§ 3. Espaces projectifs réels

Nous aurons constamment à faire usage, dans ce paragraphe, des notions et résultats relatifs aux espaces quotients (I, p. 20), et notamment des deux propriétés suivantes, que nous énoncerons pour plus de commodité sous forme de lemmes:

Soient E un espace topologique, R une relation d’équivalence dans E, A une partie de E, $R_A$ la relation d’équivalence induite sur A par R; soit enfin $f$ l’application canonique de E sur E/R. Avec ces notations:

Lemme 1. — Si tout ensemble ouvert (resp. fermé) dans A et saturé pour $R_A$ est la trace sur A d’un ensemble ouvert (resp. fermé) dans E et saturé pour R, l’espace quotient $A/R_A$ est homéomorphe au sous-espace $f(A)$ de E/R. Il en est ainsi en particulier si A est ouvert ou fermé dans E et saturé pour R.

Cela résulte de la prop. 10 de I, p. 23.

Lemme 2. — S’il existe une application continue $g$ de E sur A, telle que, pour tout $x \in E$, $g(x)$ appartienne à la classe d’équivalence de $x$, l’espace $A/R_A$ est homéomorphe à E/R.

Cela n’est autre que le cor. 2 de I, p. 23.

1. Topologie des espaces projectifs réels

Rappelons (A, II, p. 132) qu’étant donné un corps K et un entier $n \geq -1$, on appelle espace projectif à gauche à n dimensions sur le corps K et on note $\mathbf{P}_n(K)$ l’ensemble quotient de $K_{n+1}^*$ (complémentaire de $\{0\}$ dans l’espace vectoriel à gauche $K^{n+1}$) par la relation d’équivalence $\Delta_n(K)$ entre vecteurs $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ de $K_{n+1}^*$: « il existe $t \in K$ tel que $t \neq 0$ et $\mathbf{y} = t \mathbf{x}$ ». Dans la théorie des espaces projectifs, on prend l’intervalle $(0, n)$ de $\mathbf{N}$ comme ensemble d’indices des coordonnées d’un point de $K_{n+1}^*$. Les coordonnées $x_i$ ($0 \leq i \leq n$) d’un quelconque des points de $K_{n+1}^*$ dont un point $\mathbf{x} \in \mathbf{P}_n(K)$ est l’image canonique, constituent ce qu’on appelle un système de coordonnées homogènes du point $\mathbf{x}$ (A, II, p. 133).

On appelle variété linéaire projective à p dimensions de $\mathbf{P}_n(K)$ (pour tout entier $p$ tel que $-1 \leq p \leq n$) l’image canonique dans $\mathbf{P}_n(K)$ d’un sous-espace vectoriel à $p + 1$ dimensions (privé de l’origine) de $K^{n+1}$. Un système de $p$ points de $\mathbf{P}_n(K)$ est dit libre s’il se compose des images canoniques de $p$ points de $K_{n+1}^*$ formant un système libre dans l’espace vectoriel $K^{n+1}$; la variété linéaire projective de $\mathbf{P}_n(K)$ engendrée par un système libre de $p + 1$ points (c’est-à-dire la plus petite variété linéaire projective contenant ces $p + 1$ points) a $p$ dimensions.

Lorsque K est le corps $\mathbf{R}$ des nombres réels, on peut munir les espaces projectifs correspondants de topologies dont nous allons faire l’étude.

L’espace projectif $\mathbf{P}_1(\mathbf{R})$ s’appelle droite projective réelle, l’espace projectif $\mathbf{P}_2(\mathbf{R})$ plan projectif réel.

Lorsque aucune confusion ne sera possible, nous écrirons $\mathbf{P}_n$ et $\Delta_n$ au lieu de $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ et $\Delta_n(\mathbf{R})$.

2. Variétés linéaires projectives

Rappelons (A, II, p. 136) que toute application linéaire injective $f$ de $\mathbf{R}^{n+1}$ dans $\mathbf{R}^{m+1}$ ($m \geqslant n$) définit, par restriction à $\mathbf{R}_{n+1}^*$, puis passage aux quotients pour les relations $\Delta_n$ et $\Delta_m$, une application injective $g$ de $P_n$ dans $P_m$, dite application linéaire projective. Si $\varphi$ est l’application canonique de $\mathbf{R}_{n+1}^*$ sur $P_n$, $\psi$ celle de $\mathbf{R}_{m+1}^*$ sur $P_m$, on a $g \circ \varphi = \psi \circ f$, ce qui prouve que $g$ est continue dans $P_n$ (I, p. 21, corollaire). En particulier, toute transformation linéaire projective de $P_n$ (application linéaire projective de $P_n$ sur lui-même) est un homéomorphisme de $P_n$ sur lui-même.

Soit $E$ un espace vectoriel de dimension $n + 1$ sur $\mathbf{R}$; à chaque base de $E$ sur $\mathbf{R}$ est associée une bijection $\mathbf{R}$-linéaire de $\mathbf{R}^{n+1}$ sur $E$, donc aussi une bijection de $P_n$ sur l’espace projectif $P(E)$ déduit de $E$ (A, II, p. 132); la topologie sur $P(E)$ transportée de celle de $P_n$ par cette bijection est indépendante de la base de $E$ choisie. C’est aussi la topologie quotient de la topologie induite sur $E - \{0\}$ par la topologie introduite sur $E$ dans VI, p. 6.

Rappelons aussi que, si $V$ et $V'$ sont deux variétés linéaires projectives à $p$ dimensions de $\mathbf{P}_n$, il existe une transformation linéaire projective de $\mathbf{P}_n$ transformant V en $V'$. En particulier, si $p \geqslant 0$, il existe une transformation linéaire projective transformant V en l’image canonique du sous-espace engendré par $e_0, e_1, \ldots, e_p$ $W'$ à $p + 1$ dimensions (privé du point 0) de $\mathbf{R}^{n+1}$. Si on identifie $W'$ à $\mathbf{R}_{p+1}^*$, la relation induite sur $W'$ par $\Delta_n$ n’est autre que $\Delta_p$; comme $W'$ est fermée et saturée pour $\Delta_n$, le lemme 1 (VI, p. 12) montre que $V'$ est homéomorphe à $\mathbf{P}_p$ et fermée dans $\mathbf{P}_n$; en outre, si $p < n$, son complémentaire dans $\mathbf{P}_n$ est dense (VI, p. 5, prop. 4). Donc:

3. Immersion de l’espace numérique dans l’espace projectif

Supposons $n \geqslant 0$. Soit U le complémentaire dans $\mathbf{P}_n$ de l’hyperplan H d’équation $x_0 = 0$. On identifie souvent U à $\mathbf{R}^n$ par l’homéomorphisme qui applique le vecteur $\mathbf{x} = (x_i)$ de $\mathbf{R}^n$ sur le point de coordonnées homogènes $(1, x_1, \ldots, x_n)$; l’homéomorphisme réciproque applique le point de coordonnées homogènes $(x_0, \ldots, x_n)$ de U sur le vecteur $(x_1/x_0), \ldots, x_n/x_0)$ de $\mathbf{R}^n$. L’hyperplan H est alors appelé l’hyperplan à l’infini, les points de H étant appelés les « points à l’infini » de $\mathbf{P}_n$ (ou même de $\mathbf{R}^n$ par abus de langage).

Une fois faite cette identification, toute variété linéaire affine V à $p$ dimensions de $\mathbf{R}^n$ a pour adhérence dans $\mathbf{P}_n$ une variété linéaire projective à $p$ dimensions, non contenue dans l’hyperplan à l’infini, et identique à la variété linéaire projective engendrée par V. Réciproquement, toute variété linéaire projective à $p$ dimensions, non contenue dans l’hyperplan à l’infini, a pour trace sur $\mathbf{R}^n$ une variété linéaire affine à $p$ dimensions, dont elle est l’adhérence.

Dans le cas particulier où $n = 1$, l’hyperplan à l’infini est réduit à un point; comme $\mathbf{P}_1$ est compact, il résulte du th. d’Alexandroff (I, p. 67, th. 4) que $\mathbf{P}_1$ est homéomorphe à l’espace compact $\tilde{\mathbf{R}}$ obtenu à partir de l’espace localement compact $\mathbf{R}$ par adjonction d’un « point à l’infini ». D’après les cor. 1 de VI, p. 11 et 4 de VI, p. 12, on voit également que la droite projective réelle $\mathbf{P}_1(\mathbf{R})$ est homéomorphe au cercle $\mathbf{S}_1$ et au tore $\mathbf{T}$.

Au contraire, pour $n > 1$, $\mathbf{P}_n(\mathbf{R})$ n’est pas homéomorphe à $\mathbf{S}_n$ (cf. VI, p. 26, exerc. 4).

Le « point à l’infini » de l’espace $\tilde{\mathbf{R}}$ se note $\infty$, sans signe. Il importe de ne pas confondre l’espace $\tilde{\mathbf{R}}$, où est ainsi plongée la droite numérique, et la droite achevée $\overline{\mathbf{R}}$ définie dans IV, p. 13, qui possède deux « points à l’infini »; d’ailleurs $\tilde{\mathbf{R}}$ est homéomorphe à l’espace quotient de $\overline{\mathbf{R}}$ obtenu en identifiant les deux points $+\infty$ et $-\infty$.

4. Application au prolongement des fonctions numériques

Comme $\mathbf{R}$ peut être considéré comme une partie de $\tilde{\mathbf{R}}$, toute application d’un ensemble E dans $\mathbf{R}$ (fonction numérique) peut être considérée comme une application de E dans $\tilde{\mathbf{R}}$; en particulier, si E est une partie d’un espace topologique F, $f$ une application de E dans $\mathbf{R}$, il peut se faire qu’en certains points de l’adhérence $\overline{E}$ de E, $f(x)$ tende vers la limite $\infty$ lorsque $x$ tend vers un de ces points en restant dans E; on prolongera alors par continuité la fonction $f$ en lui donnant en ces points la valeur $\infty$ (I, p. 57, th. 1).

Considérons en particulier le cas où E est une partie de $\mathbf{R}^n$, l’espace $\mathbf{R}^n$ étant lui-même considéré comme plongé dans l’espace projectif $\mathbf{P}_n$; une fonction numérique $f$ définie dans E peut être identifiée à l’application qui associe à un point de E de coordonnées homogènes $x_0, x_1, \ldots, x_n$ l’élément

de $\tilde{\mathbf{R}}$; appliquant ce qui précède, on pourra éventuellement prolonger cette fonction par continuité, non seulement à certains des points de $\mathbf{R}^n$ adhérents à E, mais aussi à certains des « points à l’infini » de $\mathbf{P}_n$, adhérents à E.

Montrons qu’on retrouve ainsi, par exemple, le prolongement par continuité à $\tilde{\mathbf{R}}$ tout entier d’une fonction rationnelle d’une variable réelle, déjà défini en Algèbre (A, II, p. 136). Identifions $\tilde{\mathbf{R}}$ et $\mathbf{P}_1$, tout nombre réel $x \in \mathbf{R}$ étant identifié au point de coordonnées homogènes $(1, x)$, le point $\infty$ au point de coordonnées homogènes $(0, 1)$. Soit $u(x)/v(x)$ une fonction rationnelle, $u$ et $v$ étant deux polynômes premiers entre eux, de degrés respectifs $m$ et $n$; si l’on suppose par exemple $m \leq n$, et qu’on pose $u_1(x, y) = x^n u(y/x)$, $v_1(x, y) = x^n v(y/x)$, la fonction rationnelle $u/v$ est la restriction à l’ensemble des nombres réels n’annulant pas $v(x)$, de l’application $(x, y) \mapsto (v_1(x, y), u_1(x, y))$. En d’autres termes, on prolonge $u/v$ par continuité en lui donnant la valeur $\infty$ aux points $x \in \mathbf{R}$ où $v(x) = 0$, et en lui donnant au point $\infty$ la valeur $0$ si $m < n$, la valeur $\infty$ si $m > n$, la valeur du rapport des coefficients des termes de degré $n$ de $u$ et $v$ si $m = n$.

En particulier, la fonction $1/x$ se prolonge au point $0$ en y prenant la valeur $\infty$, au point $\infty$ en y prenant la valeur $0$; cette fonction est évidemment un homéomorphisme de $\tilde{\mathbf{R}}$ sur lui-même; il en est de même de la fonction homographique $(ax + b)/(cx + d)$ lorsque $ad - bc \neq 0$.

De même, pour $n$ entier $> 0$, la fonction $x^n$ se prolonge au point $\infty$ en y prenant la valeur $\infty$.

Par contre, on ne peut en général prolonger par continuité à l’espace $\mathbf{P}_1 \times \mathbf{P}_1$, ni à l’espace $\mathbf{P}_2$, une fonction rationnelle de deux variables réelles (cf. VI, p. 26, exerc. 5).

5. Espaces de variétés linéaires projectives

Étant donné un corps $K$, l’ensemble $\mathbf{P}_{n,p}(K)$ des variétés linéaires projectives de dimension $p \geq 0$ de l’espace projectif gauche $\mathbf{P}_n(K)$ est en correspondance biunivoque avec l’ensemble des sous-espaces vectoriels à $p + 1$ dimensions de l’espace vectoriel à gauche $K^{n+1}$. Désignons par $L_{n+1,p+1}(K)$ l’ensemble des systèmes libres $(\mathbf{x}_k)_{0 \leq k \leq p}$ de $p + 1$ vecteurs de $K^{n+1}$; l’ensemble $\mathbf{P}_{n,p}(K)$ est encore en correspondance biunivoque avec l’ensemble quotient de $L_{n+1,p+1}(K)$ par la relation d’équivalence $\Delta_{n,p}(K)$: « $(\mathbf{x}_k)$ et $(\mathbf{y}_k)$ engendrent le même sous-espace vectoriel à $p + 1$ dimensions de $K_s^{n+1}$ ». Nous identifierons $\mathbf{P}_{n,p}(K)$ avec cet ensemble quotient dans ce qui suit. D’autre part, si à tout système libre $(\mathbf{x}_k)$ de p + 1 vecteurs de $K^{n+1}$, on fait correspondre la matrice $X$ à $p + 1$ lignes et $n + 1$ colonnes dont $x_k$ est la ligne d’indice $k$ pour $0 \leq k \leq p$, on définit une correspondance biunivoque entre $L_{n+1, p+1}(K)$ et l’ensemble des matrices à $p + 1$ lignes et $n + 1$ colonnes et de rang $p + 1$; nous identifierons $L_{n+1, p+1}(K)$ avec cet ensemble de matrices; la relation $\Delta_{n, p}(K)$ entre deux matrices $X, Y$ est alors la suivante: « il existe une matrice carrée inversible $T$ d’ordre $p + 1$ telle que $Y = T.X$ ».

Nous allons supposer dans ce qui suit que $K$ est le corps $\mathbf{R}$, et nous omettrons l’indication du corps dans les notations précédentes. On peut définir sur $P_{n, p}$ une topologie par un procédé qui généralise la définition de la topologie des espaces projectifs réels. En effet, $L_{n+1, p+1}$ est contenu dans l’espace $M_{p+1, n+1}$ des matrices à $p + 1$ lignes et $n + 1$ colonnes, à éléments réels; nous munirons $L_{n+1, p+1}$ de la topologie induite par celle de cet espace de matrices (VI, p. 6).

Soit $f : \mathbf{R}^{n+1} \to \mathbf{R}^{m+1}$ une application linéaire injective ($m \geq n \geq -1$). On en déduit une application projective $g$ de $P_n$ dans $P_m$ (VI, p. 14); si $V$ est une variété linéaire projective de dimension $p$ de $P_n$, $g(V)$ est une variété linéaire projective de dimension $p$ de $P_m$, et l’application $V \mapsto g(V)$ de $P_{n, p}$ dans $P_{m, p}$ ainsi définie est continue. En effet, elle se déduit par passage aux quotients d’une application continue $L_{n+1, p+1} \to L_{m+1, p+1}$.

En particulier, tout automorphisme $f \in \mathbf{GL}(n+1, \mathbf{R})$ induit un homéomorphisme de $P_{n, p}$ sur lui-même; comme on l’a déjà remarqué (VI, p. 15), l’opération de $\mathbf{GL}(n+1, \mathbf{R})$ sur $P_{n, p}$ ainsi définie est transitive.

6. Grassmanniennes

Rappelons (A, III, p. 172) qu’on définit une application injective de $P_{n,p}$ dans $\mathbf{P}(\Lambda^{p+1}(\mathbf{R}^{n+1}))$ de la manière suivante: si $V \in P_{n,p}$ est l’image du système libre $(\mathbf{x}_0, \ldots, \mathbf{x}_p)$ de $\mathbf{R}^{n+1}$, on lui associe l’image canonique dans $\mathbf{P}(\Lambda^{p+1}(\mathbf{R}^{n+1}))$ du $(p+1)$-vecteur $\mathbf{x}_0 \wedge \cdots \wedge \mathbf{x}_p$. L’image de cette application est notée $G_{n+1,p+1}$ et appelée grassmannienne d’indices $n+1, p+1$; on la munit de la topologie induite par celle de $\mathbf{P}(\Lambda^{p+1}(\mathbf{R}^{n+1}))$ (VI, p. 13). L’application définie ci-dessus de $\mathbf{P}_{n,p}$ dans $\mathbf{G}_{n+1,p+1}$ est continue et bijective; comme $\mathbf{P}_{n,p}$ est compact et $\mathbf{G}_{n-1,p+1}$ séparé, on déduit alors de I, p. 63, cor. 2 au th. 2:

Exercices

See the exercises for § 3.