§ 1. L’espace numérique $\mathbf{R}^n$

1. Topologie de $\mathbf{R}^n$

Les pavés ouverts de $\mathbf{R}^n$ forment une base de la topologie de $\mathbf{R}^n$ (I, p. 24); les pavés fermés sont des parties fermées pour cette topologie; l’adhérence d’un pavé ouvert est un pavé fermé; l’intérieur d’un pavé fermé est un pavé ouvert; les pavés ouverts contenant un point $\mathbf{x} = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $\mathbf{R}^n$ forment un système fondamental de voisinages de $\mathbf{x}$; il en est de même des pavés fermés de $\mathbf{R}^n$ dont $\mathbf{x}$ est point intérieur.

Tout pavé ouvert non vide de $\mathbf{R}^n$ est homéomorphe à $\mathbf{R}^n$ (IV, p. 13, prop. 1).

On en conclut que, lorsque $n \geq 1$, tout ensemble ouvert non vide de $\mathbf{R}^n$ a la puissance du continu.

On appelle cube ouvert (resp. fermé) de $\mathbf{R}^n$ un pavé ouvert (resp. fermé) qui est le produit de n intervalles bornés et de longueurs égales (pour $n = 2$, on dit carré ouvert (resp. fermé)); la longueur commune de ces intervalles est appelée le côté du cube. Les cubes ouverts $K_m = \prod_{1 \leq i \leq n} ]x_i - \frac{1}{m}, x_i + \frac{1}{m}[$ forment (lorsque $m$ parcourt l’ensemble des entiers > 0, ou une suite d’entiers croissant indéfiniment) un système fondamental dénombrable de voisinages du point $\mathbf{x} = (x_i)$.

Tout pavé ouvert (ou fermé) de $\mathbf{R}^n$ est connexe (I, p. 83, prop. 8); en particulier, $\mathbf{R}^n$ est un espace connexe et localement connexe.

Si A est un ensemble ouvert non vide dans $\mathbf{R}^n$, ses composantes connexes sont donc des ensembles ouverts (I, p. 85, prop. 11); en outre, l’ensemble de ces composantes est dénombrable, car $\mathbf{R}^n$ contient une partie dénombrable dense (par exemple $\mathbf{Q}^n$).

Cherchons la condition pour qu’une partie A de $\mathbf{R}^n$ soit relativement compacte; d’après le th. de Tychonoff (I, p. 63, th. 3), il faut et il suffit que les projections de A sur les espaces facteurs de $\mathbf{R}^n$ soient relativement compactes; d’après le th. de Borel-Lebesgue (IV, p. 6, th. 2), cela équivaut à dire que ces projections sont des parties bornées de $\mathbf{R}$; lorsqu’il en est ainsi, on dit que A est une partie bornée de $\mathbf{R}^n$; donc:

2. Le groupe additif $\mathbf{R}^n$

L’ensemble $\mathbf{R}^n$ muni de la structure de groupe produit des structures de groupe additif des n facteurs de $\mathbf{R}^n$, est un groupe commutatif qu’on note additivement, la somme de $\mathbf{x} = (x_i)$ et de $\mathbf{y} = (y_i)$ étant donc $\mathbf{x} + \mathbf{y} = (x_i + y_i)$. La topologie de l’espace numérique est compatible avec cette structure de groupe; muni de ces deux structures, $\mathbf{R}^n$ est un groupe topologique qu’on appelle groupe additif de l’espace numérique à n dimensions.

La structure uniforme de ce groupe, dite structure uniforme additive de $\mathbf{R}^n$, est le produit des structures uniformes des groupes facteurs de $\mathbf{R}^n$ (III, p. 21); si, pour chaque entier $p > 0$, on désigne par $V_p$ l’ensemble des couples $(\mathbf{x}, \mathbf{y})$ de points de $\mathbf{R}^n$ tels que $\max_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i| \leq 1/p$, les ensembles $V_p$ forment un système fondamental d’entourages de cette structure uniforme. Lorsque nous considérons $\mathbf{R}^n$ comme un espace uniforme, ce sera toujours, sauf mention expresse du contraire, de la structure uniforme additive qu’il sera question. Muni de cette structure, $\mathbf{R}^n$ est un espace uniforme complet (II, p. 17, prop. 10).

3. L’espace vectoriel $\mathbf{R}^n$

Comme $\mathbf{R}$ est un corps, on peut définir sur $\mathbf{R}^n$ une structure d’*espace vectoriel* sur $\mathbf{R}$ (A, II, p. 3), le produit $t \mathbf{x}$ d’un scalaire $t \in \mathbf{R}$ et d’un point (ou vecteur) $\mathbf{x} = (x_i)$ de $\mathbf{R}^n$ étant le point $(tx_i)$; on notera que l’homothétie $(t, \mathbf{x}) \mapsto t\mathbf{x}$ est continue dans $\mathbf{R} \times \mathbf{R}^n$. Si $\mathbf{e}_i$ désigne le vecteur de $\mathbf{R}^n$ dont toutes les coordonnées sont nulles, à l’exception de celle d’indice $i$, qui est égale à 1, les $\mathbf{e}_i$ forment une base de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^n$, dite base canonique de cet espace (A, II, p. 25); tout vecteur

s’écrit $\mathbf{x} = \sum_{i=1}^n x_i \mathbf{e}_i$, et la relation $\sum_{i=1}^n t_i \mathbf{e}_i = 0$ entraîne $t_i = 0$ pour $1 \leq i \leq n$.

L’espace vectoriel $\mathbf{R}^n$ est donc de dimension $n$ par rapport au corps $\mathbf{R}$, au sens défini en Algèbre (A, II, p. 97), d’où son nom d’espace numérique à $n$ dimensions.

Soit $f$ une application affine (A, II, p. 130) de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^n$ dans l’espace vectoriel $\mathbf{R}^m$ ($m$ et $n$ entiers $\geq 0$). Si on pose $g(\mathbf{x}) = f(\mathbf{x}) - f(0)$, $g$ est une application linéaire de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{R}^m$. Soient $a_{ij}$ ($1 \leq j \leq m$) les coordonnées de $g(\mathbf{e}_i)$ dans $\mathbf{R}^m$, $b_j$ ($1 \leq j \leq m$) celles de $f(0)$; si $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) est la coordonnée d’indice $i$ de $\mathbf{x} \in \mathbf{R}^n$, $y_j$ ($1 \leq j \leq m$) la coordonnée d’indice $j$ de $\mathbf{y} = f(\mathbf{x})$, on a

Toute application affine de $\mathbf{R}^n$ dans $\mathbf{R}^m$ est uniformément continue dans $\mathbf{R}^n$ car c’est la somme d’une fonction constante et d’un homomorphisme continu, donc uniformément continu (III, p. 21).

En particulier, on sait que toute application affine de $\mathbf{R}^n$ sur lui-même est bijective, et que son application réciproque est encore une application affine (A, II, p. 101, corollaire); donc, toute application affine de $\mathbf{R}^n$ sur lui-même est un homéomorphisme (et un automorphisme de la structure uniforme de $\mathbf{R}^n$).

Soit $(\mathbf{a}_i)_{1 \leq i \leq n}$ un système libre de $n$ vecteurs de $\mathbf{R}^n$ (ou, ce qui revient au même (A, II, p. 97, prop. 1), une base de l’espace vectoriel $\mathbf{R}^n$); si $\mathbf{b}$ est un point quelconque de $\mathbf{R}^n$, l’ensemble $P$ des points $\mathbf{x} = \mathbf{b} + \sum_{i=1}^n u_i \mathbf{a}_i$, tels que $-1 \leq u_i \leq 1$ pour $1 \leq i \leq n$, est un voisinage compact de $\mathbf{b}$; en effet, il existe une application affine bijective $f$ de $\mathbf{R}^n$ sur lui-même, telle que $f(\mathbf{b}) = 0$, $f(\mathbf{b} + \mathbf{a}_i) = \mathbf{e}_i$ pour $1 \leq i \leq n$, et $f(P)$ est le cube produit des $n$ intervalles $(-1, +1)$ dans les espaces facteurs de $\mathbf{R}^n$. On dit que $P$ est le parallélétope fermé de centre $\mathbf{b}$, construit sur les vecteurs de base $\mathbf{a}_i$. L’intérieur de $P$ est formé des points $\mathbf{b} + \sum_{i=1}^n u_i \mathbf{a}_i$ tels que $-1 < u_i < 1$ pour $1 \leq i \leq n$; on dit que c’est le parallélétope ouvert de centre $\mathbf{b}$, construit sur les $\mathbf{a}_i$.

Soit $P \in \mathbf{R}[X_1, \ldots, X_n]$ un polynôme à $n$ indéterminées à coefficients réels. La fonction polynomiale associée à $P$ est l’application $f : \mathbf{R}^n \to \mathbf{R}$ qui, à tout vecteur $\mathbf{x} = (x_i) \in \mathbf{R}^n$, fait correspondre le nombre réel $P(x_1, \ldots, x_n)$ (cf. A, IV, §2, no 3). Comme $\mathbf{R}$ est infini, à deux polynômes distincts sont associées deux fonctions polynomiales distinctes (A, IV, §2, no 5, prop. 9).

4. Variétés linéaires affines de $\mathbf{R}^n$

Etant donnée une variété linéaire affine non vide $V$ de $\mathbf{R}^n$, de dimension $p$, il existe une application affine $f$ de $\mathbf{R}^n$ sur lui-même, qui transforme $V$ en le sous-espace vectoriel $V'$ engendré par $e_1, \ldots, e_p$ (A, II, p. 129). Comme $V'$ est un pavé fermé et est homéomorphe à $\mathbf{R}^p$, on en conclut:

5. Topologie des espaces vectoriels et des algèbres sur le corps $\mathbf{R}$.

Soit $E$ un espace vectoriel à $n$ dimensions sur le corps $\mathbf{R}$; si $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une base de cet espace, tout point $x \in E$ se met d’une seule manière sous la forme $x = \sum_{i=1}^n x_i a_i$, où les $x_i$ sont des nombres réels; l’application $(x_i) \mapsto \sum_{i=1}^n x_i a_i$ est donc une application linéaire bijective de $\mathbf{R}^n$ sur $E$. Si on transporte à $E$ la topologie de $\mathbf{R}^n$ par cette

application, E se trouve muni d’une topologie compatible avec sa structure de groupe additif, et pour laquelle l’application $(t, x) \mapsto t x$ de $\mathbf{R} \times E$ dans $E$ est continue. Cette topologie est indépendante de la base choisie dans $E$; en effet, si $(a'_i)$ est une autre base de $E$, et si $x = \sum_{i=1}^n x'_i a'_i = \sum_{i=1}^n x_i a_i$, l’application $(x_i) \mapsto (x'_i)$ de $\mathbf{R}^n$ sur lui-même est une application linéaire, donc un homéomorphisme.

Nous verrons ultérieurement que la topologie ainsi définie peut être aussi caractérisée de la manière suivante: c’est la seule topologie séparée sur $E$, pour laquelle les fonctions $x - y$ et $t x$ soient continues (dans $E \times E$ et $\mathbf{R} \times E$ respectivement) (EVT, I, §2, th. 2).

Si maintenant $A$ est une algèbre de dimension finie $n$ sur le corps $\mathbf{R}$, la topologie précédente sur $A$ (considéré comme espace vectoriel à $n$ dimensions sur $\mathbf{R}$) est non seulement compatible avec la structure de groupe additif de $A$, mais aussi avec sa structure d'*anneau*. Cela résulte de la proposition plus générale suivante:

6. Topologie des espaces de matrices sur $\mathbf{R}$

Comme exemple important d’espace vectoriel sur $\mathbf{R}$, citons l’espace $\mathbf{M}_{m, n}(\mathbf{R})$ des matrices à m lignes et n colonnes dont les éléments appartiennent à $\mathbf{R}$; c’est un espace de dimension $mn$ sur $\mathbf{R}$, donc homéomorphe à $\mathbf{R}^{mn}$. D’après la prop. 5 de VI, p. 6, le produit $X \cdot Y$ de deux matrices $X \in \mathbf{M}_{m, n}(\mathbf{R})$, $Y \in \mathbf{M}_{n, p}(\mathbf{R})$ est fonction continue de $(X, Y)$. En particulier, la topologie de l’espace $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ des matrices carrées d’ordre $n$ (cf. A, II, p. 149) est compatible avec la structure d’anneau sur $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$. En outre:

Exercices

See the exercises for § 1.