3. Các không gian xạ ảnh thực

Trong mục này chúng ta sẽ cần thường xuyên viện dẫn các khái niệm và kết quả về các không gian thương (Chương I, § 3), và đặc biệt là hai tính chất sau đây, mà để tiện lợi chúng ta phát biểu dưới dạng các bổ đề:

Cho $E$ là một không gian tôpô, $R$ một quan hệ tương đương trên $E$, $A$ một tập con của $E$, $R_A$ là quan hệ tương đương cảm sinh trên $A$ bởi $R$ và cho $f$ là ánh xạ chính tắc của $E$ lên $E/R$. Khi đó:

1. Tôpô của các không gian xạ ảnh thực

Chúng ta nhắc lại các định nghĩa sau đây từ đại số: cho một vành chia hoặc một trường K, tập hợp các đường thẳng đi qua o (tức là các không gian vectơ con có chiều 1) trong không gian vectơ trái K_s^{n+1} trên K được gọi là không gian xạ ảnh trái chiều n trên K, và được ký hiệu là P_n(K).

Nếu ta cho tương ứng với mỗi đường thẳng đi qua o trong K_s^{n+1} cùng đường thẳng ấy bỏ đi gốc tọa độ, ta có một song ánh của P_n(K) lên thương của K_{n+1}^* (phần bù của {o} trong K_s^{n+1}) bởi quan hệ tương đương sau đây Δ_n(K) giữa các vectơ x và y của K_{n+1}^*: "tồn tại t ∈ K sao cho t ≠ o và y = tx". Trong phần sau chúng ta sẽ đồng nhất P_n(K) với tập thương này. Trong lý thuyết các không gian xạ ảnh, ta lấy khoảng [0, n] của N làm tập chỉ số cho các tọa độ của một điểm của K_{n+1}^*. Các tọa độ x_i (0 ≤ i ≤ n) của bất kỳ một điểm nào của K_{n+1}^* mà ảnh chính tắc là x ∈ P_n(K) tạo thành cái được gọi là một hệ tọa độ thuần nhất của điểm x.

Với mỗi số nguyên p sao cho −1 ≤ p ≤ n, ảnh chính tắc trong P_n(K) của một không gian vectơ con chiều p + 1 (không chứa gốc tọa độ) của K_s^{n+1} được gọi là một đa tạp tuyến tính xạ ảnh chiều p. Một hệ gồm p điểm của P_n(K) được gọi là tự do nếu nó gồm các ảnh chính tắc của p điểm của K_{n+1}^* tạo thành một hệ tự do trong không gian vectơ K_s^{n+1}. Đa tạp tuyến tính xạ ảnh của P_n(K) được sinh bởi một hệ tự do gồm p + 1 điểm (tức là đa tạp tuyến tính xạ ảnh nhỏ nhất chứa p + 1 điểm này) có chiều p.

Khi K là trường R, các không gian xạ ảnh tương ứng có thể được trang bị tôpô, và đó là những không gian mà chúng ta sẽ nghiên cứu.

Không gian xạ ảnh P_1(R) được gọi là đường xạ ảnh thực, và P_2(R) được gọi là mặt phẳng xạ ảnh thực.

Khi không có nguy cơ nhầm lẫn, chúng ta sẽ viết P_n và Δ_n thay cho P_n(R) và Δ_n(R).

2. Các đa tạp tuyến tính xạ ảnh

Mọi ánh xạ tuyến tính đơn ánh $f$ từ $\mathbf{R}^{n+1}$ vào $\mathbf{R}^{m+1}$ ($m \geq n$) xác định, bằng cách hạn chế trên $\mathbf{R}_{n+1}^*$ rồi sau đó đi qua thương theo các quan hệ $\Delta_n$ và $\Delta_m$ (Lý thuyết tập hợp, R, $\S$ 5, no 8), một ánh xạ đơn ánh g của $P_n$ vào $P_m$, được gọi là một ánh xạ tuyến tính xạ ảnh. Nếu $\varphi$ (tương ứng $\psi$) là ánh xạ chính tắc của $\mathbf{R}_{n+1}^*$ lên $P_n$ (tương ứng của $\mathbf{R}_{m+1}^*$ lên $P_m$), ta có $g \circ \varphi = \psi \circ f$, điều đó cho thấy rằng g là liên tục trên $P_n$ (Chương I, $\S$ 3, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 6). Đặc biệt, mọi biến đổi tuyến tính xạ ảnh của $P_n$ (tức là một ánh xạ tuyến tính xạ ảnh của $P_n$ lên chính nó) là một đồng phôi của $P_n$ lên chính nó.

Ta cũng nhắc lại rằng, nếu V và V' là hai đa tạp tuyến tính xạ ảnh có p chiều trong $P_n$, thì tồn tại một biến đổi tuyến tính xạ ảnh của $P_n$ biến V thành V'. Đặc biệt, nếu $p \geq 0$, tồn tại một biến đổi tuyến tính xạ ảnh biến V thành một đa tạp tuyến tính xạ ảnh tọa độ, tức là ảnh chính tắc của một đa tạp tọa độ W' có $p + 1$ chiều (không có điểm o) của $\mathbf{R}^{n+1}$. Nếu đồng nhất W' với $\mathbf{R}_{p+1}^*$, quan hệ cảm sinh bởi $\Delta_n$ trên W' chính xác là $\Delta_p$; vì W' đóng và bão hòa đối với $\Delta_n$, Bổ đề 1 cho thấy rằng V' đồng phôi với $P_p$ và đóng trong $P_n$; hơn nữa, nếu $p < n$, phần bù của nó trù mật trong $P_n$ ($\S$ 1, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 3). Suy ra:

3. Nhúng không gian số thực vào không gian xạ ảnh

Mệnh đề 5 của no. 2 chỉ ra rằng nếu ta cho một siêu phẳng xạ ảnh $\mathbf{H}$ trong $\mathbf{P}_n$ ($n \geq 0$), thì tồn tại một đồng phôi từ $\mathbf{R}^n$ lên phần bù $\mathbf{C}H$ của siêu phẳng này. Một khi $\mathbf{H}$ đã được chọn, thường thuận tiện khi đồng nhất $\mathbf{R}^n$ và $\mathbf{C}H$ bằng đồng phôi được định nghĩa trong Mệnh đề 5; khi đó siêu phẳng xạ ảnh $H$ được gọi là "ở vô cực", và các điểm cũng như các tập con của nó cũng vậy. Thông thường người ta lấy $H$ là siêu phẳng "tọa độ" có phương trình là $x_0 = 0$; và khi đó điểm $z = (z_1)$ của $\mathbf{R}^n$ được đồng nhất với điểm của $P_n$ có các tọa độ thuần nhất là $1, z_1, z_2, \ldots, z_n$.

Sau khi đã thực hiện sự đồng nhất này, bao đóng trong $P_n$ của bất kỳ đa tạp tuyến tính afin nào $V$ có $p$ chiều trong $\mathbf{R}^n$ là một đa tạp tuyến tính xạ ảnh có $p$ chiều, không được chứa trong siêu phẳng ở vô cực, và đồng nhất với đa tạp tuyến tính xạ ảnh được sinh bởi $V$. Ngược lại, mọi đa tạp tuyến tính xạ ảnh $P$ có $p$ chiều mà không được chứa trong siêu phẳng ở vô cực thì có vết trên $\mathbf{R}^n$ là một đa tạp tuyến tính afin có $p$ chiều, mà bao đóng của nó trong $P_n$ là $P$.

Trong trường hợp riêng $n = 1$, siêu phẳng ở vô cực là một điểm; vì $P_1$ là compact, suy ra từ định lý của Alexandroff (Chương I, § 9, no. 8, Định lý 4) rằng $P_1$ đồng phôi với không gian $\tilde{\mathbf{R}}$ thu được bằng cách compact hóa không gian địa phương compact $\mathbf{R}$ bằng phép nối một điểm (the "điểm ở vô cực"). Theo Mệnh đề 4 của § 2, no. 4, ta cũng thấy rằng đường thẳng xạ ảnh thực $P_1' \mathbf{R}$ đồng phôi với đường tròn $S_1$ và với xuyến $T$.

Mặt khác, nếu $n > 1$, thì $P_n(\mathbf{R})$ không đồng phôi với $S_n$, như ta sẽ thấy sau (cf. Bài tập 4).

"Điểm ở vô cực" của không gian $\tilde{\mathbf{R}}$ được ký hiệu bởi $\infty$, không có dấu nào gắn kèm. Cần tránh nhầm lẫn $\tilde{\mathbf{R}}$ với đường thẳng thực mở rộng $\mathbf{R}$ được định nghĩa trong Chương IV, § 4, vốn có hai "điểm ở vô cực"; thật vậy, $\tilde{\mathbf{R}}$ đồng phôi với không gian thương của $\mathbf{R}$ thu được bằng cách đồng nhất hai điểm $+\infty$ và $-\infty$.

4. Ứng dụng vào mở rộng các hàm giá trị thực

Vì $\mathbf{R}$ có thể được xem như một tập con của $\tilde{\mathbf{R}}$, nên mọi ánh xạ của một tập $E$ vào $\mathbf{R}$ (tức là mọi hàm giá trị thực trên $E$) đều có thể được xem như một ánh xạ của $E$ vào $\tilde{\mathbf{R}}$; cụ thể hơn, nếu $E$ là một tập con của một không gian tôpô $F$ và $f$ là một ánh xạ của $E$ vào $\mathbf{R}$, thì có thể xảy ra rằng tại một số điểm của bao đóng $F_c$ của $E$, $f(x)$ tiến tới giới hạn $\infty$ khi $x$ tiến tới một trong các điểm này nhưng vẫn nằm trong $E$; khi đó ta có thể mở rộng hàm $f$ liên tục bằng cách gán cho nó giá trị $\infty$ tại các điểm này (Chương I, § 8, no. 5, Định lý 1).

Xét riêng trường hợp $E$ là một tập con của $\mathbf{R}^n$, trong đó chính không gian $\mathbf{R}^n$ được xem như được nhúng trong không gian xạ ảnh $P_n$; nếu ta giả sử rằng siêu phẳng ở vô cực là $x_0 = 0$, thì một hàm giá trị thực $f$ được xác định trên $E$ có thể được đồng nhất với ánh xạ

của $E$ vào $\tilde{\mathbf{R}}$; từ những gì đã nói ở đoạn trước có thể có thể mở rộng hàm này, không những tới một số điểm của $\mathbf{R}^n$ trong bao đóng của $E$, mà còn tới một số "điểm ở vô cực" của $\mathbf{P}_n$ trong bao đóng của $E$.

Ta hãy chỉ ra rằng, theo cách này, chẳng hạn, ta thu được sự mở rộng liên tục lên toàn bộ $\tilde{\mathbf{R}}$ của một hàm hữu tỉ của một biến thực, đã được định nghĩa trong đại số. Ta đồng nhất $\tilde{\mathbf{R}}$ với $\mathbf{P}_1$, mọi số thực $x \in \mathbf{R}$ được đồng nhất với điểm có tọa độ thuần nhất là $(1, x)$, và điểm $\infty$ với điểm có tọa độ thuần nhất là $(0, 1)$. Cho $u(x, y)$ là một hàm hữu tỉ, trong đó $u$ và $v$ là hai đa thức nguyên tố cùng nhau có bậc lần lượt là $m$ và $n$; nếu chẳng hạn ta giả sử rằng $m \leq n$, và nếu ta đặt $u_1(x, y) = x^n u(x, y)$, $v_1(x, y) = x^n v(x, y)$, thì hàm hữu tỉ $u/v$ có thể được xem như sự hạn chế, trên tập các số thực $x$ sao cho $v(x) \neq 0$, của ánh xạ $(x, y) \to (u_1(x, y), v_1(x, y))$. Nói cách khác, ta mở rộng $u/v$ bằng liên tục, bằng cách cho nó giá trị $\infty$ tại những điểm $x \in \mathbf{R}$ nơi $v(x) = 0$, và bằng cách cho nó tại điểm $\infty$ giá trị $0$ nếu $m < n$, giá trị $\infty$ nếu $m > n$, và giá trị của tỉ số các hệ số đầu nếu $m = n$.

Đặc biệt, hàm $1/x$ có thể được mở rộng tới điểm $0$ bằng cách lấy giá trị $\infty$ ở đó, tới $\infty$ bằng cách lấy giá trị $0$ ở đó; hàm đã mở rộng này hiển nhiên là một đồng phôi của $\tilde{\mathbf{R}}$ lên chính nó. Điều tương tự đúng với hàm phân tuyến tính $(ax + b)/(cx + d)$ khi $ad - bc \neq 0$.

Tương tự, nếu $n$ là một số nguyên $> 0$, thì hàm $x^n$ được mở rộng tới điểm $\infty$ bằng cách lấy giá trị $\infty$ ở đó.

Ngược lại, nhìn chung không thể mở rộng bằng liên tục một hàm hữu tỉ của hai biến thực hoặc tới không gian $\mathbf{P}_1 \times \mathbf{P}_1$ hoặc tới không gian $\mathbf{P}_2$ (xem Bài tập 5).

5. Các không gian của các đa tạp tuyến tính xạ ảnh

Giả sử $K$ là một vành chia, tập $\mathbf{P}_{n,p}(K)$ các đa tạp tuyến tính xạ ảnh có số chiều $p \geq 0$ của không gian xạ ảnh trái $\mathbf{P}_n(K)$ rõ ràng tương ứng một-một với tập các không gian con vectơ có số chiều $p - 1$ của không gian vectơ trái $K_s^{p-1}$. Ký hiệu $L_{s-1,s-1}(K)$ là tập các hệ tự do $(x_i)_{1 \leq i \leq s-1}$ gồm $p - 1$ vectơ của $K_s^{p-1}$; khi đó tập $\mathbf{P}_{n,p}(K)$ lại tương ứng một-một với thương của $L_{n+1,\ p+1}(K)$ bởi quan hệ tương đương $\Delta_{n,\ p}(K)$: " $(x^k)$ và $(y^k)$ sinh ra cùng một không gian con vectơ có số chiều $p + 1$ của $K_s^{n+1}$". Trong phần sau, ta sẽ đồng nhất $P_{n,\ p}(K)$ với tập thương này. Mặt khác, nếu với mỗi hệ tự do $(x_k)$ gồm $p + 1$ vectơ của $K_s^{n+1}$ ta cho tương ứng ma trận $X$ gồm $p + 1$ hàng và $n + 1$ cột, trong đó $x_k$ là hàng thứ $k$ ($1 \leq k \leq p + 1$), thì ta có một sự tương ứng một-một giữa $L_{n+1,\ p+1}(K)$ và tập tất cả các ma trận có $p + 1$ hàng và $n + 1$ cột có hạng $p + 1$; ta sẽ đồng nhất $L_{n+1,\ p+1}(K)$ với tập các ma trận này, và quan hệ $\Delta_{n,\ p}(K)$ giữa hai ma trận $X, Y$ khi đó là như sau: "tồn tại một ma trận vuông khả nghịch $T$ có cấp $p + 1$ sao cho $Y = T.X$".

Trong phần sau, ta sẽ lấy $K$ là trường $\mathbf{R}$, và sẽ bỏ chữ $K$ trong ký hiệu ở trên. Ta có thể định nghĩa một tôpô trên $P_{n,\ p}$ bằng một quá trình khái quát hóa định nghĩa tôpô của các không gian xạ ảnh thực. Cụ thể, $L_{n+1,\ p+1}$ được chứa trong không gian $M_{p+1,\ n+1}$ của tất cả các ma trận có $p + 1$ hàng và $n + 1$ cột với phần tử thực; ta trang bị cho $L_{n+1,\ p+1}$ tôpô cảm sinh bởi tôpô của không gian ma trận này ($\S \ 1$, no. 6).

Ta sẽ dùng ký hiệu sau: cho một ma trận $X$ gồm $p + 1$ hàng và $n + 1$ cột, và cho bất kỳ dãy tăng ngặt nào

của $p + 1$ chỉ số thuộc khoảng $[0, n]$ của $\mathbf{N}$, ta ký hiệu $X_\sigma$ là ma trận con vuông của $X$ được tạo bởi các cột có các chỉ số là $i_1, i_2, \ldots, i_{p+1}$. Ta ký hiệu $A_\sigma$ là tập con của $L_{p+1,\ p+1}$ gồm các ma trận $X$ sao cho $X_\sigma$ không suy biến. Theo Mệnh đề 6 của $\S \ 1$, số 6, $A_\sigma$ là một tập trù mật mở trong $M_{p+1,\ n+1}$, và hàm $X \to X_\sigma^{-1}$ là liên tục trên $A_\sigma$.

Một diễn giải hình học của tập $A_\sigma$ như sau: gọi $E_\sigma$ là không gian con vectơ của $\mathbf{R}^{n+1}$ sinh bởi các vectơ $e_i$ của cơ sở chính tắc sao cho $i \in \sigma$, và gọi $E'_\sigma$ là không gian con bổ sung sinh bởi các $e_i$ sao cho $i \notin \sigma$; khi đó nói rằng một ma trận $x$ thuộc $A_\sigma$ có nghĩa là các hình chiếu trên $E_\sigma$ của $p + 1$ hàng của nó $x_k$ tạo thành một hệ tự do, hoặc cũng có nghĩa là không gian con vectơ sinh bởi các $x_k$ là một phần bù của $E'_\sigma$ (hoặc rằng giao của nó với $E'_\sigma$ chỉ gồm 0).

6. Grassmannians

Nếu $K$ là một trường và $X$ là một ma trận bất kỳ của $L_{n+1,p+1}(K)$, hãy ký hiệu $c_\sigma(X)$ là định thức của $X_\sigma$; theo cách đó, ứng với mỗi ma trận $X$ của $L_{n+1,p+1}(K)$ ta có

định thức, không phải tất cả đều bằng không (các thành phần của tích ngoài của $p + 1$ hàng của $X$). Nếu ta cho ứng với $X$ là điểm của không gian xạ ảnh $P_{n-1}(K)$ có các tọa độ thuần nhất là các $c_\sigma(X)$, ta đã xác định một ánh xạ của $L_{n+1,p+1}(K)$ vào $P_{n-1}(K)$, tương thích với quan hệ $\Delta_{n,p}(K)$; đi qua thương, do đó ta có một ánh xạ $f$ của $P_{n,p}(K)$ vào $P_{n-1}(K)$. Ảnh $G_{n,p}(K)$ của $P_{n,p}(K)$ qua ánh xạ này được gọi là Grassmannian của các chỉ số n, p. Ta cũng nhắc lại rằng ánh xạ $f$ là đơn ánh, vì nếu $X$ là một ma trận sao cho $X_\sigma$ không suy biến, thì ma trận $Y = X_\sigma^{-1}X$ thuộc $B_\sigma$ ứng với lớp của $X$ mod. $\Delta_{n,p}(K)$ là ma trận $(d_{ij}/c_\sigma(X))$ (1 ≤ i ≤ p + 1, 0 ≤ j ≤ n), trong đó $d_{ij}$ ký hiệu định thức của ma trận thu được từ $X_{\sigma}$ bằng cách thay thế cột thứ $i$ của $X_{\sigma}$ bằng cột thứ $j$ của $X$ [điều này suy ra rằng $d_{ij}$, tới dấu, bằng một trong các $c_{\tau}(X)$].

Khi $K$ là trường $\mathbf{R}$, ánh xạ $f$ này hiển nhiên là liên tục. Ánh xạ nghịch đảo $g$ cũng liên tục; vì các phần tử của một ma trận thuộc $B_{\sigma}$ là các hàm hữu tỉ của các tọa độ thuần nhất của điểm của Grassmannian mà nó tương ứng với; vì $f(B_{\sigma}) = B'_{\sigma}$ là tập các điểm của $G_{n,p}$ có tọa độ thuần nhất với chỉ số $\sigma$ khác 0, nên đó là một tập mở trong $G_{n,p}$; do đó $g$ liên tục tại mọi điểm của $B'_{\sigma}$, và vì mọi điểm của $G_{n,p}$ thuộc về ít nhất một tập $B'_{\sigma}$, nên $g$ liên tục tại mọi điểm. Vậy:

Bài tập

Xem các bài tập cho § 3.