Ghi chú lịch sử

(Các số trong ngoặc vuông tham chiếu đến thư mục ở cuối ghi chú này.)

Chúng ta đã có dịp nhận xét rằng sự phát triển của hình học giải tích của mặt phẳng và trong không gian đã dẫn các nhà toán học đến khái niệm không gian $n$-chiều, khái niệm này cung cấp cho họ một ngôn ngữ hình học cực kỳ thuận tiện để biểu đạt một cách đơn giản và cô đọng các định lý đại số về các phương trình với một số tùy ý các biến, và đặc biệt là tất cả các kết quả tổng quát của đại số tuyến tính. Nhưng mặc dù ngôn ngữ này đã trở nên thông dụng với nhiều nhà hình học vào giữa thế kỷ 19, nó vẫn chỉ thuần túy là một vấn đề thuận tiện, và sự thiếu vắng một biểu diễn "trực giác" của các không gian có hơn ba chiều dường như ngăn cấm, trong các không gian như vậy, các lập luận "bởi tính liên tục" vốn dựa hoàn toàn trên "trực giác", được cho phép trong mặt phẳng và trong không gian (ba chiều). Trong các nghiên cứu của mình về giải tích situs và về các cơ sở của hình học, Riemann là người đầu tiên sử dụng những xem xét thuộc loại này, bằng phép tương tự với không gian ba chiều (xem Ghi chú lịch sử về Chương I) (*); theo gương ông, nhiều nhà toán học được khuyến khích sử dụng những lập luận như vậy, với thành công lớn, đặc biệt trong lý thuyết các hàm đại số của nhiều biến phức. Nhưng xét đến sự kiểm soát rất hạn chế đối với trực giác không gian vào thời kỳ đó, người ta có thể có lý do chính đáng để vẫn hoài nghi về giá trị chứng minh của những xem xét như vậy, và chỉ cho phép sử dụng chúng trên cơ sở thuần túy kinh nghiệm, như là có xu hướng làm cho chân lý của một số định lý trở nên hợp lý. Vì vậy Poincaré, trong hồi ký năm 1887 của ông về các phần dư của các tích phân kép của hai biến phức, đã tránh, trong chừng mực có thể, mọi sự viện dẫn đến trực giác trong không gian bốn chiều: "Comme cette langue hypergéométrique répugne encore à beaucoup de bons esprits,

(*) Cũng xem các công trình của L. Schlafli, có niên đại cùng thời kỳ nhưng vẫn chưa được công bố cho đến thế kỷ này [3].

je n’en ferai qu’un usage peu fréquent"; các thủ pháp mà ông sử dụng cho mục đích này cho phép ông làm cho các lập luận tôpô trở nên đủ dùng khi ông bàn về không gian ba chiều, ông không còn do dự trong việc viện đến trực giác ([1]).

Hơn nữa, các phát hiện của Cantor, và đặc biệt là định lý nổi tiếng khẳng định rằng $\mathbf{R}$ và $\mathbf{R}^n$ là đẳng lực lượng [điều dường như làm suy yếu toàn bộ khái niệm về chiều (*)], đã chỉ ra rằng, để đặt hình học và tôpô trên một nền tảng vững chắc, điều thiết yếu là phải giải phóng chúng hoàn toàn khỏi mọi sự phụ thuộc vào trực giác. Chúng ta đã ghi nhận (xem Ghi chú lịch sử về Chương I) rằng nhu cầu này là nguồn gốc của quan niệm hiện đại về tôpô tổng quát; nhưng ngay cả trước khi lý thuyết sau này được tạo lập, một nghiên cứu nghiêm ngặt về tôpô của các không gian $n$-chiều thực và các tổng quát hóa ngay lập tức của chúng ("đa tạp $n$-chiều") đã bắt đầu bằng các phương pháp thực sự thuộc về nhánh của tôpô được gọi là "tôpô tổ hợp", hay tốt hơn là "tôpô đại số". Một tập trong chuỗi này sẽ được dành cho nhánh tôpô này, và ở đó độc giả sẽ tìm thấy thông tin về các giai đoạn lịch sử trong sự phát triển của nó; trong chương này chúng ta chỉ giới hạn ở việc thiết lập các tính chất tôpô sơ cấp nhất của các không gian số thực và các không gian xạ ảnh thực, những không gian mà về mặt lịch sử đã được dùng làm điểm khởi đầu cho các phương pháp của tôpô đại số.

(*) Điều thú vị cần chú ý là Dedekind, ngay khi biết về kết quả này, đã hiểu lý do của vẻ ngoài nghịch lý của nó, và nhận xét với Cantor rằng hẳn có thể chứng minh sự không thể tồn tại của một sự tương ứng song liên tục một-một giữa $\mathbf{R}^n$ và $\mathbf{R}^m$ khi $m \neq n$ [2].

[1] L. SCHLÄFLI, Gesammelte mathematische Abhandlungen, vol. 1, Basel (Birkhauser), 1950, pp. 169-387. [2] H. POINCARÉ, Œuvres, vol. 3, p. 443 et seq. Paris (Gauthier-Villars) (1934) [Acta Mathematica, 9 (1887), p. 321]. [3] G. CANTOR and R. DEDEKIND. Briefwechsel, Act. Sci. et Ind., no. 518, Paris (Hermann) (1937).