Considérons d’abord le cas particulier où $S = \{T\}$, autrement dit

Pour tout entourage V de Y, la condition $(f(., x), f(., x')) \in W(V)$ signifie que, pour tout $t \in T$, $(f(t, x), f(t, x')) \in V$. Dire que $x \mapsto f(., x)$ est continue en $x_0$ (resp. uniformément continue) signifie donc que pour tout entourage V de Y, il existe un voisinage U de $x_0$ dans X (resp. un entourage M de X) tel que la relation $x \in U$ (resp. $(x, x') \in M$) entraîne $(f(t, x), f(t, x_0)) \in V$ (resp. $(f(t, x), f(t, x')) \in V$) pour tout $t \in T$; la proposition résulte alors des déf. 1 et 2 (X, p. 2). Dans le cas général, il faut exprimer que pour tout $A \in \mathfrak{S}$, l’application $x \mapsto f(., x) | A$ de X dans $\mathscr{F}_u(A; Y)$ est continue au point $x_0$ (resp. uniformément continue) en vertu de X, p. 2; d’après ce qui précède, cela équivaut à la condition que pour tout $A \in \mathfrak{S}$, $H_A$ est équicontinu en $x_0$ (resp. uniformément équicontinu).

La prop. 1 permet de donner des traductions parfois utiles des déf. 1 et 2 (X, p. 2), en l’appliquant au cas où $T = H$ et où $f$ est l’application $(h, x) \mapsto h(x)$ de $H \times X$ dans $Y$; comme $f(., x)$ est l’application $h \mapsto h(x)$ de H dans Y, on voit que:

En particulier, si X est compact, toute application continue de X dans $\mathscr{F}_u(H; Y)$ est uniformément continue (II, p. 29, th. 2), donc:

Considérons maintenant un ensemble T, un espace topologique X, un espace uniforme Y, et une application $f : T \times X \to Y$. Désignons par $\tilde{f}$ l’application $x \mapsto f(., x)$ de X dans $\mathscr{F}_u(T; Y)$, et considérons l’application canonique $\theta : (t, g) \mapsto g(t)$ de $T \times \mathscr{F}_u(T; Y)$ dans Y; il est clair que le diagramme

(où $\iota_T$ est l’application identique) est commutatif. Supposons maintenant que T soit muni d’une topologie et que pour tout $x \in X$, l’application $f(., x) : t \mapsto f(t, x)$ soit continue; on peut alors, dans le diagramme précédent, remplacer $\mathscr{F}_u(T; Y)$ par $\mathscr{C}_u(T; Y)$. Mais on sait que $\theta$ est continue (X, p. 10, prop. 9); si donc l’application $\tilde{f}$ est continue, il en est de même de $f$. Comme la continuité de $\tilde{f}$ s’exprime à l’aide de la prop. 1 (X, p. 11), on a le résultat suivant:

1° pour tout x ∈ X, l’application partielle t ↦ f(t, x) est continue; 2° lorsque t parcourt T, les applications partielles x ↦ f(t, x) forment une partie équicontinue de $\mathscr{F}(X; Y)$.

Prenons en particulier pour T une partie H de $\mathscr{F}(X; Y)$ et pour f l’application canonique $(h, x) \mapsto h(x)$ de H × X dans Y; la condition 1° du cor. 3 signifie que H est muni d’une topologie plus fine que celle de la convergence simple, et la condition 2° que H est équicontinue; donc:

De façon imagée, cela exprime que si $h \in H$ converge simplement vers $h_0 \in H$ et si $x \in X$ converge vers $x_0$, alors $h(x)$ converge vers $h_0(x_0)$.

En effet, il faut prouver que pour tout $x \in X$, l’application $(u, v) \mapsto u(v(x))$ de H × $C(X; Y)$ dans Z continue. Or, $v \mapsto v(x)$ est continue dans H (X, p. 14, Remarque 6), et il résulte du cor. 4 que $(u, y) \mapsto u(y)$ est une application continue de H × Y dans Z; comme $(u, v) \mapsto u(v(x))$ est composée de $(u, y) \mapsto u(y)$ et de $(u, v) \mapsto (u, v(x))$, la proposition est démontrée.

La proposition suivante et son corollaire sont les analogues des cor. 3 et 4 de la prop. 1 pour les applications uniformément continues:

1° les applications $x \mapsto f(t, x)$ forment (pour $t \in T$) une partie uniformément équicontinue de $F(X; Y)$; 2° les applications $t \mapsto f(t, x)$ forment (pour $x \in X$) une partie uniformément équicontinue de $F(T; Y)$.

Il est immédiat que les conditions sont nécessaires. Inversement, supposons-les vérifiées et soit W un entourage de Y; il existe alors un entourage U de T et un entourage V de X tels que:

1° $(t', t'') \in U$ entraîne que pour tout $x \in X$,

$2^\circ\ (x', x'') \in V$ entraîne que pour tout $t \in T$,

Il est clair alors que la relation « $(t', t'') \in U$ et $(x', x'') \in V$ » entraîne d’où la proposition.

Prenons en particulier pour $T$ une partie de $\mathscr{F}(X; Y)$ muni de la structure uniforme de la convergence uniforme, et pour $f$ l’application canonique

la condition $2^\circ$ de la prop. 2 est automatiquement remplie, car pour tout entourage $W$ de $Y$, l’ensemble des couples $(h', h'')$ tels que $(h'(x), h''(x)) \in W$ pour tout $x \in X$ est un entourage de la structure uniforme de $H$ par définition. Il suffit donc d’exprimer la condition $1^\circ$; autrement dit:

Cela résulte aussitôt des déf. 1 et 2 (X, p. 2) et de la définition des entourages de Y.

Rappelons que l’on a le diagramme commutatif

où i et j sont les applications canoniques; en outre la structure uniforme de X (resp. Y) est l’image réciproque par i (resp. j) de celle de $\hat{X}$ (resp. $\hat{Y}$). Pour que H soit uniformément équicontinu, il faut et il suffit donc que son image par l’application $u \mapsto j \circ u$ le soit (prop. 3), et on peut déjà se limiter au cas où Y est séparé et complet; de plus, si $\tilde{H}$ est uniformément équicontinu, il en est de même de H, qui est son image par l’application $\hat{u} \mapsto \hat{u} \circ i$; tout revient donc à établir la réciproque lorsque $\hat{Y} = Y$. Soit alors V un entourage fermé de Y; il y a par hypothèse un entourage U de X tel que les relations $(x, x') \in U, u \in H$ entraînent $(u(x), u(x')) \in V$. Or, si U' est l’image de U par $i \times i$, l’adhérence $\overline{U'}$ de U' dans $\hat{X} \times \hat{X}$ est un entourage de $\hat{X}$ (II, p. 23, prop. 12); l’hypothèse entraîne que, pour $(z, z') \in U'$ et $u \in H$, on a $(\hat{u}(z), \hat{u}(z')) \in V$; comme V est fermé et $\hat{u}$ continue, on a donc aussi, pour tout couple $(t, t') \in \overline{U'}$ et tout $u \in H$, $(\hat{u}(t), \hat{u}(t')) \in V$, ce qui achève la démonstration.

a) H est équicontinu en l’élément neutre e de G; b) H est équicontinu; c) H est uniformément équicontinu.

Il suffit de prouver que a) entraîne c). Soit V' un voisinage de l’élément neutre $e'$ de G'; par hypothèse, il existe un voisinage V de e dans G tel que l’on ait $u(V) \subset V'$ pour tout $u \in H$; comme les éléments de H sont des homomorphismes, la relation $x^{-1}y \in V$ entraîne $(u(x))^{-1}u(y) = u(x^{-1}y) \in V'$. D’où la conclusion, compte tenu de la définition des entourages des structures uniformes gauches de G et G' (III, p. 20).

uniformément équicontinue), il faut et il suffit que l’adhérence $\overline{H}$ de $H$ dans l’espace $\mathscr{F}_s(X; Y)$ soit équicontinue en $x_0$ (resp. uniformément équicontinue).

La condition est trivialement suffisante. Pour prouver qu’elle est nécessaire, considérons un entourage $V$ de $Y$, fermé dans $Y \times Y$; par hypothèse, il existe un voisinage $U$ de $x_0$ dans $X$ (resp. un entourage $M$ de $X$) tel que la relation $x \in U$ (resp. $(x', x'') \in M$) entraîne $(h(x_0), h(x)) \in V$ (resp. $(h(x'), h(x'')) \in V$) pour tout $h \in H$. Comme $V$ est fermé, les $h \in \mathscr{F}(X; Y)$ qui vérifient la relation

pour tout $x \in U$ (resp. la relation $(h(x'), h(x'')) \in V$ pour tout couple $(x', x'') \in M$) forment une partie fermée de $\mathscr{F}_s(X; Y)$ ($X$, p. 4, Remarque 6); comme cette partie fermée contient $H$, elle contient $\overline{H}$, d’où la proposition, puisque les entourages de $Y$ fermés dans $Y \times Y$ forment un système fondamental d’entourages (II, p. 5, cor. 2).

Il suffit de montrer que sur $H$ la dernière structure uniforme est plus fine que la première; autrement dit, il faut prouver qu’étant donnés un entourage $V$ de $Y$ et une partie compacte (resp. précompacte) $A$ de $X$, il existe un entourage $W$ de $Y$ et une partie finie $F$ de $D$ tels que la relation

implique

Supposons d’abord $A$ compact et $H$ équicontinu. Étant donné un entourage symétrique $W$ de $Y$, tout point $x \in X$ possède un voisinage $U(x)$ tel que la relation $x' \in U(x)$ entraîne $(u(x), u(x')) \in W$ pour tout $u \in H$. On peut donc recouvrir l’ensemble compact $A$ par un nombre fini d’ensembles ouverts $U_i$ tels que pour tout couple de points $x', x''$ appartenant à un même ensemble $U_i$, on ait

pour tout $u \in H$. Soit $a_i$ un point de $D \cap U_i$, et soit $F$ l’ensemble des $a_i$; supposons alors (2) vérifiée; pour tout $x \in A$ il existe un indice $i$ tel que $a_i$ et $x$ appartiennent au même ensemble $U_i$, donc on a $(u(x), u(a_i)) \in \overset{2}{W}$ et $(v(a_i), v(x)) \in \overset{2}{W}$, d’où résulte que (2) implique (3) pourvu que $W$ ait été pris de sorte que $\overset{5}{W} \subset V$.

Si $A$ est précompact et $H$ uniformément équicontinu, utilisons la prop. 4 ($X$, p. 15) : il suffit d’observer que $i(\overline{A})$ est compact dans $\hat{X}$, $i(D)$ dense dans $\hat{X}$, et que les entourages de $Y$ sont les images réciproques par $j \times j$ de ceux de $\hat{Y}$.

En effet, l’ensemble $\overline{H}$ est équicontinu (resp. uniformément équicontinu) en vertu de $X$, p. 15, prop. 6, donc contenu dans $\mathscr{C}(X; Y)$; le corollaire résulte aussitôt du fait que, sur $\overline{H}$, les deux topologies considérées coïncident en vertu du th. 1.

Soit $\overline{H}$ l’adhérence $H$ dans $\mathscr{F}_s(X; Y)$, qui est encore un ensemble équicontinu (resp. uniformément équicontinu) (X, p. 15, prop. 6). En outre, on a $\overline{H}(x) \subset \overline{H(x)}$ (X, p. 3, Remarque 6), donc $\overline{H}(x)$ est encore relativement compact; le th. 2 (X, p. 17) montre donc que $\overline{H}$ est précompact pour la $\mathfrak{S}$-convergence, en désignant par $\mathfrak{S}$ l’ensemble des parties compactes (resp. précompactes) de $X$. En outre, comme $\overline{H(x)}$ est compact, donc complet, $\overline{H}$ est complet pour la structure uniforme de la convergence simple (II, p. 17, prop. 10 et II, p. 16, prop. 8), donc aussi pour la structure uniforme de la $\mathfrak{S}$-convergence (X, p. 7, cor. 2); $\overline{H}$ est donc compact, puisqu’il est précompact, complet et séparé (X, p. 3, prop. 1).

Tout revient à prouver que pour tout $x \in X$, $H(x)$ est relativement compact, car alors on peut appliquer le cor. 1. Comme $Y$ est complet, il suffit de voir que $H(x)$ est précompact pour tout $x \in X$. Or, pour tout entourage symétrique $V$ de $Y$, il existe un voisinage $U$ de $x$ tel que, pour tout $x' \in U$ et tout $u \in H$, on ait $(u(x), u(x')) \in V$. Par hypothèse, il existe $x' \in U \cap D$, et comme $H(x')$ est relativement compact dans $Y$, il existe un nombre fini de points $y_k \in Y$ tels que $H(x')$ soit contenu dans la réunion des ensembles $V(y_k)$; alors $H(x)$ est contenu dans la réunion des ensembles $\overline{V}(y_k)$, ce qui achève la démonstration.

Compte tenu du cor. 1, il suffit de montrer que si $H$ est relativement compact dans $C_c(X; Y)$, alors $H$ est équicontinu; or tout point $x \in X$ admet un voisinage compact $A$, et il résulte du th. 2 (X, p. 17) que $H|A$ est équicontinu, ce qui entraîne que $H$ est équicontinu au point $x$; d’où la conclusion.