Vì $f_i = \mathrm{pr}_i \circ f$, đây chỉ là một trường hợp riêng của Mệnh đề 4 của § 2, no. 3.

f có thể được viết thành $x \to (f_i(\mathrm{pr}_i(x)))$, nên theo Mệnh đề 1 điều kiện là đủ. Ngược lại, với mỗi $x \in I$ đặt $g_x$ là ánh xạ từ $X_x$ vào $\prod_{i \in I} X_i$ sao cho $\mathrm{pr}_x(g_x(x_x)) = x_x$ và $\mathrm{pr}_i(g_x(x_x)) = a_i$ mỗi khi $i \neq x$; khi đó $g_x$ liên tục tại điểm $a_x$, theo Mệnh đề 1. Vì $f_x = \mathrm{pr}_x \circ f \circ g_x$ nên suy ra rằng nếu $f$ liên tục tại $a$, thì $f_x$ liên tục tại $a_x$.

Vì $f = \mathrm{pr}_2 \circ g$, điều kiện là đủ. Nó cũng là cần, vì nếu $f$ liên tục, thì $g$ là song ánh và liên tục (Mệnh đề 1) và nghịch đảo của $g$ là hạn chế của $\mathrm{pr}_1$ lên $G$, ánh xạ này là liên tục (xem Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 4, tiêu chuẩn CST 17).

Đây là một trường hợp riêng của tính bắc cầu của các tôpô ban đầu ($\S$ 2, no. 3, Mệnh đề 5; xem Lý thuyết tập hợp, Chương IV, § 2, no. 4, tiêu chuẩn CST 13).

Nói chung ta đồng nhất các không gian tích $\prod_{i \in I} X_i$ và $\prod_{x \in K} X'_x$ bằng ánh xạ chính tắc.

Lấy $K = I$ và $J_i = \{ \sigma(i) \}$ với mỗi $i \in I$ trong Mệnh đề 2.

Đây là một trường hợp riêng khác của tính bắc cầu của các tôpô ban đầu (\S\ 2, no. 3, Mệnh đề 5; xem thêm Lý thuyết tập hợp, Chương IV, \S\ 2, no. 4, tiêu chuẩn CST 15).

Gọi $j_i$ là đơn ánh chính tắc $A_i \to Y_i$, và áp dụng Mệnh đề 3 cho các ánh xạ $f_i = j_i \circ \mathrm{pr}_i$ (xem thêm Lý thuyết tập hợp, Chương IV, \S\ 2, no. 4, tiêu chuẩn CST 14).

Đây là một trường hợp riêng của Hệ quả 1 của Mệnh đề 1 của no. 1 áp dụng cho hàm hằng $x_2 \to a_1$.

Ánh xạ $x_2 \to (a_1, x_2)$ là một tiết diện liên tục (\S\ 3, no. 5) đối với quan hệ tương đương $\mathrm{pr}_2 z = \mathrm{pr}_2 z'$ trên $X_1 \times X_2$; do đó không gian thương của $X_1 \times X_2$ theo quan hệ tương đương này đồng phôi với $X_2$.

Chẳng hạn, ta có $\mathrm{pr}_2 U = \bigcup_{x_1 \in X_1} U(x_1)$, và mệnh đề suy ra từ Hệ quả của Mệnh đề 4 và tiên đề (O_1).

Thật vậy, ánh xạ này là hợp thành của $f$ và ánh xạ $x_2 \to (a_1, x_2)$; do đó kết quả suy ra từ Mệnh đề 4.

Mệnh đề 6 thường được phát biểu bằng cách nói rằng một hàm liên tục của hai biến là liên tục đối với từng biến một.

Giả sử rằng $a = (a_i)$ thuộc bao đóng của $\prod_{i \in I} A_i$; khi đó với mỗi $x \in I$, $a_x = \operatorname{pr}_x a$ thuộc bao đóng của $A_x$ do tính liên tục của $\operatorname{pr}_x$ (§ 2, no. 1, Định lý 1) và vì thế $a \in \prod_{i \in I} \overline{A}_i$. Ngược lại, cho $b = (b_i) \in \prod_{i \in I} \overline{A}_i$, và cho $\prod_{i \in I} V_i$ là một tập hợp sơ cấp bất kỳ chứa $b$; với mỗi $i \in I$, $V_i$ chứa một điểm $x_i \in A_i$; do đó $\prod_{i \in I} V_i$ chứa điểm $(x_i) \in \prod_{i \in I} A_i$ và vì thế $b$ thuộc bao đóng của $\prod_{i \in I} A_i$.

Nếu $I$ là hữu hạn, thì một tích $\prod_{i \in I} A_i$ là mở với điều kiện $A_i$ là mở trong $X_i$ với mỗi $i \in I$; nhưng điều này không còn đúng nữa nếu $I$ là vô hạn.

Với mỗi $x \in X$ và mỗi tập sơ cấp $V = \prod_{i \in I} U_i$ chứa $x$, ta có $U_i = X_i$ trừ ra đối với các chỉ số $i$ thuộc một tập con hữu hạn $J$ của $I$; nếu ta lấy $y_i = x_i$ với $i \in J$ và $y_i = a_i$ với $i \notin J$, thì hiển nhiên là

do đó có kết quả.

Từ § 2, no. 3 ta biết rằng các giao hữu hạn của các tập hợp dạng $f^{-1}_\alpha(U_\alpha)$ ($\alpha \in I, U_\alpha$ mở trong $X_\alpha$) tạo thành một cơ sở của tôpô của $X$. Nếu $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một họ hữu hạn các chỉ số của $I$, thì tồn tại $\gamma \in J$ sao cho $\alpha_i \leq \gamma$ với $1 \leq i \leq n$; do đó $f_{\alpha_i} = f_{\alpha_i\gamma} \circ f_\gamma$; nếu đặt

thì ta có

nhưng $V_\gamma$ là mở và vì vậy là một hợp của các tập hợp thuộc $\mathfrak{B}_\gamma$. Suy ra kết quả.

(i) Các $A_\alpha$ (tương ứng, các $\overline{A}_\alpha$) tạo thành một hệ ngược các tập con của các $X_\alpha$, và

(ii) Nếu $A$ đóng trong $X$, thì $A = \varprojlim A_\alpha = \varprojlim \overline{A}_\alpha$.

Mệnh đề thứ nhất của (i) suy ra từ các hệ thức $f_\alpha = f_{\alpha\beta} \circ f_\beta$ với $\alpha \leq \beta$ và từ tính liên tục của các $f_{\alpha\beta}$ (§ 2, no. 1, Định lý 1). Ký hiệu $A'$ là

khi đó hiển nhiên $A'$ là đóng và chứa $A$, nên $\overline{A} \subset A'$. Ngược lại, giả sử $x \in A'$; ta phải chứng minh rằng $x$ thuộc bao đóng của $A$. Theo Mệnh đề 9, chỉ cần chứng minh rằng mọi lân cận của $x$ có dạng $\overline{f}_\alpha(U_\alpha)$, với $\alpha \in I$ và $U_\alpha$ mở trong $X_\alpha$, đều giao với $A$. Thật vậy, theo giả thiết, $f_\alpha(x) \in U_\alpha$, và vì $f_\alpha(x) \in \overline{A}$ nên ta có $U_\alpha \cap A_\alpha \neq \varnothing$, điều đó có nghĩa là $A \cap \overline{f}_\alpha(U_\alpha)$ không rỗng.

Để thiết lập (ii), chỉ cần nhận xét rằng, không có bất kỳ hạn chế nào trên $A$, ta có $A \subset \lim A_\alpha \subset \lim \overline{A}_\alpha$; bây giờ nếu $A$ là đóng, thì theo (i)

và (ii) suy ra.