Trước hết xét trường hợp riêng khi $\mathscr{S} = \{ T \}$, tức là $\mathscr{F}_\mathscr{S}(T; Y) = \mathscr{F}_u(T; Y)$. Với mỗi lân cận $V$ của $Y$, điều kiện $(f(., x), f(., x')) \in W(V)$ có nghĩa là $(f(t, x), f(t, x')) \in V$ với mọi $t \in T$. Nói rằng $x \to f(., x)$ là liên tục tại $x_0$ (tương ứng là liên tục đều) do đó tương đương với việc nói rằng, với mỗi lân cận $V$ của $Y$, tồn tại một lân cận $U$ của $x_0$ trong $X$ (tương ứng một lân cận $M$ của $X$) sao cho quan hệ $x \in U$ [tương ứng $(x, x') \in M$] kéo theo $(f(t, x), f(t, x_0)) \in V$ [tương ứng $(f(t, x), f(t, x')) \in V$] với mọi $t \in T$, và mệnh đề suy ra từ các Định nghĩa 1 và 2. Trong trường hợp tổng quát, ta phải biểu diễn rằng, với mỗi $A \in \mathscr{S}$, ánh xạ $x \to f(., x)|A$ của $X$ vào $\mathscr{F}_u(A; Y)$ là liên tục tại $x_0$ (tương ứng liên tục đều), theo § 1, no. 2; từ những điều đã nói, điều này tương đương với việc nói rằng, với mỗi $A \in \mathscr{S}$, $H_A$ là liên tục đều tại $x_0$ (tương ứng liên tục đều đồng nhất).

Mệnh đề 1 cho phép ta chuyển các Định nghĩa 1 và 2 thành những dạng đôi khi hữu ích, bằng cách áp dụng nó vào trường hợp $T = H$ và $f$ là ánh xạ $(h, x) \to h(x)$ của $H \times X$ vào $Y$; vì $f(., x)$ là ánh xạ $h \to h(x)$ của $H$ vào $Y$, ta thấy rằng:

Đặc biệt, nếu $X$ là compact, mọi ánh xạ liên tục của $X$ vào $\mathscr{F}_u(H; Y)$ đều là liên tục đều (Chương II, § 4, no. 1, Định lý 2). Do đó:

Giả sử bây giờ ta có một tập hợp $T$, một không gian tôpô $X$, một không gian đều $Y$ và một ánh xạ $f : T \times X \to Y$. Ký hiệu $\tilde{f}$ là ánh xạ $x \to f(., x)$ của $X$ vào $\mathscr{F}_u(T; Y)$, và xét ánh xạ chính tắc $\theta : (t, g) \to g(t)$ của $T \times \mathscr{F}_u(T; Y)$ vào $Y$. Rõ ràng biểu đồ

(trong đó $i_T$ là ánh xạ đồng nhất của T) là giao hoán. Giả sử bây giờ T được trang bị một tôpô và rằng, với mỗi $x \in X$, ánh xạ $f(., x) : t \to f(t., x)$ là liên tục; khi đó ta có thể thay $\mathscr{F}_u(T; Y)$ bằng $\mathscr{C}_u(T; Y)$ trong biểu đồ trên. Nhưng ta biết rằng $\theta$ là liên tục theo § 1, no. 6, Mệnh đề 9; do đó nếu $\tilde{f}$ liên tục thì suy ra $f$ liên tục. Vì tính liên tục của $\tilde{f}$ có thể được diễn đạt nhờ Mệnh đề 1, ta thu được kết quả sau:

1) Với mỗi $x \in X$, ánh xạ riêng phần $t \to f(t, x)$ là liên tục.

2) Khi t chạy qua T, các ánh xạ riêng phần $x \to f(t, x)$ tạo thành một tập con đẳng liên tục của $\mathscr{F}(X; Y)$. \

Cụ thể hơn, lấy T là một tập con H của $\mathscr{F}(X; Y)$ và lấy f là ánh xạ chính tắc $(h, x) \to h(x)$ của $H \times X$ vào Y; điều kiện 1) của Hệ quả 3 có nghĩa là H được trang bị một tôpô mịn hơn tôpô hội tụ từng điểm, và điều kiện 2) có nghĩa là H đẳng liên tục. Do đó:

Một cách trực quan hơn, điều này diễn đạt rằng nếu $h \in H$ hội tụ từng điểm đến $h_0 \in H$ và nếu $x \in X$ hội tụ đến $x_0$, thì $h(x)$ hội tụ đến $h_0(x_0)$.

Ta phải chứng minh rằng, với mỗi $x \in X$, ánh xạ $(u, v) \to u(v(x))$ của $H \times \mathscr{C}(X; Y)$ vào Z là liên tục. Bây giờ $v \to v(x)$ là liên tục trên H (§ 1, no. 2, Nhận xét 6), và từ Hệ quả 4 suy ra rằng $(u, y) \to u(y)$ là một ánh xạ liên tục của $H \times Y$ vào Z; vì $(u, v) \to u(v(x))$ là hợp thành của $(u, y) \to u(y)$ và $(u, v) \to (u, v(x))$, nên kết quả được chứng minh.

Mệnh đề sau và hệ quả của nó là các bản tương ứng của Hệ quả 3 và 4 của Mệnh đề 1 đối với các tập đẳng liên tục đều các ánh xạ:

1) Các ánh xạ x → f(t, x) (t ∈ T) tạo thành một tập con đẳng liên tục đều của $\mathscr{F}(X; Y)$.

2) Các ánh xạ t → f(t, x) (x ∈ X) tạo thành một tập con đẳng liên tục đều của $\mathscr{F}(T; Y)$.

Dễ thấy rằng các điều kiện là cần thiết. Chiều ngược lại, giả sử chúng được thỏa mãn. Cho W là một lân cận chéo của Y; khi đó tồn tại một lân cận chéo U của T và một lân cận chéo V của X sao cho:

1) $(t', t'') \in U$ suy ra rằng, với mỗi $x \in X$,

2) $(x', x'') \in V$ suy ra rằng, với mỗi $t \in T$,

Bây giờ rõ ràng là quan hệ "$(t', t'') \in U$ và $(x', x'') \in V$" suy ra rằng $(f(t', x'), f(t'', x'')) \in \hat{W}$, do đó có kết quả.

Đặc biệt, cho T là một tập con H của $\mathscr{F}(X; Y)$, được trang bị tính đều của sự hội tụ đều, và cho f là ánh xạ chính tắc $(h, x) \to h(x)$; khi đó điều kiện 2) của Mệnh đề 2 được thỏa mãn một cách hiển nhiên vì, với mỗi bao lân cận W của Y, tập các cặp $(h', h'')$ sao cho $(h'(x), h''(x)) \in W$ với mọi $x \in X$ theo định nghĩa là một bao lân cận của cấu trúc đều của H. Do đó chỉ còn phải phát biểu điều kiện 1); nói cách khác:

Đây là hệ quả ngay lập tức của Định nghĩa 1 và 2 và của định nghĩa các bao lân cận của Y.

Ta nhắc lại rằng biểu đồ

là giao hoán, trong đó $i$ và $j$ là các ánh xạ chính tắc; hơn nữa, cấu trúc đều của $X$ (resp. $Y$) là ảnh ngược bởi $i$ (resp. $j$) của cấu trúc đều của $\hat{X}$ (resp. $\hat{Y}$). Suy ra $H$ đều liên tục đều khi và chỉ khi ảnh của nó qua ánh xạ $u \to j \circ u$ đều liên tục đều (Mệnh đề 3), và ta có thể ngay từ đầu chỉ xét trường hợp $Y$ là Hausdorff và đầy đủ; hơn nữa, nếu $\tilde{H}$ đều liên tục đều thì $H$ cũng vậy, vì nó là ảnh của $\tilde{H}$ qua ánh xạ $\hat{u} \to \hat{u} \circ i$; do đó còn lại phải chứng minh chiều đảo lại khi $Y = \hat{Y}$. Cho $V$ là một lân cận đóng của $Y$; theo giả thiết, có một lân cận $U$ của $X$ sao cho các điều kiện $(x, x') \in U$ và $u \in H$ kéo theo $(u(x), u(x')) \in V$. Bây giờ, nếu $U'$ là ảnh của $U$ qua $i \times i$, thì bao đóng $\overline{U'}$ của $U'$ trong $\hat{X} \times \hat{X}$ là một lân cận của $\hat{X}$ (Chương II, § 3, no. 7, Mệnh đề 12); giả thiết suy ra rằng, mỗi khi $(z, z') \in U'$ và $u \in H$, ta có $(\hat{u}(z), \hat{u}(z')) \in V$. Vì $V$ đóng và $\hat{u}$ liên tục, ta cũng có $(\hat{u}(t), \hat{u}(t')) \in V$ với mọi $(t, t') \in \overline{U'}$ và mọi $u \in H$; điều đó hoàn tất chứng minh.

Chỉ cần chứng minh a) suy ra c). Cho $V'$ là một lân cận của phần tử đơn vị $e'$ của $G'$; khi đó, theo giả thiết, có một lân cận $V$ của $e$ trong $G$ sao cho $u(V) \subset V'$ với mọi $u \in H$; vì các phần tử của $H$ là các đồng cấu, điều kiện $x^{-1} y \in V$ suy ra rằng ta có

Điều kiện đó hiển nhiên là đủ. Để chứng minh rằng nó là cần thiết, xét một lân cận $V$ của $Y$ đóng trong $Y \times Y$; theo giả thiết, có một lân cận $U$ của $x_0$ trong $X$ (resp. một lân cận $M$ của $X$) sao cho quan hệ $x \in U$ (resp. $(x', x'') \in M$) suy ra $(h(x_0), h(x)) \in V$ [resp. $(h(x'), h(x'')) \in V$] với mọi $h \in H$. Vì $V$ đóng, các ánh xạ $h \in \mathscr{F}(X; Y)$ thỏa mãn quan hệ $(h(x_0), h(x)) \in V$ với mọi $x \in U$ [resp. quan hệ $(h(x'), h(x'')) \in V$ với mọi $(x', x'') \in M$] tạo thành một tập con đóng của $\mathscr{F}_s(X; Y)$ (§ 1, no. 2, Nhận xét 6); vì tập con đóng này chứa $H$, nó chứa $\overline{H}$. Do đó được kết quả, vì các lân cận đóng của $Y$ tạo thành một hệ cơ bản của các lân cận (Chương II, § 1, no. 2, Mệnh đề 2, Hệ quả 2).

Chỉ cần chứng minh rằng cấu trúc đều cuối cùng trên $H$ mịn hơn cấu trúc thứ nhất; nói cách khác, cho một lân cận $V$ của $Y$ và một tập con compact (resp. tiền compact) $A$ của $X$, tồn tại một lân cận $W$ của $Y$ và một tập con hữu hạn $F$ của $D$ sao cho quan hệ

suy ra

Vì tập $\overline{H}$ là đẳng liên tục (tương ứng đẳng liên tục đều) theo Mệnh đề 6 của no. 3, và do đó được chứa trong $\mathscr{C}(X; Y)$; kết quả suy ra ngay từ thực tế là, trên $\overline{H}$, hai tôpô đang xét là như nhau, nhờ Định lý 1.

a) Với mỗi $A \in \mathscr{S}$, tập $H|A \subset \mathscr{F}(A; Y)$ gồm các hạn chế lên $A$ của các hàm thuộc $H$ là đẳng liên tục (tương ứng, đều đẳng liên tục).

b) Với mỗi $x \in X$, tập $H(x) \subset Y$ gồm các điểm $u(x)$ ($u \in H$) là tiền compact.

1) Trước hết, ta chứng minh rằng các điều kiện a) và b) là cần thiết. Ta biết (§ 1, no. 2, Nhận xét 6) rằng ánh xạ $u \to u(x)$ của $\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ vào $Y$ là liên tục đều; do đó, nếu $H$ là tiền compact thì $H(x)$ cũng vậy (Chương II, § 4, no. 2, Mệnh đề 2), điều này chứng minh b). Để chứng minh a), xét một tập $A \in \mathscr{S}$, một điểm $x_0 \in A$ và một bao lân cận $V$ của $Y$; vì $H$ là tiền compact nên nó có thể được phủ bởi hữu hạn tập $W(A, V)$-nhỏ; nói cách khác, tồn tại một dãy hữu hạn $(u_i)$ gồm các phần tử của $H$ sao cho, với mỗi $u \in H$, ta có

cho ít nhất một chỉ số $i$.

Vì mỗi $u_i|A$ đều liên tục tại $x_0$ (tương ứng, liên tục đều) nên tồn tại một lân cận $U_i$ của $x_0$ trong $A$ (tương ứng, một bao lân cận $M_i$ của $A$) sao cho

(tương ứng, sao cho

Gọi $U$ (tương ứng, $M$) là giao của các $U_i$ (tương ứng, các $M_i$); đó là một lân cận của $x_0$ trong $A$ (tương ứng, một bao lân cận của $A$). Với mỗi $u \in H$ có một chỉ số $i$ sao cho (4) đúng; viết điều kiện (4) cho $x_0$ và cho $x$ (tương ứng, cho $x'$ và $x''$) và xét thêm (5) [tương ứng, (6)], ta thấy ngay lập tức rằng quan hệ $x \in U$ [tương ứng, $(x', x'') \in M$] suy ra $(u(x),\ u(x_0)) \in \overset{\circ}{V}$ [tương ứng, $(u(x'),\ u(x'')) \in \overset{\circ}{V}$], với mỗi $u \in H$; và điều này thiết lập a).

2) Bây giờ ta chứng minh rằng các điều kiện a) và b) là đủ nếu các tập $A \in \mathscr{S}$ là compact (tương ứng, tiền compact). Điều kiện b) suy ra rằng $H$ là tiền compact đối với cấu trúc đều của hội tụ điểm (Chương II, § 4, no. 2, Mệnh đề 3). Nhưng từ điều kiện a) và Định lý 1 của no. 4 suy ra rằng trên $H|A$, cấu trúc đều của hội tụ điểm trong $A$ trùng với cấu trúc đều của hội tụ đều trong $A$; do đó $H|A$ là tiền compact trong $\mathscr{F}_u(A; Y)$, điều này suy ra rằng $H$ là tiền compact đối với cấu trúc đều của $\mathscr{S}$-hội tụ (§ 1, no. 2).

Lưu ý rằng điều kiện b) của Định lý 2 tự động được thỏa mãn nếu $Y$ là một không gian tiền compact.

Cho $\overline{H}$ là bao đóng của $H$ trong $\mathscr{F}_s(X; Y)$. $\overline{H}$ là đều liên tục (tương ứng, đều liên tục đồng đều) (no. 3, Mệnh đề 6). Hơn nữa, ta có $\overline{H}(x) \subset \overline{H(x)}$ (§ 1, no. 2, Nhận xét 6) và do đó $\overline{H}(x)$ cũng tương đối compact; suy ra Định lý 2 cho thấy rằng $\overline{H}$ là tiền compact đối với $\mathscr{S}$-hội tụ, trong đó $\mathscr{S}$ ký hiệu tập tất cả các tập con compact (tương ứng, tiền compact) của $X$. Hơn nữa, vì $\overline{H(x)}$ là compact, và do đó đầy đủ, nên $\overline{H}$ là đầy đủ đối với tính đều của hội tụ điểm (Chương II, § 3, no. 5, Mệnh đề 10 và no. 4, Mệnh đề 8) và do đó cũng đối với tính đều của $\mathscr{S}$-hội tụ (§ 1, no. 5, Mệnh đề 5, Hệ quả 2); vì thế $\overline{H}$ là compact, vì nó tiền compact, đầy đủ và Hausdorff (§ 1, no. 2, Mệnh đề 1).

Chỉ cần chứng minh rằng $H(x)$ là tương đối compact với mọi $x \in X$, vì khi đó ta có thể áp dụng Hệ quả 1. Vì $Y$ đầy đủ, chỉ cần chứng minh rằng $H(x)$ là tiền compact với mọi $x \in X$. Bây giờ nếu $V$ là một lân cận đối xứng bất kỳ của $Y$, thì tồn tại một lân cận $U$ của $x$ sao cho $(u(x), u(x')) \in V$ với mọi $x' \in U$ và mọi $u \in H$. Theo giả thiết tồn tại $x' \in U \cap D$, và vì $H(x')$ tương đối compact trong $Y$, nên tồn tại một số hữu hạn các điểm $y_k \in Y$ sao cho $H(x')$ được chứa trong hợp của các tập $V(y_k)$; do đó $H(x)$ được chứa trong hợp của các tập $V(y_k)$, và chứng minh hoàn tất.

Xét theo Hệ quả 1, chỉ cần chứng minh rằng, nếu $H$ tương đối compact trong $C_c(X; Y)$, thì $H$ đều liên tục. Bây giờ mỗi điểm $x \in X$ có một lân cận compact $A$, và từ Định lý 2 suy ra rằng $H/A$ đều liên tục; điều này kéo theo rằng $H$ đều liên tục tại $x$, và kết quả được chứng minh.