§ 2. Distance euclidienne; boules et sphères

1. Distance euclidienne dans $\mathbf{R}^n$

On appelle distance euclidienne de deux points $\mathbf{x} = (x_i), \mathbf{y} = (y_i)$ de $\mathbf{R}^n$ le nombre

Pour $n = 1$, la distance euclidienne des points $x, y$ de $\mathbf{R}$ se réduit à la longueur $|y - x|$ des intervalles d’extrémités $x, y$; pour $n$ quelconque, on dit encore que $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = ||y - x||$ est la longueur des segments d’extrémités $\mathbf{x}, \mathbf{y}$.

La distance euclidienne satisfait à l’inégalité, dite inégalité du triangle,

La démonstration de la relation (1) se ramène à celle de l’inégalité

De (1) on déduit l’inégalité

(2)

Enfin si $\mathbf{x} = (x_i), \mathbf{y} = (y_i)$, on a (3)

On en conclut que, pour qu’une partie A de $\mathbf{R}^n$ soit bornée (VI, p. 2), il faut et il suffit que $\sup_{\mathbf{x} \in A} \| \mathbf{x} \| < +\infty$.

2. Déplacements

Rappelons encore (A, IX, § 6, no 6) que les transformations affines $f$ de $\mathbf{R}^n$ sur lui-même qui laissent invariant la distance de deux points quelconques (c’est-à-dire telles que $d(f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})) = d(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ quels que soient $\mathbf{x}$ et $\mathbf{y}$) sont appelées déplacements euclidiens (ou simplement déplacements)[^1]; elles forment un groupe, dit groupe des déplacements de $\mathbf{R}^n$. Ce groupe opère transitiivement dans $\mathbf{R}^n$; plus généralement, si V et V’ sont deux variétés linéaires affines de $\mathbf{R}^n$ de même dimension, il existe toujours un déplacement transformant V en V’. Les déplacements laissant invariant l’origine, appelés transformations orthogonales, forment un sous-groupe du groupe des déplacements, dit groupe orthogonal à $n$ variables réelles (A, IX, § 6, no 2); les applications linéaires qui forment ce groupe sont caractérisées par la propriété de laisser invariant la norme $\| \mathbf{x} \|$ de tout point $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$, ou, ce qui revient au même, la forme quadratique $\| \mathbf{x} \|^2 = \sum_{i=1}^n x_i^2$. On appelle produit scalaire de deux vecteurs $\mathbf{x} = (x_i)$ et $\mathbf{y} = (y_i)$ de $\mathbf{R}^n$, la valeur $\sum_{i=1}^n x_i y_i$ de la forme bilinéaire associée (A, IX, § 3, no 4) à la forme quadratique $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^n x_i^2$; on le note $(\mathbf{x} \mid \mathbf{y})$, ou simplement $\mathbf{x} \mathbf{y}$ lorsque aucune confusion n’est à craindre; toute transformation orthogonale laisse invariant le produit scalaire. Deux vecteurs $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ sont dits orthogonaux si $(\mathbf{x} \mid \mathbf{y}) = 0$; deux sous-espaces vectoriels V, V’ de $\mathbf{R}^n$ sont dits orthogonaux si tout $\mathbf{x} \in V$ est orthogonal à tout $\mathbf{y} \in V'$; deux variétés linéaires affines P, P’ sont dites orthogonales si les sous-espaces vectoriels respectivement parallèles à P et P’ sont orthogonaux.

3. Boules et sphères euclidiennes

Pour tout entier $p > 0$, désignons par $U_p$ l’ensemble des couples $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ de points de $\mathbf{R}^n$ tels que $d(\mathbf{x}, \mathbf{y}) < 1/p$; les inégalités (3) (VI, p. 8) montrent que les ensembles $U_p$ forment un système fondamental d’entourages de la structure uniforme de $\mathbf{R}^n$ (cf. IX, p. 12).

De ce fait, et de l’inégalité

Lorsque aucune confusion n’est à craindre, on dit simplement « boule » (resp. « sphère ») pour « boule euclidienne » (resp. « sphère euclidienne »). Pour $n = 2$, on dit « disque » au lieu de « boule à 2 dimensions », et « cercle » au lieu de « sphère à 1 dimension ».

Pour $n = 1$, la boule ouverte (resp. fermée) de centre $x_0$ et de rayon $r$ est l’intervalle $]x_0 - r, x_0 + r[$ (resp. $[x_0 - r, x_0 + r]$); la sphère de centre $x_0$ et de rayon $r$ est l’ensemble des deux extrémités $x_0 - r, x_0 + r$ de ces intervalles. Pour $n = 0$, toute boule est réduite à 0, et toute sphère est vide.

D’après ce qui précède, les boules (ouvertes ou fermées) de centre $\mathbf{x}_0$ (ou seulement celles de rayon $1/p$, où $p$ parcourt l’ensemble des entiers $> 0$) forment un système fondamental de voisinages du point $\mathbf{x}_0$.

4. Projection stéréographique

Supposons n > 1 et considérons le point e_n = (0, ..., 0, 1) de S_{n-1}, et l’hyperplan H d’équation x_n = 0, orthogonal au vecteur e_n. À tout point x = (x_i) de S_{n-1}, distinct de e_n, faisons correspondre le point y où la droite passant par e_n et x rencontre l’hyperplan H (fig. 3).

!Figure 3

On vérifie aisément qu’on a y = $\frac{1}{1 - x_n} (x - x_n e_n)$ et

Si on désigne par A le complémentaire de {e_n} par rapport à S_{n-1}, ces formules prouvent qu’on a défini ainsi un homéomorphisme de A sur l’hyperplan H. Cet homéomorphisme est appelé projection stéréographique de A sur H, ou, par abus de langage, projection stéréographique de S_{n-1} sur H (cf. A, IX, § 10, exerc. 14); e_n est le point de vue de la projection, H l’hyperplan de projection. Plus généralement, si a est un point de S_{n-1} et H’ l’hyperplan passant par 0 et orthogonal à la droite passant par 0 et a, on définit de la même manière la projection stéréographique de point de vue a sur l’hyperplan de projection H’. Cette projection définit un homéomorphisme du complémentaire de a dans S_{n-1} sur H’, d’où:

Exercices

See the exercises for § 2.

[^1]: La seule hypothèse que $d(f(\mathbf{x}), f(\mathbf{y})) = d(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ quels que soient $\mathbf{x}, \mathbf{y}$ entraîne d’ailleurs que $f$ est linéaire affine, donc un déplacement (cf. A, IX, § 6, exerc. 21).