On sait déjà que $\overline{H}$ est un sous-groupe de G (III, p. 7, prop. 1); en outre, pour tout opérateur $\alpha$ de G, l’image de H par l’application continue $x \mapsto x^\alpha$ est contenue dans H, donc l’image de $\overline{H}$ est contenue dans $\overline{H}$ (I, p. 9, th. 1).

Soit H un sous-groupe stable distingué d’un groupe topologique à opérateurs; pour tout opérateur $\alpha$ de G, l’application de G/H dans lui-même obtenue à partir de $x \mapsto x^\alpha$ par passage aux quotients est continue (III, p. 17, Remarque 3); la structure de groupe à opérateurs de G/H est donc compatible avec la topologie quotient de celle de G par H.

Soit $(G_t)_{t \in I}$ une famille de groupes topologiques à opérateurs, tous les $G_t$ étant supposés avoir le même ensemble d’opérateurs $\Omega$. Pour tout $\alpha \in \Omega$, l’application $x \mapsto ((\mathrm{pr}_t x)^\alpha)$ de $G = \prod_{t \in I} G_t$ dans lui-même est continue (I, p. 25, prop. 1); la structure de groupe à opérateurs de G est donc compatible avec la topologie produit des topologies des $G_i$.

Si G est un groupe topologique à opérateurs séparé, admettant un complété $\hat{G}$ (III, p. 24), tout endomorphisme $x \mapsto x^\alpha$ de G, défini par un opérateur de G, se prolonge par continuité en un endomorphisme de $\hat{G}$ (III, p. 22, prop. 5), donc $\hat{G}$ est ainsi muni d’une structure de groupe topologique à opérateurs, ayant même ensemble d’opérateurs que G.

En effet, l’application $x \mapsto (p_i(x))$ est l’application réciproque de $(x_i) \mapsto \sum_{i=1}^n x_i$.

Comme $1_E = \sum_{i=1}^n p_i$ (1_E désignant l’application identique de E), il suffit que $n - 1$ des projecteurs $p_i$ soient continus pour que le n-ème le soit.

Lorsque E est somme directe topologique de deux sous-groupes stables M, N, on dit encore que N est un supplémentaire topologique de M dans E; pour qu’il en soit ainsi, il faut et il suffit que l’application canonique de E/M sur N (A, II, p. 20, prop. 13) soit un isomorphisme de groupes topologiques à opérateurs.

Il résulte de la prop. 2 que a) entraîne b) et il est clair que b) entraîne c). Enfin, si p est une application linéaire continue de E dans M prolongeant l’application identique de M, p est un projecteur continu et les projecteurs p et $1_E - p$ sont associés à la décomposition en somme directe $E = M + N$, où $N = p^{-1}(0)$.

Les conditions sont nécessaires. En effet, on a alors $u(v(F)) = F$ et a fortiori $u(E) = F$; en outre; si l’on pose $p = v \circ u$, p est une application linéaire continue de E dans lui-même telle que $p^2 = p$; par suite (III, p. 47, corollaire) $p(E) = v(u(E)) = v(F)$ admet dans E un supplémentaire topologique $p^{-1}(0)$; mais comme $u(p(x)) = u(x)$ par hypothèse, on a $u(0) = p^{-1}(0)$. Enfin l’application bijective de $E/u^{-1}(0)$ sur F, associée à u, est composée de l’application bijective de $E/p^{-1}(0)$ sur $v(F)$, associée à p, et de la restriction de u à $v(F)$; comme v est continue, ces deux applications sont des isomorphismes, donc u est un morphisme strict de E sur F.

Les conditions sont suffisantes. En effet, si $\varphi$ est l’homomorphisme canonique de E sur $E/u^{-1}(0)$, dire que $u^{-1}(0)$ admet un supplémentaire topologique M dans E signifie que la restriction de $\varphi$ à $M$ est un isomorphisme de $M$ sur $E / u^{-1}(0)$. Comme d’autre part $u = w \circ \varphi$, où $w$ est un isomorphisme de $E / u^{-1}(0)$ sur $E$, on voit que la restriction de $u$ à $M$ est un isomorphisme de $M$ sur $F$, et l’isomorphisme réciproque $v$ est donc tel que $u \circ v$ soit l’application identique de $F$ sur lui-même.

Les conditions sont suffisantes, car si elles sont remplies, on obtient un inverse à gauche $v$ de $u$ en prenant le composé de l’isomorphisme de $u(E)$ sur $E$, réciproque de $u$, et d’un projecteur continu de $F$ sur $u(E)$.

Les conditions sont nécessaires. En effet, la relation $v(u(x)) = x$ montre que $u^{-1}(0)$ est réduit à $0$; $u$ est donc une bijection de $S$ sur $u(E)$, et comme la restriction de $v$ à $u(E)$ est continue, $u$ est un isomorphisme de $E$ sur $u(E)$. D’autre part, si l’on pose $q = u \circ v$, $q$ est une application linéaire continue de $F$ sur $u(E)$ telle que $q^2 = q$, ce qui prouve (III, p. 47, corollaire) que $u(E)$ admet un supplémentaire topologique dans $F$.

Le raisonnement est le même que pour la prop. 9 de III, p. 9: si par exemple K est idéal à gauche dans H, l’application $(z, x) \mapsto zx$ est continue dans $A \times A$, et applique $H \times K$ dans K; elle applique donc $A \times \overline{K} = \overline{H} \times \overline{K}$ dans $\overline{K}$.

Soit H un idéal bilatère dans un anneau topologique A; par le même raisonnement que pour les groupes quotients (III, p. 13, prop. 16), on voit que la topologie quotient de celle de A par la relation $x - y \in H$ est compatible avec la structure d’anneau de A/H. En particulier, l’adhérence N de 0 dans A est un idéal bilatère fermé, d’après la prop. 5; l’anneau quotient A/N, qui est séparé (III, p. 12, prop. 13), est dit l’anneau séparé associé à A.

Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille d’anneaux topologiques. Sur l’ensemble produit $A = \prod_{i \in I} A_i$, la topologie produit des topologies des $A_i$ est compatible avec la structure d’anneau, produit des structures d’anneau des $A_i$ (même démonstration que pour les groupes produits); l’anneau topologique A ainsi défini est dit le produit des anneaux topologiques $A_i$.

Z-bilinéaire$^{1}$ continue de $A \times B$ dans $G$, $f$ peut être prolongée par continuité en une application Z-bilinéaire continu de $E \times F$ dans $G$.

Soient $(x_0, y_0)$ un point quelconque de $E \times F$, $\mathfrak{U}$ et $\mathfrak{V}$ les traces sur $A$ et $B$ respectivement, des filtres de voisinages de $x_0$ et $y_0$ ($\mathfrak{U}$ et $\mathfrak{V}$ sont des filtres par hypothèse); pour montrer que $f$ peut être prolongée par continuité, il suffit de voir que $f(\mathfrak{U} \times \mathfrak{V})$ est une base de filtre de Cauchy dans $G$ (II, p. 20, prop. 11). Partons de l’identité:

Nous allons voir qu’en prenant $(x, y)$ et $(x', y')$ dans un ensemble assez petit de $\mathfrak{U} \times \mathfrak{V}$, et en choisissant convenablement $x_1$ et $y_1$, on peut rendre très petit chacun des termes du second membre. Soit $W$ un voisinage quelconque de 0 dans $G$; $f$ étant continue au point $(0, 0)$ de $A \times B$, il existe un ensemble $U \in \mathfrak{U}$ et un ensemble $V \in \mathfrak{V}$ tels que, pour $x \in U, x' \in U, y \in V, y' \in V$, on ait $f(x' - x, y' - y) \in W$. Prenons un point $x_1 \in U$, et un point $y_1 \in V$; quels que soient $x, x'$ dans $U$, et $y, y'$ dans $V$, on aura donc

D’autre part, l’application partielle $x \mapsto f(x, y_1)$ est continue dans $A$; il existe donc un ensemble $U' \subset U$, appartenant à $\mathfrak{U}$, et tel que, pour $x \in U'$ et $x' \in U'$, on ait $f(x' - x, y_1) \in W$. De même, il existe $V' \subset V$ et appartenant à $\mathfrak{V}$ tel que, pour $y \in V'$ et $y' \in V'$, on ait $f(x_1, y' - y) \in W$. Par suite, si $(x, y)$ et $(x', y')$ sont deux points quelconques de $U' \times V'$, on a

ce qui démontre l’existence du prolongement $\bar{f}$ de $f$. Le fait que $\bar{f}$ est Z-bilinéaire est une conséquence immédiate du principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1).

C.Q.F.D.

Dans l’application de ce théorème à un anneau topologique séparé $A$, on a $E = F = G = \hat{A}, B = A$, et $f$ est l’application Z-bilinéaire $(x, y) \mapsto xy$, continue par hypothèse. On désignera encore par $xy$ la valeur de la fonction prolongée dans $\hat{A} \times \hat{A}$; cette fonction est une loi de composition dans $\hat{A}$, et dire qu’elle est Z-bilinéaire signifie qu’elle est distributive à droite et à gauche par rapport à l’addition; elle est d’autre part associative d’après le principe de prolongement des identités. Enfin, pour la même raison, l’élément unité de $A$ est aussi élément unité de $\hat{A}$. Par suite:

$^{1}$ On rappelle (A, II, p. 50) que $f$ est dite Z-bilinéaire si, quels que soient les éléments $x, x'$ de $A$, et $y, y'$ de $B$, on a

dense d’un anneau séparé et complet $\hat{A}$, déterminé à une isomorphie près (et appelé l’anneau complété de A).

Si A est commutatif il en est de même de $\hat{A}$ (principe de prolongement des identités).

Soient A un anneau topologique non nécessairement séparé, N l’adhérence de 0 dans A, $A' = A/N$ l’anneau séparé associé à A ; l’anneau $\hat{A}'$ complété de A’ s’appelle l’anneau séparé complété de A et se note aussi $\hat{A}$. On démontre comme dans III, p. 25, prop. 8 que tout homomorphisme continu $u$ de A dans un anneau topologique séparé et complet C se factorise de façon unique en $u = v \circ \varphi$, où $v$ est un homomorphisme continu de $\hat{A}$ dans C et $\varphi$ l’application canonique de A dans $\hat{A}$. Si A, B sont deux anneaux topologiques, $u : A \to B$ un homomorphisme continu, il existe donc un homomorphisme continu et un seul $\hat{u} : \hat{A} \to \hat{B}$ tel que le diagramme

soit commutatif ($\varphi$ et $\psi$ étant les applications canoniques) : il suffit en effet d’appliquer à $\psi \circ u$ le résultat précédent.

Il y a des corps topologiques où cette condition n’est pas vérifiée, et où l’anneau $\hat{K}$ admet des diviseurs de 0 (voir III, p. 85, exerc. 26). En outre, lorsque l’anneau complété $\hat{K}$ est un corps topologique, rien n’assure a priori que les structures multiplicatives de $\hat{K}$ soient des structures d’espace complet. Toutefois, il en sera ainsi pour les corps $K$ tels que $\hat{K}$ soit localement compact (voir I, p. 66, prop. 13, et III, p. 22, prop. 4), ou commutatif; en effet, pour ces derniers, on a la proposition suivante:

Nous allons montrer que si $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy pour la structure multiplicative sur $K^*, \mathfrak{F}$ est une base de filtre de Cauchy pour la structure additive sur $K$, et ne converge pas vers 0, ce qui établira la proposition. Soit $U$ un voisinage quelconque de 0 dans $K$, $V$ un voisinage fermé de 0 tel que $V \subset U, VV \subset U$ (III, p. 49, axiome (AV$_{II}$)) et $-1 \notin V$; il existe par hypothèse un ensemble $A \in \mathfrak{F}$ tel que, quels que soient $x \in A, y \in A, x^{-1}y \in 1 + V$. Soit $a$ un point de $A$; on a $A \subset a + aV$, et $a + aV$ est un ensemble fermé ne contenant pas 0, donc 0 n’est pas adhérent à $A$, ni par suite à $\mathfrak{F}$. Soit $W$ un voisinage de 0 tel que $aW \subset V$ (III, p. 49, axiome (AV$_{I}$)); il existe par hypothèse un ensemble $B \in \mathfrak{F}$ tel que $B \subset A$ et que, quels que soient $x \in B, y \in B$, on ait $x^{-1}y \in 1 + W$, d’où $y - x \subset xW \subset AW \subset aW + aVW$; comme $K$ est commutatif, $aVW = aWV \subset VW \subset U$, donc $y - x \in U + U$, ce qui démontre la proposition.

La même démonstration prouve que la prop. 8 s’étend au cas où tout filtre de Cauchy pour l’une des structures multiplicatives de $K$ est aussi un filtre de Cauchy pour l’autre structure multiplicative.