Cho $u, v$ là hai phần tử của $\mathscr{F}_\mathscr{S}(X; Y)$ sao cho $(u, v) \in W(A, V)$ với mọi lân cận $V$ của $Y$ và mọi $A \in \mathscr{S}$. Vì $Y$ là Hausdorff nên suy ra rằng $u$ và $v$ trùng nhau trên mọi tập hợp $A \in \mathscr{S}$, và vì $\mathscr{S}$ phủ $X$ nên ta phải có $u = v$.

Cho $V$ là một lân cận đều của $Y$ và cho $A_i \in \mathscr{S}_i (i = 1, 2)$; khi đó suy ra ngay lập tức từ các định nghĩa rằng $W(A_1 \times A_2, V)$ được đồng nhất với $W(A_1, W(A_2, V))$ bởi song ánh chính tắc, và kết quả là ngay lập tức.

b) Cho $X, X'$ là hai tập hợp; cho $\mathscr{S}$ (tương ứng $\mathscr{S}'$) là một tập hợp các tập con của $X$ (tương ứng $X'$); cho $Y$ là một không gian đều; và cho $g : X' \to X$ là một ánh xạ sao cho, với mỗi $A' \in \mathscr{S}'$, $g(A')$ được chứa trong một hợp hữu hạn của các tập hợp thuộc $\mathscr{S}$. Khi đó ánh xạ $u \to u \circ g$ từ $\mathscr{F}_\mathscr{S}(X, Y)$ vào $\mathscr{F}_{\mathscr{S}'}(X'; Y)$ là đều liên tục.

Các mệnh đề này là những hệ quả ngay lập tức của mô tả một hệ cơ bản các lân cận của cấu trúc đều của sự hội tụ $\mathscr{S}$ được cho trong no. 2, Nhận xét 1; các chi tiết của các chứng minh được để cho người đọc. Mệnh đề 4 kéo theo, đặc biệt:

Vì cấu trúc của sự hội tụ điểm trong $B$ thô hơn cấu trúc của sự hội tụ $\mathscr{S}$, chỉ cần chỉ ra rằng với mỗi $A \in \mathscr{S}$ và mỗi lân cận đóng $V$ của $Y$, $W(A, V)$ là đóng trong $B$ đối với tôpô của sự hội tụ điểm (Chương II, § 3, no. 3, Mệnh đề 7). Bây giờ $W(A, V)$ là giao của các ảnh ngược của $V$ qua các ánh xạ $(u, v) \to (u(x), v(x))$ khi $x$ chạy qua $A$; các ánh xạ này liên tục đối với tôpô của sự hội tụ điểm (no. 2, Nhận xét 6), và kết quả suy ra.

Điều này suy ra ngay lập tức từ Mệnh đề 5.

Vì mọi lọ Cauchy đối với sự hội tụ $\mathscr{G}_2$ cũng là một lọ Cauchy đối với sự hội tụ $\mathscr{G}_1$, và ta có thể áp dụng Hệ quả 1.

Cho $\Phi$ là một lọ Cauchy trên $\overline{H}$, và định nghĩa một ánh xạ $v : X \to Y$ như sau. Nếu $x \in B$, $\Phi(x)$ là một lọ Cauchy trên $\overline{H(x)}$ (no. 2, Nhận xét 6), do đó theo giả thiết nó có ít nhất một điểm giới hạn; lấy $v(x)$ là một trong các giới hạn này. Nếu $x \notin B$, lấy $v(x)$ là một điểm bất kỳ của $Y$. Với định nghĩa này của $v$, hiển nhiên rằng $\Phi$ hội tụ điểm đến $v$ trong $B$, và do đó $v$ là một giới hạn của $\Phi$ trong $\mathscr{F}_{\mathscr{G}}(X; Y)$ theo Mệnh đề 5.

Đặc biệt, nếu $Y$ là đầy đủ, giả thiết của Hệ quả 3 của Mệnh đề 5 được thỏa mãn với mọi $H \subset \mathscr{F}(X; Y)$; do đó:

Vì nếu $u, v$ là các ánh xạ liên tục từ $X$ vào $Y$, thì ánh xạ $x \mapsto (u(x), v(x))$ từ $X$ vào $Y \times Y$ là liên tục, và giả thiết rằng $(u(x), v(x)) \in V$ với mọi $x \in A$ do đó suy ra rằng $(u(x), v(x)) \in \overline{V} = V$ với mọi $x \in \overline{A}$ (Chương I, § 2, no. 1, Định lý 1).

Nếu $\bar{\mathscr{G}}$ ký hiệu tập hợp các bao đóng trong $X$ của các tập của $\mathscr{G}$, Mệnh đề 6 cho thấy rằng, trên $\mathscr{C}(X; Y)$, các cấu trúc $\mathscr{G}$-hội tụ và $\bar{\mathscr{G}}$-hội tụ là giống hệt nhau.

G-hội tụ trong các không gian các ánh xạ liên tục

Vì nếu $(u, v)$ thuộc mọi tập $W(A, V)$, với $A \in \mathfrak{S}$ và V là một bao lân cận của Y, giả thiết rằng Y là Hausdorff cho ta biết rằng $u(x) = v(x)$ với mọi $x \in B$; nếu $u$ và $v$ liên tục, thì $u = v$ bởi nguyên lý mở rộng của các đẳng thức (Chương I, § 8, no. 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 1).

Đặc biệt, trên $C(X; Y)$, tôpô hội tụ từng điểm trong một tập con trù mật của X là Hausdorff.

Cho $u_0 : X \to Y$ thuộc bao đóng của H trong $F_u(X; Y)$. Với mỗi lân cận đối xứng V của Y, tồn tại một ánh xạ $u \in H$ sao cho $(u_0(x), u(x)) \in V$ với mọi $x \in X$; mặt khác, theo giả thiết có một tập $M \in \mathfrak{T}$ sao cho $(u(x), u(x')) \in V$ bất cứ khi nào $x$ và $x'$ thuộc M. Vì $(u_0(x), u(x)) \in V$ và $(u_0(x'), u(x')) \in V$, suy ra $(u_0(x), u_0(x')) \in V$ bất cứ khi nào $x$ và $x'$ thuộc M, và do đó $u_0(\mathfrak{T})$ là một cơ sở Cauchy trên Y.

Nếu V là bộ lọc lân cận của $x_0$ trong X, thì $u(x_0)$ là một điểm tụ của $u(V)$; do đó $u$ liên tục tại $x_0$ khi và chỉ khi $u(V)$ là một cơ sở Cauchy trên Y (Chương II, § 3, no. 2, Mệnh đề 5, Hệ quả 2).

Vì v nằm trong bao đóng của tập hợp các $u_\lambda$ trong $F_u(X; Y)$, nên $v(\mathfrak{T})$ là một cơ sở Cauchy trên Y do Mệnh đề 8; điều đó cho thấy v có một giới hạn y theo $\mathfrak{T}$ vì Y đầy đủ. Cho

X' = X \cup \{ \omega \} là không gian tôpô liên kết với bộ lọc $\mathscr{F}$ (Chương I, § 6, no. 5), và mở rộng $u_\lambda$ (hay $v$) thành một ánh xạ $\bar{u}_\lambda$ (hay $\bar{v}$) từ $X'$ vào $Y$ bằng cách đặt $\bar{u}_\lambda(\omega) = y_\lambda$ [hay $\bar{v}(\omega) = y$]. Khi đó các ánh xạ $\bar{u}_\lambda, \bar{v}$ liên tục trên $X'$, và $\bar{u}_\lambda$ hội tụ đều trong $X$ đến $\bar{v}$ đối với $\mathscr{G}$; vì $X$ trù mật trong $X'$, Hệ quả của Mệnh đề 6 cho thấy rằng $\bar{u}_\lambda$ hội tụ đều trong $X'$ đến $\bar{v}$, và đặc biệt là $y = \lim_{\mathscr{G}} y_\lambda$.

Đối với mỗi $x \in X$, tập các ánh xạ từ $X$ vào $Y$ liên tục tại $x$ là đóng trong $F_u(X; Y)$ (Mệnh đề 8, Hệ quả 1); do đó giao $C(X; Y)$ của các tập này cũng đóng.

Kết quả này có thể diễn đạt dưới dạng rằng giới hạn đều của các hàm liên tục là liên tục.

Vì, theo Định lý 2, $C_u(X; Y)$ là một không gian con đều đóng của không gian đều $F_u(X; Y)$, mà theo Định lý 1 của no. 5 thì đầy đủ.

Giả sử $u$ nằm trong bao đóng của $\tilde{C}_\mathscr{S}(X; Y)$ trong $F_\mathscr{S}(X; Y)$; khi đó (no. 2), với mỗi $A \in \mathscr{S}$, $u|A$ nằm trong bao đóng của $C(A; Y)$ trong $F_u(A; Y)$, và do đó liên tục theo Định lý 2.

Theo Hệ quả 2, chỉ cần chứng minh rằng, nếu lấy $\mathscr{S}$ là tập hợp các tập con compact của $X$, thì ta có $\tilde{C}_\mathscr{S}(X; Y) = C(X; Y)$ trong cả hai trường hợp đang xét. Điều này hiển nhiên nếu $X$ là cục bộ compact. Nếu $X$ là mêtric hóa được, và $u : X \to Y$ là một ánh xạ mà hạn chế của nó lên mọi tập con compact của $X$ là liên tục, thì với mỗi $x \in X$ và mỗi dãy $(z_n)$ các điểm của $X$ hội tụ đến $x$, ta có $u(x) = \lim_{n \to \infty} u(z_n)$, do đó $u$ liên tục tại $x$ (Chương IX, § 2, no. 6, Mệnh đề 10).

Hãy lưu ý rằng lập luận trên áp dụng bất cứ khi nào mỗi điểm của $X$ có một hệ cơ sở đếm được các lân cận.

Cho $f_0 : X \to Y$ là một ánh xạ liên tục, cho $x_0$ là một điểm của $X$ và cho $V$ là một bao lân cận của $Y$. Tập hợp $T$ gồm các ánh xạ liên tục $f : X \to Y$ sao cho $(f(x), f(x_0)) \in V$ với mọi $x \in X$ là một lân cận của $f_0$ trong $\mathscr{C}_u(X; Y)$. Mặt khác, vì $f_0$ liên tục, nên tồn tại một lân cận $U$ của $x_0$ trong $X$ sao cho $(f_0(x), f_0(x_0)) \in V$ với mọi $x \in U$. Do đó ta có $(f(x), f(x_0)) \in V$ mỗi khi $(f, x) \in T \times U$, và kết quả được chứng minh.