\beta . K_\beta) \subset V.K$. Bây giờ, quan hệ $x \in V.K$ tương đương với sự tồn tại của $y$ trong $K$ sao cho $f_\alpha(xy^{-1}) \in V_\alpha$, tức là $f_\alpha(x) \in V_\alpha \cdot f_\alpha(K)$; do đó $V.K = \overline{f}_\alpha^{-1}(V_\alpha \cdot f_\alpha(K))$. Đặt $U_\alpha = V_\alpha \cdot f_\alpha(K)$; ta sẽ thấy rằng tồn tại $\beta \geq \alpha$ sao cho nếu ta đặt $U_\beta = \overline{f}_{\alpha \beta}^{-1}(U_\alpha)$, thì $K_\beta \subset U_\beta$; khi đó sẽ suy ra rằng có một lân cận $W_\beta$ của $e_\beta$ trong $G_\beta$ sao cho $W_\beta . K_\beta \subset U_\beta$ (Chương II, § 4, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 4), và điều này sẽ thiết lập quan hệ mong muốn

Chúng ta tiến hành bằng phản chứng: với mỗi $\beta \geq \alpha$, đặt $M_\beta$ là $K_\beta \cap G U_\beta$; vì $f_{\beta \gamma}^{-1}(U_\beta) = U_\gamma$ nếu $\alpha \leq \beta \leq \gamma$, nên các $M_\beta$ tạo thành một hệ ngược các tập con compact của các $G_\beta$ (với $\beta \geq \alpha$). Nếu tất cả chúng đều không rỗng, thì giới hạn ngược của chúng $M$ cũng sẽ không rỗng (Chương I, § 9, no. 6, Mệnh đề 8). Rõ ràng $M \subset K$ và $f_\alpha(M) \subset M_\alpha$; nhưng điều này là vô lý vì $f_\alpha(K) \subset U_\alpha$, và do đó chứng minh hoàn tất.

(AP) Với mỗi $\alpha \in I$, $H_\alpha$ đóng trong $G$ và mọi lân cận của phần tử đơn vị $e$ trong $G$ đều chứa một trong các $H_\alpha$ (nói cách khác, cơ sở lọc do các $H_\alpha$ tạo thành hội tụ về $e$).

Khi đó ánh xạ $i : G \to \tilde{G} = \varprojlim G / H_\alpha$ là một cấu xạ ngặt từ $G$ lên $i(G)$; $\tilde{G}$ là Hausdorff và $i(G)$ trù mật trong $\tilde{G}$; và cuối cùng hạt nhân của $i$ là bao đóng của $\{e\}$ trong $G$. Nếu thêm nữa một trong các $H_\alpha$ đầy đủ, thì $i$ là toàn ánh.

Rõ ràng $G_\alpha = G / H_\alpha$ là Hausdorff (§ 2, no. 5, Mệnh đề 13), do đó $\tilde{G}$ cũng vậy (vì nó là một không gian con của $\prod_{\alpha \in I} G_\alpha$). Hạt nhân $H$ của $i$ là giao của các $H_\alpha$ và vì thế là một nhóm con đóng của $G$. Vì mỗi lân cận của $e$ đều chứa một $H_\alpha$ nào đó, nên nó chứa $H$ và do đó [Chương I, § 4, no. 4, Mệnh đề 9] $H$ là bao đóng của $\{e\}$. Tiếp theo hãy chứng minh rằng $i(G)$ trù mật trong $\tilde{G}$. Gọi $f_\alpha$ là ánh xạ chính tắc $\tilde{G} \to G_\alpha$, tức là sự hạn chế lên $\tilde{G}$ của phép chiếu $pr_\alpha$; $\varphi_\alpha = f_\alpha \circ i$ là ánh xạ chính tắc $G \to G/H_\alpha$. Nếu $U$ là bất kỳ tập mở không rỗng nào của $\tilde{G}$, thì tồn tại một chỉ số $\alpha \in I$ và một tập mở không rỗng $U_\alpha$ trong $G_\alpha$ sao cho $\overline{f}_\alpha^{-1}(U_\alpha) \subset U$ (Chương I, § 4, no. 4, Mệnh đề 9); do đó

nhưng vì $\varphi_\alpha$ là toàn ánh, $\overline{i}^{-1}(U)$ không rỗng, và do đó $i(G) \cap U \neq \emptyset$.

Để thấy rằng $i$ là một cấu xạ ngặt của $G$ lên $i(G)$, hãy xét một lân cận $V$ của $e$ trong $G$. Có một lân cận $W$ của $e$ trong $G$ sao cho $W^2 \subset V$, và một chỉ số $\alpha \in I$ sao cho $H_\alpha \subset W$; suy ra $V$ chứa $WH_\alpha = \overline{\varphi}_\alpha(\varphi_\alpha(W)) = \overline{i}^{-1}(\overline{f}_\alpha^{-1}(\varphi_\alpha(W)))$. Vì $\overline{f}_\alpha(\varphi_\alpha(W))$ là một lân cận của phần tử đơn vị trong $\tilde{G}$, suy ra điều phải chứng minh.

Cuối cùng, giả sử rằng có một chỉ số $\gamma \in I$ sao cho $H_\gamma$ đầy đủ. Để chứng minh rằng $i$ là toàn ánh, chỉ cần chứng minh rằng mọi họ $(T_\alpha)_{\alpha \in I} \in \tilde{G}$ đều có một giao không rỗng. Vì $T_\gamma$ thu được từ $H_\gamma$ bằng phép tịnh tiến, nó là một không gian con đầy đủ của $G$ (đối với cả cấu trúc đều phải và đều trái). Hơn nữa, vì mọi lân cận $U$ của $e$ trong $G$ đều chứa một trong các $H_\alpha$, tập tương ứng $T_\alpha$ là $U_{d-}$ (hoặc $U_{s-}$) nhỏ, và do đó họ các $T_\alpha$ được chứa trong $T_\gamma$ là một cơ sở lọc Cauchy; vì thế nó hội tụ trong $T_\gamma$, và vì các $T_\alpha$ là đóng trong $G$ (do chúng là các phép tịnh tiến của các $H_\alpha$), giao của chúng không rỗng.

Q.E.D.

Vì $\tilde{G}$ khi đó đầy đủ (no. 2), và Mệnh đề 2 cho thấy $i(G)$ đẳng cấu với nhóm Hausdorff liên kết với $G$; vì nó trù mật trong $\tilde{G}$, hệ quả suy ra ($§ 3$, no. 3, Mệnh đề 5). Nói riêng:

Nhóm con $H_\alpha$ của $G$ là mở và do đó cũng đóng ($\S$ 2, no. 1, Hệ quả của Mệnh đề 4), và $G/H_\alpha$ là rời rạc ($\S$ 2, no. 6, Mệnh đề 18); do đó các điều kiện của Hệ quả 1 được thỏa mãn.

Trong phần còn lại của tiểu mục này, ta sẽ giả sử rằng $G$ là Hausdorff và rằng $(H_\alpha)$ là một họ các nhóm con chuẩn compact của $G$, có hướng theo quan hệ $H_\alpha \supset H_\beta$ và thỏa mãn điều kiện (AP); theo Mệnh đề 2, ánh xạ

khi đó là một đẳng cấu của các nhóm tôpô cho phép ta đồng nhất $G$ và $\tilde{G}$. Ta ký hiệu $f_\alpha$ là ánh xạ chính tắc $G \to G/H_\alpha$.

Vì $E$ là giao của các tập $EV$ khi $V$ chạy qua họ lân cận của $e$ [$\S$ 3, no. 1, công thức (1)], và mọi lân cận của $e$ đều chứa một $H_\alpha$; do đó có kết quả, vì $E \subset EH_\alpha$.

a) Vì $H_\alpha$ là compact, $LH_\alpha$ đóng trong $G$ ($\S$ 4, no. 1, Mệnh đề 1, Hệ quả 1) và do đó $L_\alpha$ đóng trong $G_\alpha$. Vì $i$ đồng nhất các nhóm tôpô $G$ và $\varprojlim G_\alpha$, và vì $\varprojlim L_\alpha$ có thể được đồng nhất với một nhóm con (tôpô) của $\varprojlim G_\alpha$, $i$ đồng nhất nhóm con $\bigcap_\alpha LH_\alpha$ của $G$ với $\varprojlim L_\alpha$, và để chứng minh khẳng định thứ nhất chỉ cần nhận xét rằng $L = \bigcap_\alpha LH_\alpha$ theo Bổ đề 1. Mặt khác, nếu $L$ là chuẩn tắc, thì với mỗi $\alpha \in I$ ánh xạ $f'_\alpha : G/L \to G_\alpha/L_\alpha$ cảm sinh bởi $f_\alpha$ là một cấu xạ ngặt toàn ánh ($\S$ 2, no. 8, Nhận xét 3), có hạt nhân là nhóm con chuẩn tắc compact $H_\alpha L/L$ của $G/L$, ảnh chính tắc của nhóm con compact $H_\alpha$ của $G$. Vì các nhóm con $H_\alpha L/L$ của $G/L$ thỏa mãn điều kiện (AP) ($\S$ 2, no. 8, Mệnh đề 24), và vì $G/L$ là Hausdorff, nên khẳng định cuối cùng của a) là hệ quả của Mệnh đề 2.

b) Đặt $f'_{\alpha \beta}$ là hạn chế của $f_{\alpha \beta}$ lên $L_\beta$ ($\alpha \leq \beta$). Khi đó $(L_\alpha, f'_{\alpha \beta})$ là một hệ ngược các nhóm tôpô, mà giới hạn ngược $L$ có thể được đồng nhất với nhóm con $G \cap \prod_\alpha L_\alpha$ của $G$. Theo giả thiết, $f'_{\alpha \beta}$ là toàn ánh và hạt nhân của nó là nhóm con compact $f_\beta(H_\alpha) \cap L_\beta$ của $L_\beta$; do đó (Chương I, $\S$ 9, no. 6, Hệ quả 1 của Mệnh đề 8) ta có $L_\alpha = f_\alpha(L)$ với mọi $\alpha \in I$. Nếu $L'$ là một nhóm con đóng khác của $G$ sao cho $f_\alpha(L') = L_\alpha$ với mọi $\alpha \in I$, thì $L'H_\alpha = \overline{f'}_\alpha(L_\alpha)$, do đó (Bổ đề 1) $L' = \bigcap_\alpha L'H_\alpha = \bigcap_\alpha \overline{f'}_\alpha(L_\alpha) = L$. Cuối cùng, khẳng định cuối cùng của b) suy ra từ công thức $L = \bigcap_\alpha \overline{f'}_\alpha(L_\alpha)$, vì các $\overline{f'}_\alpha(L_\alpha)$ nay là các nhóm con chuẩn tắc của $G$.

Mệnh đề là một hệ quả của bổ đề sau đây:

Khi bổ đề này đã được thiết lập, ta sẽ có $f_\alpha(C) = C_\alpha$ với mỗi $\alpha \in I$, và vì $C$ là một nhóm con đóng của $G$ (§ 2, no. 2, Mệnh đề 7) nên đủ áp dụng Mệnh đề 3 a).

Để chứng minh bổ đề, trước hết lưu ý rằng nếu $C'$ là thành phần của phần tử đơn vị $e'$ trong $G'$, thì $\varphi(C) \subset C'$ vì $\varphi(C)$ liên thông. Giả sử $\varphi(C) \neq C'$. Vì $C$ là một nhóm con chuẩn tắc đóng của $G$ (§ 2, no. 2, Mệnh đề 7), $\varphi(C)$ là một nhóm con chuẩn tắc của $G'$; nếu $\psi$ là ánh xạ chính tắc $G' \to G'/\varphi(C)$, thì $\psi(C')$ liên thông và không chỉ gồm riêng phần tử đơn vị; do đó thành phần liên thông của đơn vị của $G'/\varphi(C)$ không chỉ gồm riêng phần tử đơn vị. Nhưng $G'/\varphi(C)$ đẳng cấu với $(G/H)/(HC/H)$, do đó với $G/HC$, và do đó cũng đẳng cấu với $(G/C)/(HC/C)$ (§ 2, no. 7, Hệ quả của Mệnh đề 22, và Mệnh đề 20). Bây giờ, $G/C$ là Hausdorff và liên thông rời rạc hoàn toàn (Chương I, § 11, no. 5, Mệnh đề 9), và $HC/C$, là ảnh chính tắc của nhóm con chuẩn tắc compact $H$ của $G$, là một nhóm con compact của $G/C$. Vì vậy chỉ cần chứng minh Bổ đề 2 dưới giả thiết bổ sung rằng $G$ là liên thông rời rạc hoàn toàn, tức là $C = \{e\}$.

Giả sử khi đó $C' \neq \{e'\}$; thay $G$ bởi nhóm con $\overline{f'}(C')$ của nó, là liên thông rời rạc hoàn toàn và chứa $H$, ta có thể giả sử rằng $G'$ là liên thông và không chỉ gồm một điểm đơn.

Cho $\mathfrak{M}$ là tập hợp các nhóm con đóng $L$ của $G$ sao cho $LH = G$. Ta sẽ chứng minh rằng tập hợp $\mathfrak{M}$, được sắp thứ tự theo quan hệ $\supset$, là quy nạp. Thật vậy, nếu $\mathfrak{T}$ là một tập con có thứ tự tuyến tính của $\mathfrak{M}$, thì với mỗi $x \in G$ tập hợp các tập hợp $xH \cap L$ với $L \in \mathfrak{T}$ là một cơ sở lọc gồm các tập hợp đóng trong không gian compact $xH$; do đó giao của các tập hợp này không rỗng, điều đó cho thấy rằng giao của các nhóm con $L \in \mathfrak{T}$ thuộc $\mathfrak{M}$. Áp dụng bổ đề Zorn, do đó ta thấy rằng $\mathfrak{M}$ có một phần tử cực tiểu $L_0$. Vì $H$ là compact, $G/H = L_0H/H$ đẳng cấu với $L_0/(L_0 \cap H)$ (§ 4, no. 1, Mệnh đề 1, Hệ quả 3); vì $L_0$ hoàn toàn rời rạc và $L_0 \cap H$ compact, ta thấy rằng có thể thay $G$ bởi $L_0$; nói cách khác, ta có thể giả sử thêm rằng không có nhóm con đóng $L \neq G$ nào sao cho $LH = G$.

Bây giờ đặt $F$ là giao của các lân cận của phần tử đơn vị vừa mở vừa đóng trong $G$, và ta chứng minh rằng $F$ là một nhóm con đóng của $G$. Rõ ràng $F$ đóng trong $G$; do đó chỉ cần chứng minh rằng $F^{-1}F \subset F$. Nhưng nếu $x \in F$ và nếu $V$ là một lân cận mở và đóng của $e$ trong $G$, thì $xV$ cũng vậy; vì nếu không thì $e$ sẽ thuộc bù $W$ của $xV$ trong $G$, mà $W$ cũng mở và đóng, và ta phải có $x \notin W$; do đó $x \notin F$, trái với giả thiết. Suy ra rằng $xF$, là giao của các tập hợp $xV$ khi $V$ chạy qua các lân cận mở và đóng của $e$ trong $G$, chứa $F$; nói cách khác, $x^{-1}F \subset F$, điều đó chứng minh mệnh đề của chúng ta. Vì $G$ liên thông rời rạc toàn phần và $G \neq \{e\}$, ta có $F \neq G$. Nhưng nếu $V$ là một lân cận mở và đóng của $e$ trong $G$, thì $VH$ cũng mở và đóng trong $G$ (§ 4, số 1, Hệ quả 1 của Mệnh đề 1), do đó $\varphi(V)$ vừa mở vừa đóng trong $G/H$, và điều này suy ra $\varphi(V) = G/H$ theo giả thiết. Từ đó ta sẽ kết luận rằng $FH = G$, điều này sẽ cho ta mâu thuẫn mong muốn và hoàn tất chứng minh của bổ đề. Thật vậy, với mỗi $x \in G$, $xH$ gặp mọi lân cận $V$ của $e$ vừa mở vừa đóng, do đó cũng gặp giao $F$ của các lân cận này, vì các tập $Vx \cap H$ tạo thành một cơ sở lọc gồm các tập đóng trong không gian compact $xH$.

Q.E.D.