Bourbaki

2. Khoảng cách Euclid; các quả cầu và mặt cầu

1. Khoảng cách Euclid trong Rn\mathbf{R}^n

Phù hợp với các định nghĩa chung, khoảng cách Euclid giữa hai điểm x=(xi)x = (x_i) và y=(yi)y = (y_i) là số

d(x,y)=∑i=1n(xi−yi)2≥0. d(x, y) = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - y_i)^2} \geq 0.

Ta nhắc lại các tính chất chính của nó. Quan hệ d(x,y)=0d(x, y) = 0 tương đương với x=yx = y. Ta có d(x,y)=d(y,x)d(x, y) = d(y, x); với mọi vô hướng t∈Rt \in \mathbf{R}, d(tx,ty)=∣t∣d(x,y)d(tx, ty) = |t| d(x, y); với mọi z∈Rnz \in \mathbf{R}^n, d(x+z,y+z)=d(x,y)d(x + z, y + z) = d(x, y); nói cách khác, khoảng cách giữa hai điểm là bất biến qua phép tịnh tiến. Khoảng cách d(o,x)d(o, x) từ gốc oo đến một điểm xx cũng được ký hiệu bởi ∥x∥\|x\| và được gọi là chuẩn Euclid của xx (hay đơn giản là chuẩn của xx, khi không có nguy cơ nhầm lẫn; xem Chương IX, § 3, no. 3). Khi đó d(x,y)=∥y−x∥d(x, y) = \|y - x\|.

Với n=1n = 1, khoảng cách Euclid giữa các điểm x,yx, y của R\mathbf{R} quy về độ dài ∣y−x∣|y - x| của các khoảng có xx và yy làm đầu mút. Với mọi nn, ta nói rằng d(x,y)=∥y−x∥d(x, y) = \|y - x\| là độ dài của các đoạn có xx và yy làm đầu mút.

Khoảng cách Euclid thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

(I)

d(x,y)≤d(x,z)+d(z,y) d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y)
với mọi x,y,zx, y, z trong Rn\mathbf{R}^n.

Ta nhắc lại rằng chứng minh của (I) quy về chứng minh bất đẳng thức

(∑i=1n(xi+yi)2)1/2≤(∑i=1nxi2)1/2+(∑i=1nyi2)1/2; \left( \sum_{i=1}^n (x_i + y_i)^2 \right)^{1/2} \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right)^{1/2} + \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right)^{1/2};

điều này lại tương đương với bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

(∑i=1nxiyi)2≤(∑i=1nxi2)(∑i=1nyi2), \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 \leq \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right),

vốn là một hệ quả ngay lập tức của đẳng thức Lagrange

(∑i=1nxi2)(∑i=1nyi2)−(∑i=1nxiyi)2=12∑i,j(xiyj−xjyi)2. \left( \sum_{i=1}^n x_i^2 \right) \left( \sum_{i=1}^n y_i^2 \right) - \left( \sum_{i=1}^n x_i y_i \right)^2 = \frac{1}{2} \sum_{i,j} (x_i y_j - x_j y_i)^2.

Chứng minh này đồng thời cho thấy rằng hai vế của (1) chỉ có thể bằng nhau nếu zz là một điểm của đoạn có xx và yy làm đầu mút.

Từ (1) suy ra bất đẳng thức

d(x,y)≥∣d(x,z)−d(y,z)∣. d(x, y) \geq |d(x, z) - d(y, z)|.

Cuối cùng, nếu x=(xi),y=(yi)x = (x_i), y = (y_i), ta có

sup⁡1≤i≤n∣xi−yi∣≤d(x,y)≤n⋅sup⁡1≤i≤n∣xi−yi∣. \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i| \leq d(x, y) \leq \sqrt{n} \cdot \sup_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i|.

Vì vậy, một tập con AA của Rn\mathbf{R}^n là bị chặn (§ 1, no. 1) khi và chỉ khi

sup⁡x∈A∥x∥<+∞. \sup_{x \in A} \|x\| < +\infty.

2. Các phép dời hình

Ta nhắc lại một lần nữa rằng các biến đổi afin ff của Rn\mathbf{R}^n lên chính nó, làm bất biến khoảng cách giữa mọi hai điểm [nghĩa là sao cho d(f(x),f(y))=d(x,y)d(f(x), f(y)) = d(x, y) với mọi x,yx, y], được gọi là phép dời hình Euclid (hay đơn giản là phép dời hình) (*); chúng tạo thành một nhóm, gọi là nhóm các phép dời hình của Rn\mathbf{R}^n. Nhóm này tác động bắc cầu lên Rn\mathbf{R}^n; nói chung hơn, nếu VV và V′V' là hai đa tạp afin tuyến tính bất kỳ cùng chiều trong Rn\mathbf{R}^n, thì tồn tại một phép dời hình biến VV thành V′V'. Những phép dời hình giữ nguyên gốc, gọi là phép biến đổi trực giao, tạo thành một nhóm con của nhóm tất cả các phép dời hình. Nhóm con này được gọi là nhóm trực giao theo nn biến thực; các ánh xạ tuyến tính thuộc nhóm này được đặc trưng bởi việc chúng làm bất biến chuẩn ∥x∥\|x\| của mọi điểm x∈Rnx \in \mathbf{R}^n, hay, tương đương, dạng bậc hai

(*) Nếu ff chỉ thỏa điều kiện d(f(x),f(y))=d(x,y)d(f(x), f(y)) = d(x, y) với mọi x,yx, y, thì thực ra ff phải là affine và tuyến tính, và do đó là một phép dời.

dạng ∥x∥2=∑i=1nxi2\|x\|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2. Tích vô hướng của hai vectơ x=(xi)x = (x_i) và y=(yi)y = (y_i) của Rn\mathbf{R}^n là giá trị ∑i=1nxiyi\sum_{i=1}^n x_i y_i của dạng song tuyến tính liên kết với dạng toàn phương ∑i=1nxi2\sum_{i=1}^n x_i^2; nó được ký hiệu bởi (x∣y)(x|y), hay đơn giản là bởi xyxy nếu không có nguy cơ nhầm lẫn. Mọi phép biến đổi trực giao đều giữ bất biến tích vô hướng của bất kỳ hai vectơ nào. Hai vectơ x,yx, y được gọi là trực giao nếu (x∣y)=0(x|y) = 0; hai không gian con vectơ V,V′V, V' của Rn\mathbf{R}^n được gọi là trực giao nếu mỗi x∈Vx \in V đều trực giao với mỗi y∈V′y \in V'; và hai đa tạp affine tuyến tính P,P′P, P' được gọi là trực giao nếu các không gian con vectơ song song lần lượt với PP và P′P' là trực giao.

3. Các quả cầu và mặt cầu Euclid

Với mỗi số nguyên p>0p > 0, ký hiệu UpU_p là tập hợp tất cả các cặp (x,y)(x, y) gồm các điểm của Rn\mathbf{R}^n sao cho d(x,y)<1/pd(x, y) < 1/p; các bất đẳng thức (3) cho thấy các tập UpU_p tạo thành một hệ cơ bản của các lân cận trong cấu trúc đều của Rn\mathbf{R}^n (xem Chương IX, § 2).

Từ sự kiện này và từ bất đẳng thức

∣d(x,y)−d(x′,y′)∣≤d(x,x′)+d(y,y′), |d(x, y) - d(x', y')| \leq d(x, x') + d(y, y'),
là hệ quả của (1), ta suy ra rằng d(x,y)d(x, y) là liên tục đều trên Rn×Rn\mathbf{R}^n \times \mathbf{R}^n; do đó chuẩn ∥x∥=d(0,x)\|x\| = d(0, x) là liên tục đều trên Rn\mathbf{R}^n.

Định nghĩa 1

Cho một điểm x0∈Rnx_0 \in \mathbf{R}^n và một số thực r>0r > 0, quả cầu Euclid mở (resp. đóng) có nn chiều với tâm x0x_0 và bán kính rr là tập hợp tất cả các điểm x∈Rnx \in \mathbf{R}^n sao cho d(x0,x)<rd(x_0, x) < r [resp. d(x0,x)≤rd(x_0, x) \leq r]; mặt cầu Euclid n−1n - 1 chiều với tâm x0x_0 và bán kính rr là tập hợp tất cả x∈Rnx \in \mathbf{R}^n sao cho d(x0,x)=rd(x_0, x) = r.

Khi không có nguy cơ nhầm lẫn, ta chỉ nói "quả cầu" (resp. "mặt cầu") thay cho "quả cầu Euclid" (resp. "mặt cầu Euclid"). Khi n=2n = 2, một quả cầu hai chiều được gọi là một đĩa, và một mặt cầu một chiều được gọi là một đường tròn. Khi n=1n = 1, quả cầu mở (resp. đóng) có tâm x0x_0 và bán kính rr là khoảng ]x0−r,x0+r[]x_0 - r, x_0 + r[ (resp. [x0−r,x0+r][x_0 - r, x_0 + r]); mặt cầu có tâm x0x_0 và bán kính rr là tập gồm hai đầu mút x0−r,x0+rx_0 - r, x_0 + r của các khoảng này.

Từ những điều đã nói, các quả cầu (mở hay đóng) có tâm x0x_0 (hoặc chỉ những quả cầu có bán kính 1/p1/p, trong đó pp chạy qua tập các số nguyên >0> 0) tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của điểm x0x_0.

Mệnh đề 1

Mọi quả cầu mở (resp. đóng) của Rn\mathbf{R}^n đều là một tập hợp mở (resp. compact). Bao đóng của một quả cầu mở là quả cầu đóng có cùng tâm và cùng bán kính; phần trong của một quả cầu đóng là quả cầu mở có cùng tâm và cùng bán kính.

Quả cầu mở (resp. đóng) có tâm x0x_0 và bán kính rr là ảnh ngược của khoảng ]−∞,r[-\infty, r[ (resp. ]−∞,r]-\infty, r]) qua hàm liên tục d(x0,x)d(x_0, x); do đó nó là mở (resp. đóng và bị chặn, nên compact). Nếu d(x0,x)=rd(x_0, x) = r, và nếu y=x0+t(x−x0)y = x_0 + t(x - x_0) (0<t<10 < t < 1) là một điểm của đoạn mở có hai đầu mút x0x_0 và xx, ta có d(x0,y)=tr<rd(x_0, y) = tr < r, và d(x,y)=(1−t)rd(x, y) = (1 - t)r nhỏ tùy ý; suy ra xx nằm trong bao đóng của quả cầu mở có tâm x0x_0 và bán kính rr. Lại nữa, nếu z=x+t(x−x0)z = x + t(x - x_0) (t>0t > 0) là một điểm của tia mở có gốc xx và vectơ chỉ phương x−x0x - x_0, ta có

d(x0,z)=(1+t)r>r, d(x_0, z) = (1 + t)r > r,
và d(x,z)=trd(x, z) = tr nhỏ tùy ý; do đó xx không phải là một điểm trong của quả cầu đóng có tâm x0x_0 và bán kính rr.

Hệ quả

Mọi mặt cầu Euclid đều là một tập compact và là biên của các quả cầu mở và đóng có cùng tâm và cùng bán kính.

Ánh xạ x→1r(x−x0)x \to \frac{1}{r}(x - x_0) biến mặt cầu (resp. quả cầu mở, quả cầu đóng) có tâm x0x_0 và bán kính rr thành mặt cầu (resp. quả cầu mở, quả cầu đóng) có tâm oo và bán kính 11; mặt cầu này được ký hiệu bởi Sn−1S_{n-1} và được gọi là mặt cầu đơn vị trong Rn\mathbf{R}^n. Tương tự, quả cầu đóng có tâm oo và bán kính 11 được ký hiệu bởi BnB_n và được gọi là quả cầu đơn vị trong Rn\mathbf{R}^n. Do đó, việc khảo sát tôpô của một mặt cầu có (n−1)(n - 1) chiều (resp. một quả cầu đóng có nn chiều) được quy về việc khảo sát Sn−1S_{n-1} (resp. BnB_n). Đối với các quả cầu mở, ta có mệnh đề sau:

Mệnh đề 2

Mọi quả cầu mở nn-chiều đều đồng phôi với Rn\mathbf{R}^n.

Thật vậy, ánh xạ x→x1+∣∣x∣∣x \to \frac{x}{1 + ||x||} liên tục trên Rn\mathbf{R}^n và ánh xạ Rn\mathbf{R}^n lên quả cầu mở có tâm oo và bán kính 11; hơn nữa, từ y=x1+∣∣x∣∣y = \frac{x}{1 + ||x||} suy ra x=y1−∣∣y∣∣x = \frac{y}{1 - ||y||}, nên ánh xạ là song ánh và song liên tục.

Ký hiệu Rn∗\mathbf{R}_n^* là phần bù của oo trong Rn\mathbf{R}^n.

Mệnh đề 3

Không gian Rn∗\mathbf{R}_n^* đồng phôi với tích của Sn−1S_{n-1} và không gian R+∗\mathbf{R}_+^* của các số thực >0> 0.

Mọi điểm x≠ox \neq o đều có thể được viết duy nhất dưới dạng tztz, với t>0t > 0 và ∣∣z∣∣=1||z|| = 1, vì x=tzx = tz suy ra t=∣∣x∣∣t = ||x|| và z=x/∣∣x∣∣z = x/||x||. Vì tztz liên tục trên tích R×Rn\mathbf{R} \times \mathbf{R}^n và do đó a fortiori trên R+∗×Sn−1\mathbf{R}_+^* \times S_{n-1}, và vì ∣∣x∣∣||x|| và 1∣∣x∣∣\frac{1}{||x||} liên tục trên Rn∗\mathbf{R}_n^*, mệnh đề được chứng minh.

Đánh xạ x→x/∣∣x∣∣x \to x/||x|| được gọi là phép chiếu tâm của Rn∗\mathbf{R}_n^* lên Sn−1S_{n-1}. Người ta cũng định nghĩa theo cùng một cách phép chiếu tâm của phần bù của một điểm aa lên một mặt cầu tâm aa.

Hệ quả 1

Mặt cầu* Sn−1S_{n-1} đồng phôi với thương của Rn∗\mathbf{R}_n^* theo quan hệ tương đương mà các lớp là các tia mở có gốc oo.

Những lớp này cũng có thể được định nghĩa là các lớp quỹ đạo, khác {o}\{ o \}, của nhóm các phép vị tự tỉ số >0> 0.

Hệ quả 2

Không gian* Rn∗\mathbf{R}_n^* đồng phôi với R×Sn−1\mathbf{R} \times S_{n-1}.

Vì R+∗=]0,+∞[\mathbf{R}_+^* = ]0, +\infty[ đồng phôi với R\mathbf{R} (Chương IV, § 4, No. 1, Mệnh đề 1).

Nhận xét

Những mệnh đề này không chỉ riêng đối với các quả cầu Euclid, mà còn có thể được mở rộng cho cả một lớp các lân cận compact của oo trong Rn\mathbf{R}^n (xem Bài tập 12).

Các tập hợp Sn−1S_{n-1} và BnB_n hiển nhiên bất biến dưới mọi phép biến đổi trực giao. Nếu VV là một không gian con vectơ pp chiều trong Rn\mathbf{R}^n, tồn tại một phép biến đổi trực giao biến VV thành một không gian con tọa độ pp chiều; do đó V∩Sn−1V \cap S_{n-1} (tương ứng V∩BnV \cap B_n) đồng phôi với Sp−1S_{p-1} (tương ứng BpB_p).

4. Phép chiếu lập thể

Xét điểm en=(0,…,0,1)e_n = (0, \ldots, 0, 1) của Sn−1S_{n-1}, và siêu phẳng HH có phương trình xn=0x_n = 0, vuông góc với vectơ ene_n. Với mỗi điểm x=(xi)x = (x_i) của Sn−1S_{n-1}, khác ene_n, ta ứng với điểm yy là giao điểm của đường thẳng đi qua ene_n và xx với siêu phẳng HH (Hình 3). Dễ dàng kiểm tra rằng ta có

y=11−xn(x−xnen) y = \frac{1}{1 - x_n} (x - x_n e_n)

và

x=∣∣y∣∣2−1∣∣y∣∣2+1en+2∣∣y∣∣2+1y. x = \frac{||y||^2 - 1}{||y||^2 + 1} e_n + \frac{2}{||y||^2 + 1} y.

!Sơ đồ minh họa phép chiếu lập thể

Hình 3.

==========

Nếu ký hiệu bởi AA phần bù của {en}\{ e_n \} trong Sn−1S_{n-1}, thì các công thức này cho thấy như vậy ta đã xác định một đồng phôi của AA lên siêu phẳng HH. Đồng phôi này được gọi là phép chiếu lập thể của AA lên HH, hay (theo lối nói quen) của Sn−1S_{n-1} lên HH; ene_n là đỉnh của phép chiếu, HH là siêu phẳng chiếu. Tổng quát hơn, nếu H′H' là bất kỳ siêu phẳng nào đi qua oo (một siêu phẳng đường kính của BnB_n) và nếu aa là một trong các điểm giao của Sn−1S_{n-1} với đường thẳng vuông góc với H′H' đi qua oo, ta có thể định nghĩa theo cùng cách phép chiếu lập thể với đỉnh aa lên siêu phẳng chiếu H′H'; trong mọi trường hợp, phép chiếu này có thể được đưa về phép chiếu trước đó bằng một phép biến đổi trực giao biến H′H' thành HH và aa thành ene_n.

Mệnh đề 4

Nếu n>1n > 1, hình cầu Euclid Sn−1S_{n-1} đồng phôi với không gian Rn−1\mathbf{R}^{n-1} được làm compact bằng cách ghép thêm một "điểm ở vô cực"*(Chương I, § 9, no. 8, Định lý 4).

Vì phép chiếu lập thể xác định một đồng phôi của phần bù của một điểm trong Sn−1S_{n-1} lên một siêu phẳng của Rn\mathbf{R}^n, mà siêu phẳng ấy đồng phôi với Rn−1\mathbf{R}^{n-1}.

Hệ quả 1

Hình cầu SnS_n đồng phôi với không gian thương của quả cầu BnB_n thu được bằng cách đồng nhất tất cả các điểm của hình cầu Sn−1S_{n-1}*.

Quả cầu BnB_n là một không gian chính quy (Chương I, § 8, no. 4); do đó không gian thương FF của BnB_n thu được bằng cách đồng nhất tất cả các điểm của Sn−1S_{n-1} là Hausdorff (Chương I, § 8, no. 6, Mệnh đề 15). Vì BnB_n compact, nên FF cũng compact, và do đó FF đồng phôi với một quả cầu mở nn chiều được làm compact bằng cách ghép thêm một điểm ở vô cực, theo định lý của Alexandroff (Chương I, § 9, no. 8, Định lý 4). Kết quả vì thế suy ra từ Mệnh đề 2 và 4.

Hệ quả 2

Đường tròn S1S_1 đồng phôi với xuyến TT*.

Trong Chương VIII, § 2, no. 1, ta sẽ lại thu được kết quả này như một hệ quả của một định lý chính xác hơn.

Mệnh đề 5

Nếu n>1n > 1, hình cầu Euclid Sn−1S_{n-1} liên thông và liên thông địa phương, và mọi điểm của nó đều có một lân cận mở đồng phôi với Rn−1\mathbf{R}^{n-1}.

Phần bù của một điểm trong Sn−1S_{n-1} là một tập hợp trù mật liên thông, và do đó (Chương I, § 11, no. 1, Mệnh đề 1) Sn−1S_{n-1} liên thông. Để thấy rằng mỗi điểm đều có một lân cận đồng phôi với Rn−1\mathbf{R}^{n-1}, ta chỉ cần chiếu lập thể từ một đỉnh khác với điểm đã cho.

Từ mệnh đề này và từ Mệnh đề 3 của no. 3 suy ra rằng Rn∗\mathbf{R}_n^*, là tích của hai không gian liên thông, nên liên thông (Chương I, § 11, no. 4, Mệnh đề 8; xem § 1, Bài tập 10).

Giao của Sn−1S_{n-1} với một nửa không gian đóng (tương ứng mở) được xác định bởi một siêu phẳng đường kính của BnB_n được gọi là một bán cầu đóng (tương ứng bán cầu mở) của Sn−1S_{n-1}. Bằng phép chiếu lập thể lên siêu phẳng đường kính, bán cầu đóng (tương ứng bán cầu mở) không chứa đỉnh chiếu được ánh xạ lên một quả cầu đóng (tương ứng quả cầu mở) n−1n - 1 chiều, nên do đó nó đồng phôi với nó.

Nếu n=2n = 2, ta nói "nửa đường tròn" thay vì "bán cầu".

Bài tập

Xem bài tập cho § 2.

==========

Machine translation of the English, by gpt-5.4-mini, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.