Cho $V'$ là một lân cận của $f(x)$ trong $X'$. Vì $f$ liên tục tại $x$, $\overline{f}^{-1}(V')$ là một lân cận của $x$ trong $X$. Do đó $\overline{f}^{-1}(V')$ giao với $A$, suy ra $V'$ giao với $f(A)$, và vì thế $f(x)$ thuộc bao đóng của $f(A)$.

Cho $V''$ là một lân cận của $h(x) = g(f(x))$ trong $X''$. Vì $g$ liên tục tại $f(x)$ nên suy ra $\overline{g}^{-1}(V'')$ là một lân cận của $f(x)$ trong $X'$. Nhưng $f$ liên tục tại $x$, do đó $\overline{f}^{-1}(\overline{g}^{-1}(V'')) = \overline{h}^{-1}(V'')$ là một lân cận của $x$ trong $X$, và vì thế $h$ liên tục tại $x$.

a) $f$ liên tục trong $X$.

b) Với mọi tập con $A$ của $X$, $f(\overline{A}) \subset \overline{f(A)}$.

c) Ảnh ngược theo $f$ của mọi tập con đóng của $X'$ là một tập con đóng của $X$.

d) Ảnh ngược theo $f$ của mọi tập con mở của $X'$ là một tập con mở của $X$.

Chúng ta đã thấy rằng a) kéo theo b) (Mệnh đề 1). Để chỉ ra rằng b) kéo theo c), lấy $F'$ là một tập con đóng của $X'$ và đặt $F = \overline{f^{-1}(F')}$; khi đó theo giả thiết $f(\overline{F}) \subset \overline{f(F)} \subset \overline{F'} = F'$, do đó $\overline{F} \subset \overline{f^{-1}(F')} = F \subset \overline{F}$, suy ra $F = \overline{F}$ và $F$ là đóng. Nhờ quan hệ $\overline{f^{-1}(A')} = \overline{f^{-1}(CA')}$ với mọi tập con $A'$ của $X'$, c) kéo theo d). Cuối cùng, giả sử rằng d) được thỏa mãn. Lấy $x$ là một điểm bất kỳ của $X$ và $V'$ là một lân cận bất kỳ của $f(x)$ trong $X'$; khi đó tồn tại một tập hợp mở $A'$ trong $X'$ sao cho

và do đó $x \in \overline{f^{-1}(A')} \subset \overline{f^{-1}(V')}$. Theo giả thiết, $\overline{f^{-1}(A')}$ là mở trong $X$, nên $\overline{f^{-1}(V')}$ là một lân cận của $x$ trong $X$. Vậy d) suy ra a).

Nhận xét. 1) Cho $\mathfrak{B}$ là một cơ sở (§ 1, no. 3) của tôpô của $X'$; khi đó để $f : X \to X'$ liên tục, điều kiện cần và đủ là $\overline{f^{-1}(U')}$ mở trong $X$ với mọi $U' \in \mathfrak{B}$.

2) Để một song ánh $f$ của một không gian tôpô $X$ lên một không gian tôpô $X'$ là một đồng phôi, điều kiện cần và đủ là $f$ và nghịch đảo của $f$ đều liên tục (hay, như người ta cũng nói, là $f$ song liên tục).

Mệnh đề thứ nhất là một hệ quả ngay lập tức của Mệnh đề 2; mệnh đề thứ hai suy ra từ Định lý 1, d) và định nghĩa của một đồng phôi (§ 1, no. 1).

Gọi $\mathscr{D}$ là tập hợp của mọi hợp của các tập hợp thuộc $\mathfrak{B}$; rõ ràng $\mathscr{D}$ thỏa mãn tiên đề $(O_1)$ vì phép lập hợp là kết hợp; và $\mathscr{D}$ thỏa mãn tiên đề $(O_{II})$ do định nghĩa của $\mathfrak{B}$ và việc giao hữu hạn có tính phân phối đối với hợp tùy ý [Lý thuyết tập hợp, R § 4, công thức (37)]. Vậy $\mathscr{D}$ là tập hợp các tập con mở của $X$ đối với một tôpô $\mathfrak{T}$ mà $\mathfrak{B}$ là một cơ sở. Ta sẽ chứng minh khẳng định cuối cùng của mệnh đề, điều này suy ra các khẳng định khác do các tính chất tổng quát của các cấu trúc ban đầu (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 3, tiêu chuẩn CST 9). Trước hết, định nghĩa của $\mathscr{S}$ cho thấy các $f_i$ liên tục trên $X$ (no. 1, Định lý 1); do đó, nếu $g$ liên tục tại $z$, thì các ánh xạ $f_i \circ g$ cũng vậy (no. 1, Mệnh đề 2). Ngược lại, giả sử rằng mọi ánh xạ $f_i \circ g$ đều liên tục tại $z$, và gọi $V$ là một lân cận của $g(z)$ trong $X$; theo định nghĩa, tồn tại một tập con hữu hạn $J$ của $I$, và với mỗi $i \in J$ một tập con mở $U_i$ của $Y_i$ sao cho $V$ chứa tập hợp $\bigcap_{i \in J} \overline{f}_i^{-1}(U_i)$ và $g(z)$ thuộc tập hợp này. Suy ra rằng

Cho $\mathfrak{B}_i$ là một cơ sở của tôpô của $Y_i (i \in I)$; gọi $\mathscr{S}'$ là tập hợp các tập con của $X$ có dạng $\overline{f}_i^{-1}(U_i)$ với $i \in I$ và $U_i \in \mathfrak{B}_i$ đối với mỗi $i \in I$; nếu $\mathfrak{B}'$ là tập hợp các giao hữu hạn của các tập thuộc $\mathscr{S}'$, thì hiển nhiên $\mathfrak{B}'$ là một cơ sở của tôpô $\mathfrak{T}$.

Các tính chất tổng quát của các cấu trúc ban đầu (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 3, tiêu chuẩn CST 10) đặc biệt kéo theo tính chất bắc cầu sau đây (mà chứng minh trực tiếp của nó khá dễ dàng):

Người ta kiểm tra ngay lập tức rằng $\mathscr{D}$ thỏa mãn các tiên đề $(O_I)$ và $(O_{II})$. [Lý thuyết tập hợp, R, § 4, các công thức (34) và (46)]. Ta sẽ chứng minh khẳng định cuối cùng của mệnh đề, điều này suy ra các mệnh đề khác do các tính chất tổng quát của các cấu trúc cuối cùng (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 5, tiêu chuẩn CST 18). Rõ ràng là các $f_i$ liên tục đối với tôpô $\mathfrak{T}$, theo định nghĩa của $\mathscr{D}$ (no. 1, Định lý 1); do đó nếu $g$ liên tục thì mỗi ánh xạ $g \circ f_i$ cũng liên tục (no. 1, Định lý 2). Ngược lại, giả sử rằng mỗi $g \circ f_i$ đều liên tục, và gọi $V$ là một tập hợp mở trong $Z$; theo giả thiết, $\overline{f}_i^{-1}(\overline{g}^{-1}(V))$ là mở trong $Y_i$ với mọi $i \in I$; do đó $\overline{g}^{-1}(V) \in \mathscr{D}$, và chứng minh là đầy đủ.

Điều này suy ra từ định nghĩa của các tập mở trong tôpô $\mathfrak{T}$ bằng cách lấy phần bù.

Các tính chất tổng quát của các cấu trúc cuối (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 5, criterion CST 19) suy ra tính chất tính bắc cầu sau đây (mà chứng minh trực tiếp của nó cũng là hiển nhiên):

Ví dụ

1) Tôpô thương. Cho $X$ là một không gian tôpô, $R$ là một quan hệ tương đương trên $X$, $Y = X/R$ là tập thương của $X$ đối với quan hệ $R$, $\varphi : X \to Y$ là ánh xạ chính tắc. Tôpô mịn nhất trên $Y$ sao cho $\varphi$ liên tục được gọi là tôpô thương của tôpô trên $X$ theo quan hệ $R$; chúng tôi sẽ nghiên cứu nó chi tiết hơn trong § 3.

2) Cận dưới lớn nhất của một tập hợp các tôpô. Mọi họ $(\mathfrak{T}_i)_{i \in I}$ các tôpô trên một tập hợp $X$ đều có một cận dưới lớn nhất $\mathfrak{T}$ trong tập hợp tất cả các tôpô trên $X$, tức là $\mathfrak{T}$ là tôpô mịn nhất trong tất cả các tôpô trên $X$ thô hơn mỗi $\mathfrak{T}_i$. Để thấy điều đó, ta có thể áp dụng Mệnh đề 6, lấy $Y_i$ là tập hợp $X$ được trang bị tôpô $\mathfrak{T}_i$, và $f_i$ là ánh xạ đồng nhất $Y_i \to X$. Nếu $\mathscr{D}_i$ là tập hợp các tập con của $X$ mở trong tôpô $\mathfrak{T}_i$, thì tập hợp $\bigcap_{i \in I} \mathscr{D}_i$ là tập hợp các tập con của $X$ mở trong $\mathfrak{T}$. $\mathfrak{T}$ cũng được gọi là giao của các tôpô $\mathfrak{T}_i$.

3) Tổng của các không gian tôpô. Cho $(X_i)_{i \in I}$ là một họ các không gian tôpô, $X$ là tập hợp là tổng của các $X_i$ (Lý thuyết Tập hợp, Chương II, § 4, no. 8, Định nghĩa 8); với mỗi $i \in I$, gọi $j_i$ là ánh xạ chính tắc (đơn ánh) từ $X_i$ vào $X$. Tôpô mịn nhất $\mathfrak{T}$ trên $X$ mà đối với nó các ánh xạ $j_i$ đều liên tục được gọi là tổng của các tôpô của các $X_i$, và $X$ với tôpô này được gọi là tổng của các không gian tôpô $X_i$. Đồng nhất mỗi $X_i$ với một tập con của $X$ nhờ $j_i$; khi đó một tập hợp $A \subset X$ là mở (resp. đóng) trong tôpô $\mathfrak{T}$ khi và chỉ khi mỗi tập hợp $A \cap X_i$ là mở (resp. đóng) trong $X_i$. Đặc biệt, mỗi $X_i$ vừa mở vừa đóng.

Mệnh đề sau tổng quát hóa tình huống của Ví dụ 3:

Xét theo Mệnh đề 6 và hệ quả của nó, chỉ cần chỉ ra rằng đối với mỗi $\lambda$ và mỗi tập con $A_\lambda$ của $X_\lambda$ thì các mệnh đề sau là tương đương: (i) $A_\lambda$ là mở (tương ứng, đóng) trong tôpô $\mathfrak{T}_\lambda$. (ii) Với mọi $\mu \in L$, $A_\lambda \cap X_\mu$ là mở (tương ứng, đóng) trong tôpô $\mathfrak{T}_\mu$.

Hiển nhiên là (ii) kéo theo (i) khi lấy $\mu = \lambda$. Ngược lại, nếu (i) được thỏa mãn, thì $A_\lambda \cap X_\mu$ là mở (tương ứng, đóng) trong $X_\lambda \cap X_\mu$ đối với tôpô $\mathfrak{T}_{\lambda \mu}$ cảm sinh trên $X_{\lambda} \cap X_{\mu}$ bởi $\mathfrak{T}_{\lambda}$; nhưng $\mathfrak{T}_{\lambda \mu}$ cũng là tôpô cảm sinh trên $X_{\lambda} \cap X_{\mu}$ bởi $\mathfrak{T}_{\mu}$; do đó $A_{\lambda} \cap X_{\mu}$ cũng là giao của $X_{\lambda} \cap X_{\mu}$ với một tập con $B_{\mu}$ của $X_{\mu}$ mở (tương ứng, đóng) trong tôpô $\mathfrak{T}_{\mu}$; vì $X_{\lambda} \cap X_{\mu}$ là mở (tương ứng, đóng) trong $\mathfrak{T}_{\mu}$, nên $A_{\lambda} \cap X_{\mu}$ cũng vậy. Điều này kết thúc chứng minh.

Ta nhận xét rằng nếu hợp của các $X_{\lambda}$ khác $X$, thì tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}$ trên $X - \left( \bigcup_{\lambda \in L} X_{\lambda} \right)$ là rời rạc. Thật vậy, nếu $x \in X$ không thuộc một $X_{\lambda}$ nào, thì $\{ x \} \cap X_{\lambda} = \varnothing$ là mở trong mỗi tôpô $\mathfrak{T}_{\lambda}$ và do đó $\{ x \}$ là mở trong tôpô $\mathfrak{T}$.