§ 3. 3. Không gian con; không gian thương

3. Không gian con; không gian thương

1. Không gian con của một không gian tôpô

Cho $A$ là một tập con của một không gian tôpô $X$ . Ta đã định nghĩa tôpô cảm sinh trên $A$ bởi tôpô của $X$ là ảnh ngược của tôpô sau qua đơn ánh chính tắc $A \to X$ (§ 2, no. 3, Ví dụ 1). Một định nghĩa tương đương như sau:

Định nghĩa 1

Cho $A$ là một tập con của một không gian tôpô $X$ . Tôpô cảm sinh trên $A$ bởi tôpô của $X$ là tôpô trong đó các tập mở là các giao với $A$ của các tập mở của $X$ . Tập hợp $A$ với tôpô này được gọi là một không gian con của $X$ .

Ví dụ

Tôpô cảm sinh trên tập hợp $\mathbf{Z}$ các số nguyên bởi tôpô của đường thẳng hữu tỉ là tôpô rời rạc, vì giao của $\mathbf{Z}$ với khoảng mở $]n - 1/2, n + 1/2[$ là tập hợp $\{ n \}$ .

Theo Mệnh đề 5 của § 2, no. 3 (hoặc trực tiếp từ Định nghĩa 1), ta thấy rằng, nếu $B \subset A \subset X$ , không gian con $B$ của $X$ đồng nhất với không gian con $B$ của không gian con $A$ của $X$ (tính bắc cầu của các tôpô cảm sinh). Nếu $\mathfrak{G}$ là một cơ sở con (resp. một cơ sở) của tôpô của $X$ ( $§ 2$ , no. 3, Ví dụ 3) thì vết $\mathfrak{G}_A$ của nó trên $A$ là một cơ sở con (resp. một cơ sở) của tôpô cảm sinh trên $A$ .

Trong mọi câu hỏi có liên quan đến các phần tử hoặc các tập con của $A$ , điều cốt yếu là phải phân biệt cẩn thận giữa các tính chất của chúng như những điểm (tương ứng, những tập con) của $X$ , và các tính chất của chúng như những điểm (tương ứng, những tập con) của không gian con $A$ . Ta sẽ thực hiện sự phân biệt này bằng cách dùng các cụm từ "trong $A$ ", "đối với $A$ ", hoặc "tương đối đối với $A$ " để chỉ các tính chất thuộc loại sau (có thể đối chiếu chúng với các cụm từ "trong $X$ ", "đối với $X$ ", "tương đối đối với $X$ ").

Một tập mở của không gian con $A$ không nhất thiết mở trong $X$ ; để mọi tập hợp mở trong $A$ đều mở trong $X$ thì điều kiện cần và đủ là $A$ mở trong $X$ . Điều kiện đó là cần, vì $A$ mở trong $A$ , và là đủ theo $(O_{II})$ và Định nghĩa 1.

Các tập hợp đóng trong $A$ là các giao với $A$ của những tập hợp đóng trong $X$ ( $§ 2$ , no. 3, ví dụ 1); như trên ta thấy rằng mọi tập hợp đóng trong $A$ đều đóng trong $X$ khi và chỉ khi $A$ đóng trong $X$ .

Các lân cận của một điểm $x \in A$ tương đối với $A$ là các giao với $A$ của những lân cận của $x$ tương đối với $X$ . Mọi lân cận của $x$ tương đối với $A$ đều là một lân cận của $x$ tương đối với $X$ khi và chỉ khi $A$ là một lân cận của $x$ trong $X$ .

Mệnh đề 1

Nếu $A$ và $B$ là hai tập con của một không gian tôpô $X$ , và $B \subset A$ , thì bao đóng của $B$ trong không gian con $A$ là giao với $A$ của bao đóng $\overline{B}$ của $B$ trong $X$ .

Nếu $x \in A$ , mọi lân cận của $x$ trong $A$ đều có dạng $V \cap A$ , trong đó $V$ là một lân cận của $x$ trong $X$ . Vì $V \cap B = (V \cap A) \cap B$ , suy ra $x$ thuộc bao đóng của $B$ đối với $A$ khi và chỉ khi $x$ thuộc bao đóng của $B$ đối với $X$ .

Hệ quả

Một tập con $B$ của $A$ là trù mật trong $A$ khi và chỉ khi $\overline{B} = \overline{A}$ trong $X$ (tức là khi và chỉ khi $A \subset \overline{B}$ ).

Suy ra rằng nếu $A, B, C$ là ba tập con của $X$ sao cho $A \supset B \supset C$ , và nếu $B$ trù mật trong $A$ , và $C$ trù mật trong $B$ , thì $C$ trù mật trong $A$ (tính bắc cầu của mật độ), vì ta có $\overline{A} = \overline{B} = \overline{C}$ trong $X$ .

Mệnh đề 2

Cho $A$ là một tập con trù mật của một không gian tôpô $X$ ; khi đó, với mỗi $x \in A$ và mỗi lân cận $V$ của $x$ đối với $A$ , bao đóng $\overline{V}$ của $V$ trong $X$ là một lân cận của $x$ trong $X$ .

Vì $V$ chứa $U \cap A$ , trong đó $U$ là một tập con mở của $X$ chứa $x$ , nên $\overline{V}$ chứa $U \cap \overline{A} = U$ (§ 1, no. 6, Mệnh đề 5).

Mệnh đề 3

Cho $(A_i)_{i \in I}$ là một họ các tập con của một không gian tôpô $X$ , sao cho một trong các tính chất sau được thỏa mãn: a) Các phần trong của các $A_i$ phủ $X$ . b) $(A_i)_{i \in I}$ là một phủ đóng hữu hạn địa phương của $X$ (§ 1, no. 5).

Trong các điều kiện này, một tập con $B$ của $X$ là mở (tương ứng, đóng) trong $X$ khi và chỉ khi mỗi tập $B \cap A_i$ là mở (tương ứng, đóng) trong $A_i$ .

Rõ ràng nếu $B$ là mở (tương ứng, đóng) trong $X$ , thì $B \cap A_i$ là mở (tương ứng, đóng) trong $A_i$ . Ngược lại, trước hết giả sử rằng điều kiện a) được thỏa mãn; vì $(\complement B) \cap A_i = A_i - (B \cap A_i)$ , theo tính đối ngẫu, chỉ cần xét trường hợp trong đó mỗi $B \cap A_i$ là mở đối với $A_i$ . Trong trường hợp này, $B \cap \dot{A}_i$ là mở trong $\dot{A}_i$ với mọi $i \in I$ , và do đó mở trong $X$ ; và vì $B = \bigcup_i (B \cap \dot{A}_i)$ theo giả thiết, suy ra $B$ là mở trong $X$ .

Bây giờ giả sử rằng b) được thỏa mãn; lại do tính đối ngẫu, ta chỉ cần xét trường hợp trong đó mỗi $B \cap A_i$ là đóng trong $A_i$ , và do đó đóng trong $X$ . Vì họ $(B \cap A_i)$ là hữu hạn địa phương và $B = \bigcup_i (B \cap A_i)$ , nên theo § 1, no. 5, Mệnh đề 4 suy ra $B$ là đóng trong $X$ .

Nhận xét

Cho $(U_i)_{i \in I}$ là một phủ mở của một không gian tôpô $X$ , và với mỗi $i \in I$ cho $\mathfrak{B}_i$ là một cơ sở của tôpô của không gian con $U_i$ của $X$ ; khi đó hiển nhiên là $\mathfrak{B} = \bigcup_{i \in I} \mathfrak{B}_i$ là một cơ sở của tôpô của $X$ .

2. Tính liên tục đối với một không gian con

Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tôpô, $f$ là một ánh xạ từ $X$ vào $Y$ , $B$ là một tập con của $Y$ chứa $f(X)$ . Định nghĩa của tôpô cảm sinh như một tôpô ban đầu (§ 2, no. 3, Mệnh đề 4) cho thấy rằng $f$ liên tục tại $x \in X$ khi và chỉ khi ánh xạ từ $X$ vào không gian con $B$ của $Y$ , có cùng đồ thị như $f$ , là liên tục tại $x$ .

Bây giờ, cho $A$ là một tập con của $X$ ; nếu $f$ liên tục tại $x \in A$ (resp. liên tục trên $X$ ), thì hạn chế $f|A$ của nó là một ánh xạ từ không gian con $A$ vào $Y$ , liên tục tại $x$ (resp. liên tục trên $A$ ) theo Mệnh đề 2 của § 2, no. 1. Đôi khi, ta sẽ nói rằng một ánh xạ $f : X \to Y$ là liên tục tương đối đối với $A$ tại $x \in A$ (resp. liên tục tương đối đối với $A$ ) nếu hạn chế $f|A$ của nó liên tục tại $x$ (resp. liên tục trên $A$ ).

Cần lưu ý rằng $f|A$ có thể liên tục mà $f$ lại không liên tục tại bất kỳ điểm nào của $X$ ; một ví dụ của hiện tượng này được cho bởi hàm đặc số $\varphi_A$ của một tập con $A$ của $X$ sao cho cả $A$ lẫn phần bù của nó đều trù mật trong $X$ ( $§ 2$ , Bài tập 11), khi $\varphi_A$ được xem như một ánh xạ từ $X$ vào không gian rời rạc $\{0, 1\}$ . $\varphi_A$ không liên tục tại bất kỳ điểm nào của $X$ , nhưng hạn chế của nó trên $A$ là hằng và do đó liên tục.

Nếu $A$ là một lân cận trong $X$ của một điểm $x \in A$ , và nếu $f : X \to Y$ sao cho $f|A$ liên tục tại $x$ , thì $f$ liên tục tại $x$ ; vì mỗi lân cận của $x$ trong $A$ là một lân cận của $x$ trong $X$ (đặc trưng địa phương của tính liên tục).

Mệnh đề 4

Cho* $(A_i)_{i \in I}$ là một họ các tập con của một không gian tôpô $X$ mà các phần trong của chúng phủ $X$ , hoặc tạo thành một phủ đóng hữu hạn địa phương của $X$ . Cho $f$ là một ánh xạ từ $X$ vào một không gian tôpô $X'$ . Nếu hạn chế của $f$ trên mỗi không gian con $A_i$ là liên tục, thì $f$ *là liên tục.

Thật vậy, nếu $F'$ là một tập con đóng của $X'$ và nếu $F = \overline{f}(F')$ , thì $F \cap A_i$ đóng trong $A_i$ với mỗi $i \in I$ ( $§ 2$ , no. 1, Định lý 1) và do đó $F$ đóng trong $X$ theo Mệnh đề 3 của no. 1; kết quả bây giờ suy ra từ Định lý 1 của $§ 2$ , no. 1.

3. Không gian con đóng địa phương

Định nghĩa 2

Một tập con* $L$ của một không gian tôpô $X$ được gọi là địa phương đóng tại một điểm $x \in L$ nếu tồn tại một lân cận $V$ của $x$ trong $X$ sao cho $L \cap V$ là một tập con đóng của không gian con $V$ . L được gọi là địa phương đóng trong $X$ nếu nó địa phương đóng tại mỗi $x \in L$ .

Nhận xét

Cho $F$ là một tập con của $X$ sao cho với mỗi điểm $x$ của $X$ đều có một lân cận $V$ của $x$ sao cho $V \cap F$ đóng trong không gian con $V$ ; khi đó suy ra từ Mệnh đề 3 của no. 1 rằng $F$ đóng trong $X$ . Mặt khác, Mệnh đề 5 dưới đây cho thấy rằng nói chung có những tập hợp đóng địa phương mà không đóng trong $X$ .

Mệnh đề 5

Đối với một tập con* $L$ của một không gian tôpô $X$ , các tính chất sau là tương đương:

a) $L$ đóng địa phương trong $X$ .

b) $L$ là giao của một tập con mở và một tập con đóng của $X$ .

c) $L$ là mở trong bao đóng của nó $\overline{L}$ trong $X$ .

Nếu $L$ đóng địa phương, thì với mỗi $x \in L$ , tồn tại một lân cận mở $V_x$ của $x$ trong $X$ sao cho $L \cap V_x$ đóng trong $V_x$ ; $U = \bigcup_{x \in L} V_x$ mở trong $X$ , và Mệnh đề 3 của no. 1 cho thấy rằng $L$ đóng trong $U$ ; do đó a) suy ra b). Nếu $L = U \cap F$ , trong đó $U$ mở và $F$ đóng trong $X$ , thì ta có $L \subset F$ ; vì thế $L \subset U \cap L \subset U \cap F = L$ , điều này cho thấy $L = U \cap L$ mở trong $L$ , nên b) suy ra c). Sau cùng, nếu $L = U \cap L$ , trong đó $U$ mở trong $X$ , thì $L$ đóng trong $U$ , do đó đóng địa phương, và vì vậy c) suy ra a).

Hệ quả

Cho $f : X \to X'$ là một ánh xạ liên tục và $L'$ là một tập con đóng địa phương của $X'$ ; khi đó $f^{-1}(L')$ là đóng địa phương trong $X$ *.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 5 ở trên và Định lý 1 của § 2, no. 1.

4. Các không gian thương

Định nghĩa 3

Cho $X$ là một không gian tôpô, $R$ là một quan hệ tương đương trên $X$ . Không gian thương của $X$ theo $R$ là tập thương $X/R$ được trang bị tôpô là thương của tôpô của $X$ theo quan hệ $R$ (§ 2, no. 4, Ví dụ 1)*.

Trừ khi có nói rõ điều trái lại, mỗi khi ta nói về $X/R$ như một không gian tôpô, phải hiểu rằng ta muốn nói đến không gian thương của $X$ theo $R$ . Ta sẽ thường nói rằng không gian tôpô này là không gian thu được bằng cách đồng nhất các điểm của $X$ thuộc cùng một lớp tương đương mod $R$ .

Gọi $\varphi$ là ánh xạ chính tắc $X \to X/R$ . Theo định nghĩa (§ 2, no. 4, Mệnh đề 6 và hệ quả của nó), các tập mở (tương ứng, đóng) trong $X/R$ là các tập $A$ sao cho $\varphi^{-1}(A)$ mở (tương ứng, đóng) trong $X$ ; nói cách khác, các tập mở (tương ứng, đóng) trong $X/R$ tương ứng một-một với các tập con mở (tương ứng, đóng) của $X$ bão hòa đối với $R$ và là các ảnh chính tắc của các tập con ấy.

Mệnh đề 6

Cho $X$ là một không gian tôpô, $R$ là một quan hệ tương đương trên $X$ , $\varphi$ là ánh xạ chính tắc từ $X$ lên $X/R$ ; khi đó một ánh xạ $f$ từ $X/R$ vào một không gian tôpô $Y$ là liên tục khi và chỉ khi $f \circ \varphi$ liên tục trên $X$ *.

Đây là một trường hợp riêng của § 2, no. 4, Mệnh đề 6; nó biểu thị sự kiện rằng tôpô thương là tôpô cuối đối với ánh xạ $\varphi$ .

Mệnh đề 6 cho thấy rằng có một sự tương ứng một-một giữa các ánh xạ liên tục của $X/R$ vào $Y$ và các ánh xạ liên tục của $X$ vào $Y$ hằng trên mỗi lớp tương đương mod $R$ .

Ví dụ

Xét quan hệ tương đương $x \equiv y \pmod{1}$ trên đường thẳng thực $\mathbf{R}$ ; không gian thương của $\mathbf{R}$ theo quan hệ này được gọi là xuyến một chiều và được ký hiệu bởi $T$ . Lớp tương đương của một điểm $x \in \mathbf{R}$ gồm tất cả các điểm $x + n$ , trong đó $n$ chạy qua tập hợp $\mathbf{Z}$ các số nguyên. Theo Mệnh đề 6 có một sự tương ứng một-một giữa các hàm liên tục trên $T$ và các hàm liên tục trên $\mathbf{R}$ mà tuần hoàn với chu kỳ 1. Chúng ta sẽ trở lại ví dụ quan trọng này trong Chương V, § 1.

Hệ quả

Cho $X, Y$ là hai không gian tôpô, $R$ (tương ứng $S$ ) là một quan hệ tương đương trên $X$ (tương ứng $Y$ ), và cho $f : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục tương thích với các quan hệ tương đương $R$ và $S$ (Lý thuyết tập hợp R, § 5, no. 8); khi đó ánh xạ $g : X/R \to Y/S$ cảm sinh bởi $f$ (Lý thuyết tập hợp R, § 5, no. 8) là liên tục.

Đây là một trường hợp riêng của một tính chất tổng quát của các cấu trúc thương (Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 6, tiêu chuẩn CST 20).

Mệnh đề 7 (Tính bắc cầu của các không gian thương)

Cho $R$ và $S$ là hai quan hệ tương đương trên một không gian tôpô $X$ sao cho $R$ kéo theo $S$ , và gọi $S/R$ là quan hệ tương đương thương trên không gian thương $X/R$ (Lý thuyết tập hợp R, § 5, no. 9). Khi đó song ánh chính tắc $(X/R)/(S/R) \to X/S$ là một đồng phôi.

Đây là một trường hợp riêng của tính bắc cầu của các tôpô cuối (§ 2, no. 4, Mệnh đề 7. Xem Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 3, tiêu chuẩn CST 21).

5. Phân tích chính tắc của một ánh xạ liên tục

Cho $X$ và $Y$ là hai không gian tôpô, $f : X \to Y$ một ánh xạ liên tục, $R$ là quan hệ tương đương $f(x) = f(y)$ trên $X$ . Xét phân tích chính tắc

f : X \xrightarrow{\varphi} X/R \xrightarrow{g} f(X) \xrightarrow{\psi} Y

trong đó $\varphi$ là ánh xạ chính tắc (toàn ánh) của $X$ lên không gian thương $X/R$ , $\psi$ là đơn ánh chính tắc của không gian con $f(X)$ vào $Y$ , và $g$ là song ánh liên kết với $f$ (Lý thuyết tập hợp R, § 5, no. 3). Người ta thấy ngay lập tức rằng $g$ là liên tục (theo Mệnh đề 6 của no. 4); đây cũng là một trường hợp riêng của một kết quả tổng quát về các cấu trúc thương. (Xem Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 6). Nhưng song ánh $g$ không nhất thiết là một đồng phôi.

Mệnh đề 8

Cho $f = \psi \circ g \circ \varphi$ là phân tích chính tắc của một ánh xạ liên tục $f : X \to Y$ , và gọi $R$ là quan hệ tương đương

f(x) = f(y).

Khi đó ba điều kiện sau là tương đương: a)

g

là một đồng phôi từ

X/R

lên

f(X)

. b) Ảnh qua

f

của mọi tập mở bão hòa đối với

R

là một tập mở trong không gian con

f(X)

. c) Ảnh qua

f

của mọi tập đóng bão hòa đối với

R

là một tập đóng trong không gian con

f(X)

Vì điều kiện b) [tương ứng c)] biểu thị rằng ảnh dưới $g$ của mọi tập mở (tương ứng đóng) trong $X/R$ là một tập mở (tương ứng đóng) trong $f(X)$ .

Ví dụ

Cho $X$ là một không gian tôpô, $(X_i)_{i \in I}$ là một phủ của $X$ , $Y$ là tổng của các không gian con $X_i$ của $X$ ; khi đó có một phân hoạch $(Y_i)_{i \in I}$ của $Y$ thành các không gian con vừa mở vừa đóng, và với mỗi $i \in I$ có một đồng phôi $f_i : Y_i \to X_i$ . Gọi $f : Y \to X$ là ánh xạ liên tục trùng với $f_i$ trên $Y_i$ với mỗi $i \in I$ , và gọi $R$ là quan hệ tương đương $f(x) = f(y)$ ; do đó không gian thương $Y/R$ được nhận bằng cách "dán lại với nhau" các $Y_i$ (§ 2, no. 5). Xét song ánh $g : Y/R \to X$ liên kết với $f$ ; nói chung $g$ không phải là một đồng phôi, như được chỉ ra bởi ví dụ trong đó mỗi $X_i$ chỉ gồm một điểm và $X$ không rời rạc. Tuy nhiên, nếu các phần trong của các $X_i$ phủ $X$ , hoặc nếu $(X_i)$ là một phủ đóng hữu hạn địa phương của $X$ , thì $g$ là một đồng phôi: thật vậy, nếu $U$ là một tập con mở bất kỳ của $Y$ bão hòa đối với $R$ , thì với mỗi $i \in I$ tập hợp

f(U) \cap X_i = f_i(U \cap Y_i)

là mở trong

X_i

, và mệnh đề suy ra từ Mệnh đề 3 của no. 1.

Mệnh đề sau cho một điều kiện đủ đơn giản để $g$ là một phép đồng phôi:

Mệnh đề 9

Cho $f : X \to Y$ là một toàn ánh liên tục, và gọi $R$ là quan hệ tương đương $f(x) = f(y)$ . Nếu tồn tại một tiết diện liên tục $s : Y \to X$ liên kết với $f$ (Lý thuyết tập hợp, Chương II, § 3, no. 8, Định nghĩa 11), thì ánh xạ $g : X/R \to Y$ liên kết với $f$ là một phép đồng phôi, và $s$ là một phép đồng phôi của $Y$ lên không gian con $s(Y)$ của $X$ .

Thật vậy, nếu $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc, thì $g$ và $\varphi \circ s$ là song ánh, liên tục và nghịch đảo của nhau; tương tự, $s$ và hạn chế của $f$ trên $s(Y)$ là song ánh, liên tục và nghịch đảo của nhau.

Nếu $R$ là một quan hệ tương đương trên một không gian tôpô $X$ và

\varphi : X \to X/R

là ánh xạ chính tắc, thì một tiết diện liên tục

s : X/R \to X

liên kết với

\varphi

cũng được gọi là một tiết diện liên tục của

X

đối với

R

(x. Lý thuyết tập hợp, Chương II, § 6, no. 2); khi đó không gian con

s(X/R)

của

X

đồng phôi với

X/R

. Nếu đã cho

s(X/R)

, thì

s

được xác định duy nhất;

s(X/R)

thường được gọi, do lạm dụng ngôn ngữ, là một tiết diện (liên tục) của

X

đối với

R

Một tiết diện liên tục của một không gian tôpô đối với một quan hệ tương đương không nhất thiết phải tồn tại (Bài tập 12).

6. Không gian thương của một không gian con

Cho $X$ là một không gian tôpô, $A$ là một không gian con của $X$ , $R$ là một quan hệ tương đương trên $X$ , $f$ là ánh xạ chính tắc $X \to X/R$ , $g$ là hạn chế của $f$ lên $A$ . Quan hệ tương đương $g(x) = g(y)$ trên $A$ chính là quan hệ $R_A$ được cảm sinh bởi $R$ trên $A$ (Lý thuyết tập hợp R, § 5, no. 5). Gọi $g = \psi \circ h \circ \varphi$ là phân tích chính tắc của $g$ , khi đó nếu $j$ là đơn ánh chính tắc từ $A$ vào $X$ thì ta có biểu đồ giao hoán (*)

\begin{array}{ccc} A & \xrightarrow{\varphi} & A/R_A \xrightarrow{h} f(A) \xrightarrow{\psi} X/R. \\ & & \\ & \searrow_j & \nearrow_s \\ & & X \end{array}

Mệnh đề 10

Song ánh chính tắc* $h : A/R_A \to f(A)$ là liên tục. Hơn nữa, ba mệnh đề sau là tương đương:

a) $h$ là một đồng phôi.

b) Mọi tập con mở của $A$ bão hòa đối với $R_A$ đều là giao với $A$ của một tập con mở của $X$ bão hòa đối với $R$ .

c) Mọi tập con đóng của $A$ bão hòa đối với $R_A$ đều là giao với $A$ của một tập con đóng của $X$ bão hòa đối với $R$ .

Phần thứ nhất của mệnh đề là hệ quả ngay lập tức (no. 5). Phần thứ hai suy ra từ Mệnh đề 8 của no. 5: nếu $B$ là một tập con mở (tương ứng, đóng) của $A$ bão hòa đối với $R_A$ , và $g(B) = f(B)$ là giao với $f(A)$ của một tập con mở (tương ứng, đóng) $C$ của $X/R$ , thì $B$ là giao với $A$ của tập con mở (tương ứng, đóng) $f^{-1}(C)$

(*) Biểu thức này có nghĩa là $f \circ j = \psi \circ h \circ \varphi$ .

của X, bão hòa đối với R; và ngược lại, nếu B là giao với A của một tập con mở (tương ứng, đóng) D bão hòa đối với R, thì $f(B)$ là giao của $f(A)$ và $f(D)$ , là tập mở (tương ứng, đóng) trong $X/R$ .

Hệ quả 1

Nếu A là một tập con mở (tương ứng, đóng) của X bão hòa đối với R, thì ánh xạ chính tắc $h : A/R_A \to f(A)$ là một đồng phôi.

Thật vậy, nếu A mở (tương ứng, đóng) trong X và bão hòa đối với R, và nếu $B \subset A$ mở (tương ứng, đóng) trong A và bão hòa đối với $R_A$ , thì B mở (tương ứng, đóng) trong X và bão hòa đối với R.

Hệ quả 2

Nếu tồn tại một ánh xạ liên tục $u : X \to A$ sao cho $u(x)$ đồng dư với $x$ mod R với mọi $x \in X$ , thì $f(A) = X/R$ và ánh xạ chính tắc $h : A/R_A \to X/R$ là một đồng phôi.

Vì mỗi lớp tương đương mod R đều gặp A, ảnh chính tắc của $A/R_A$ trong $X/R$ là toàn bộ $X/R$ ; mặt khác, nếu U là mở trong A và bão hòa đối với $R_A$ , thì theo giả thiết $\bar{u}^1(U)$ là tập hợp thu được bằng cách bão hòa U đối với R; vì $u$ liên tục, $\bar{u}^1(U)$ là mở trong X (§ 2, no. 1, Định lý 1). Hệ quả suy ra từ sự kiện này nhờ Mệnh đề 10.

Ví dụ

Gọi R là quan hệ tương đương $x \equiv y \pmod{1}$ trên đường thẳng thực $\mathbf{R}$ (no. 4, Ví dụ) và gọi A là khoảng đóng $[0, 1]$ ; A chứa ít nhất một điểm của mỗi lớp tương đương mod R. Ánh xạ chính tắc từ $A/R_A$ lên xuyến T là một đồng phôi; thật vậy, nếu F là đóng trong A (và do đó trong R), thì để bão hòa F đối với quan hệ R, ta phải lấy hợp của các tập hợp đóng $F + n$ (với mọi $n \in \mathbf{Z}$ ), rõ ràng chúng tạo thành một họ hữu hạn địa phương, nên hợp của chúng là đóng (§ 1, no. 5, Mệnh đề 4); mệnh đề suy ra từ đó. Ta nhận xét rằng $A/R_A$ thu được bằng cách đồng nhất hóa các điểm 0 và 1 trong A. \

Bài tập

Xem các bài tập cho § 3.