1. Không gian số thực $\mathbf{R}^n$

1. Tôpô của $\mathbf{R}^n$

Các hộp mở trong $\mathbf{R}^n$ tạo thành một cơ sở của tôpô của $\mathbf{R}^n$ (Chương I, § 4, no. 1); các hộp mở chứa một điểm $x = (x_i)_{1 \leq i \leq n}$ của $\mathbf{R}^n$ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận của $x$, và các hộp đóng của $\mathbf{R}^n$ mà $x$ là một điểm trong cũng vậy.

Mọi hộp mở khác rỗng trong $\mathbf{R}^n$ đều đồng phôi với $\mathbf{R}^n$ (Chương IV, § 4, no. 1, Mệnh đề 1).

Suy ra rằng, khi $n \geq 1$, mọi tập mở khác rỗng trong $\mathbf{R}^n$ đều có lực lượng của liên tục.

Một khối lập phương mở (tương ứng đóng) của $\mathbf{R}^n$ là một hộp mở (tương ứng đóng) là tích của n khoảng bị chặn có cùng độ dài [với $n = 2$, nó được gọi là một hình vuông mở (tương ứng đóng)]; độ dài chung của các khoảng này được gọi là cạnh (hay độ dài cạnh) của khối lập phương. Các khối lập phương mở

tạo thành một hệ cơ bản đếm được các lân cận của điểm $x = (x_i)$, khi $m$ chạy qua tập tất cả các số nguyên $> 0$ hoặc qua bất kỳ dãy số nguyên nào tăng tới vô cùng.

Mọi hộp mở (hay đóng) trong $\mathbf{R}^n$ đều liên thông (Chương I, § 11, no. 4, Mệnh đề 8); nói riêng, $\mathbf{R}^n$ liên thông và liên thông địa phương.

Nếu $A$ là một tập mở khác rỗng trong $\mathbf{R}^n$, thì các thành phần của nó do đó là các tập mở (Chương I, § 11, no. 6, Mệnh đề 11); và tập các thành phần này là đếm được, vì $\mathbf{R}^n$ có một tập con trù mật đếm được (chẳng hạn $\mathbf{Q}^n$).

Xét xem dưới những điều kiện nào một tập con $A$ của $\mathbf{R}^n$ sẽ compact tương đối. Theo định lý Tychonoff (Chương I, § 9, no. 5, Định lý 3) thì điều kiện cần và đủ là các phép chiếu của $A$ lên các thừa số của $\mathbf{R}^n$ phải compact tương đối; theo định lý Borel-Lebesgue (Chương IV, § 2, no. 2, Định lý 2) điều này tương đương với việc nói rằng các phép chiếu ấy là các tập con bị chặn của $\mathbf{R}$. Ta nói rằng một tập con $A$ của $\mathbf{R}^n$ là bị chặn nếu mọi phép chiếu của nó đều là các tập con bị chặn của $\mathbf{R}$; do đó ta đã chứng minh:

2. Nhóm cộng $\mathbf{R}^n$

Tập $\mathbf{R}^n$, được trang bị cấu trúc nhóm là tích của các cấu trúc nhóm cộng của n thừa số của $\mathbf{R}^n$, là một nhóm Abel; ta dùng ký hiệu cộng, nên tổng của $x = (x_i)$ và $y = (y_i)$ là $x + y = (x_i + y_i)$. Tôpô của không gian số tương thích với cấu trúc nhóm này; được trang bị hai cấu trúc ấy, $\mathbf{R}^n$ là một nhóm tôpô gọi là nhóm cộng của không gian số thực n chiều. Nếu $n = 0$, ta quy ước rằng $\mathbf{R}^0$ ký hiệu một nhóm chỉ gồm phần tử đơn vị.

Cấu trúc đều của nhóm này, gọi là cấu trúc đều cộng tính của $\mathbf{R}^n$, là tích của các cấu trúc đều của các thừa số của $\mathbf{R}^n$ (Chương III, § 3, no. 2). Nếu, với mỗi số nguyên $p > 0$, $V_p$ ký hiệu tập hợp các cặp $(x, y)$ của $\mathbf{R}^n$ sao cho $\max_{1 \leq i \leq n} |x_i - y_i| \leq 1/p$, thì các tập hợp $V_p$ tạo thành một cơ bản

3. Không gian vectơ $\mathbf{R}^n$

Vì $\mathbf{R}$ là một trường, ta có thể định nghĩa trên $\mathbf{R}^n$ một cấu trúc không gian vectơ trên trường $\mathbf{R}$, tích $t x$ của một vô hướng $t \in \mathbf{R}$ và một điểm (hoặc vectơ) $x = (x_i)$ của $\mathbf{R}^n$ là điểm $(t x_i)$. Chú ý rằng phép vị tự $(t, x) \to t x$ là liên tục trên $\mathbf{R} \times \mathbf{R}^n$. Nếu $e_i$ ký hiệu vectơ của $\mathbf{R}^n$ có tất cả các tọa độ đều bằng không, trừ tọa độ có chỉ số $i$, bằng 1, thì các $e_i$ tạo thành một cơ sở của không gian vectơ $\mathbf{R}^n$, gọi là cơ sở chính tắc của không gian này. Mọi vectơ $x = (x_i) \in \mathbf{R}^n$ đều có thể viết $x = \sum_{i=1}^n x_i e_i$, và quan hệ $\sum_{i=1}^n t_i e_i = 0$ suy ra $t_i = 0$ với $1 \leq i \leq n$.

Không gian vectơ $\mathbf{R}^n$ do đó có chiều $n$ trên trường $\mathbf{R}$, theo nghĩa của đại số (Đại số, Chương II, § 7, no. 2); do đó có tên là không gian số thực $n$ chiều.

Cho $f$ là một ánh xạ afin của không gian vectơ $\mathbf{R}^n$ vào không gian vectơ $\mathbf{R}^m$ ($m$ và $n$ là các số nguyên > 0). Nếu ta đặt $g(x) = f(x) - f(0)$, thì $g$ là một ánh xạ tuyến tính của $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{R}^m$. Cho $a_{ij}$ ($1 \leq j \leq m$) là các tọa độ của $g(e_i)$ trong $\mathbf{R}^m$ và cho $b_j$ ($1 \leq j \leq m$) là các tọa độ của $f(0)$; nếu $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) là tọa độ thứ $i$ của $x \in \mathbf{R}^n$ và nếu $y_j$ là tọa độ thứ $j$ của $y = f(x)$, ta có

Vì mỗi đa thức tuyến tính trong $x_1, x_2, \ldots, x_n$ là liên tục đều trên $\mathbf{R}^n$, suy ra mọi ánh xạ afin của $\mathbf{R}^n$ vào $\mathbf{R}^m$ đều liên tục đều trên $\mathbf{R}^n$ (Chương II, § 2, no. 6, Mệnh đề 7).

Đặc biệt, ta biết rằng mọi ánh xạ afin của $\mathbf{R}^n$ lên chính nó đều song ánh và nghịch đảo của nó lại là một ánh xạ afin; do đó mọi ánh xạ afin của $\mathbf{R}^n$ lên chính nó đều là một homeomorphisme (và là một tự đẳng cấu của cấu trúc đều của $\mathbf{R}^n$).

Cho $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một hệ tự do gồm $n$ vectơ của $\mathbf{R}^n$ [nói cách khác là một cơ sở của không gian vectơ $\mathbf{R}^n$]; nếu $b$ là một điểm bất kỳ của $\mathbf{R}^n$, thì tập P gồm các điểm $x = b + \sum_{i=1}^{n} u_i a_i$ sao cho $-1 \leq u_i \leq 1$ với $1 \leq i \leq n$ là một lân cận compact của $b$; vì tồn tại một ánh xạ afin song ánh $f$ của $\mathbf{R}^n$ lên chính nó sao cho $f(b) = 0, f(b + a_i) = e_i$ với $1 \leq i \leq n$; và $f(P)$ là hình lập phương, tức là tích của $n$ khoảng $[ -1, +1 ]$ trong $n$ không gian nhân tử. $P$ được gọi là hình hộp song song đóng có tâm $b$ và các vectơ cơ sở $a_i$. Phần trong của $P$ gồm các điểm $b + \sum_{i=1}^{n} u_i a_i$ sao cho $-1 < u_i < 1$ với $1 \leq i \leq n$; nó được gọi là hình hộp song song mở có tâm $b$ và các vectơ cơ sở $a_i$.

4. Các đa tạp tuyến tính afin trong $\mathbf{R}^n$

Cho một đa tạp tuyến tính afin $p$-chiều $V$ trong $\mathbf{R}^n$, tồn tại một ánh xạ afin $f$ của $\mathbf{R}^n$ lên chính nó biến $V$ thành một đa tạp tọa độ $p$-chiều, nghĩa là một không gian con vectơ $V'$ được sinh bởi $p$ trong các vectơ của cơ sở chính tắc $(e_i)$ của $\mathbf{R}^n$. Tồn tại một ánh xạ từ $V'$ lên $\mathbf{R}^p$ là một đẳng cấu của cấu trúc không gian vectơ và tôpô của $V'$ lên các cấu trúc tương ứng của $\mathbf{R}^p$ (hơn nữa, thường tiện lợi khi đồng nhất $\mathbf{R}^p$ với một đa tạp tọa độ như thế $V'$, chẳng hạn với không gian con vectơ được sinh bởi $e_1, e_2, \ldots, e_p$). Ngoài ra, $V'$ là một tập con đóng của $\mathbf{R}^n$ (Chương I, § 4, no. 3, Hệ quả của Mệnh đề 7); suy ra:

5. Tôpô của các không gian vectơ và đại số trên trường $\mathbf{R}$

Cho $E$ là một không gian vectơ có chiều $n$ trên trường $\mathbf{R}$; nếu $(a_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một cơ sở của $E$, thì mỗi điểm $x \in E$ đều viết duy nhất được dưới dạng $x = \sum_{i=1}^n x_i a_i$, trong đó các $x_i$ là những số thực; do đó ánh xạ $(x_i) \to \sum_{i=1}^n x_i a_i$ là một ánh xạ tuyến tính song ánh của $\mathbf{R}^n$ lên $E$.

Nếu ta phép chuyển tôpô của $\mathbf{R}^n$ sang $E$ bằng ánh xạ này, thì $E$ được trang bị một tôpô tương thích với cấu trúc nhóm cộng của nó, và ánh xạ $(t, x) \to tx$ từ $\mathbf{R} \times E$ vào $E$ là liên tục đối với tôpô này. Tôpô này không phụ thuộc vào cơ sở được chọn trong $E$; vì nếu $(a')$ là một cơ sở khác của $E$, và nếu $x = \sum_{i=1}^n x'_i a'_i = \sum_{i=1}^n x_i a_i$, thì ánh xạ $(x_i) \to (x'_i)$ của $\mathbf{R}^n$ lên chính nó là tuyến tính và do đó là một đồng phôi.

Sự kiện này khiến người ta ngờ rằng tôpô được định nghĩa như vậy trên $E$ có thể được đặc trưng hóa mà không cần đến cơ sở của $E$. Thật vậy, về sau ta sẽ thấy rằng đây là tôpô Hausdorff duy nhất trên $E$ sao cho các hàm $x - y$ (trên $E \times E$) và $tx$ (trên $\mathbf{R} \times E$) liên tục.

Nếu bây giờ $A$ là một đại số có hạng hữu hạn $n$ trên trường $\mathbf{R}$, thì tôpô ở trên trên $A$ (xem như một không gian vectơ $n$-chiều trên $\mathbf{R}$) tương thích không những với cấu trúc nhóm cộng của $A$, mà còn với cấu trúc vành của nó. Đây là hệ quả của kết quả tổng quát hơn sau đây:

6. Tôpô của các không gian ma trận trên $\mathbf{R}$

Một ví dụ quan trọng của một không gian vectơ trên $\mathbf{R}$ là không gian $\mathbf{M}_{m,n}(\mathbf{R})$ của các ma trận với m hàng và n cột mà các phần tử của chúng thuộc $\mathbf{R}$; đây là một không gian có chiều $mn$ trên $\mathbf{R}$, do đó đồng phôi với $\mathbf{R}^{mn}$. Theo Mệnh đề 5 của § 5, tích $X.Y$ của hai ma trận $X \in \mathbf{M}_{m,n}(\mathbf{R}), Y \in \mathbf{M}_{n,p}(\mathbf{R})$ là một hàm liên tục của $(X, Y)$. Đặc biệt, tôpô của không gian $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$ các ma trận vuông cấp $n$ tương thích với cấu trúc vành trên $\mathbf{M}_n(\mathbf{R})$. Hơn nữa:

Bài tập

Xem bài tập cho § 1.