En effet, si $d$ est une distance sur $Y$ compatible avec la structure uniforme de cet espace, la structure de la convergence uniforme sur $\mathscr{F}(X; Y)$ est définie par l’unique écart

en général cet écart n’est pas fini, mais il est équivalent à un écart fini (IX, p. 3), et comme la structure uniforme de la convergence uniforme est séparé (X, p. 3, prop. 1), elle est métrisable.

En effet, comme les $K_n$ forment un recouvrement de $X$, $\mathscr{F}_c(X; Y)$ est isomorphe à un sous-espace uniforme de $\prod_n \mathscr{F}_u(K_n; Y)$ (X, p. 3, Remarque 3) et le corollaire résulte donc de la prop. 1 (IX, p. 15, cor. 2).

On notera que ce corollaire s’applique en particulier lorsque $X$ est un espace localement compact dénombrable à l’infini (I, p. 68, cor. 1).

Soit maintenant $Y$ un espace métrique, et soit $d$ sa distance. Étant donnés un ensemble $X$ et un ensemble $\mathscr{S}$ de parties de $X$, nous désignerons par $\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ l’ensemble des applications $u : X \to Y$ telles que $u(A)$ soit borné pour tout $A \in \mathscr{S}$; sauf mention du contraire, nous munirons $\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ de la structure uniforme de la $\mathscr{S}$-convergence; cette dernière est définie par la famille d’écarts sur $\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$:

qui sont finis par hypothèse. Lorsque $\mathscr{S} = \{X\}$, on écrit $\mathscr{B}(X; Y)$ au lieu de $\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$; on dit qu’une application $u : X \to Y$ est bornée si elle appartient à $\mathscr{B}(X; Y)$, autrement dit si $u(X)$ est une partie bornée de $Y$.

En effet, si $u$ est bornée, toute application $v : X \to Y$ telle que $d(u(x), v(x)) \leq 1$ pour tout $x \in X$ est bornée, puisque

donc $\mathscr{B}(X; Y)$ est ouvert. D’autre part, si $u$ est adhérent à $\mathscr{B}(X; Y)$ dans $\mathscr{F}_u(X; Y)$, il existe une application $u_0 \in \mathscr{B}(X; Y)$ telle que $d(u(x), u_0(x)) \leq 1$ pour tout $x \in X$; donc $u$ est bornée.

En effet, $\mathscr{B}_{\mathfrak{S}}(X; Y)$ est l’image réciproque de la partie $\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{B}(A; Y)$ du produit $\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{F}_u(A; Y)$ par l’application canonique de $\mathscr{F}_{\mathfrak{S}}(X; Y)$ dans $\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{F}_u(X; Y)$; la première assertion résulte donc de la Remarque 3 de X, p. 3. La seconde s’en déduit, compte tenu de X, p. 7, th. 1.

L’espace en question est en effet l’intersection

la première assertion résulte de la prop. 2, et la seconde s’en déduit, compte tenu de X, p. 9, cor. 1.

En effet, comme $\mathscr{B}(X; Y)$ est complet ($X$, p. 21, cor. 1), cela résulte de IX, p. 36, prop. 12 et de la définition d’une série uniformément convergente.

En effet cet ensemble est formé des $u \in \mathscr{F}(X; Y)$ vérifiant toutes les relations

En effet, si $\mathscr{S}$ est l’ensemble des parties bornées de $X$, $\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$ est l’intersection de l’ensemble de toutes les applications multilinéaires de $X$ dans $Y$ et de l’ensemble $\mathscr{B}_{\mathscr{S}}(X; Y)$ (IX, p. 35, th. 1); la proposition résulte donc de la prop. 4 et de $X$, p. 21, cor 1.

Dans toute la fin de ce n°, nous supposerons que K désigne un corps valué non discret commutatif.

Alors $\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$ est un sous-espace vectoriel de $\mathscr{F}(X; Y)$. Soit B la boule unité de X, ensemble des $(\mathbf{x}_i)_{1 \leq i \leq n}$ tels que $\sup_{1 \leq i \leq n} \| \mathbf{x}_i \| \leq 1$; l’application $u \mapsto u|B$ de $\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$ dans $\mathscr{B}(B; Y)$ est injective; en outre l’image réciproque par cette application de la structure uniforme de la convergence uniforme sur $\mathscr{B}(B; Y)$ est la structure uniforme de la convergence bornée sur $\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$. En effet, toute partie bornée de X est contenue dans un ensemble de la forme $\mu B$ (avec $\mu \in K^*$), et dire que, pour un élément $u \in \mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$, on a $\|u(\mathbf{z})\| \leq a$ pour tout $\mathbf{z} \in \mu B$, équivaut à dire que $\|u(\mathbf{z})\| \leq a/|\mu|^n$ pour tout $\mathbf{z} \in B$. On vérifie aussitôt que le nombre $\|u\| = \sup_{\mathbf{z} \neq 0} \|u(\mathbf{z})\|/\|\mathbf{z}\|$ est une norme sur $\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$, définissant sur cet espace la structure uniforme de la convergence bornée, et l’on a évidemment

(2)

Sauf mention expresse du contraire, lorsque $\mathscr{L}(X_1, \ldots, X_n; Y)$ sera considéré comme un espace normé, il s’agira toujours de la norme précédente. On peut encore dire que $\|u\|$ est le plus petit nombre $\geq 0$ vérifiant (2) pour toutes les valeurs des $x_i$.

C’est une conséquence immédiate de l’inégalité (2) (IX, p. 35, th. 1).

Cela résulte aussitôt des définitions et de la relation

En effet, si $u \in \mathscr{L}(X; Y)$, $v \in \mathscr{L}(Y; Z)$, on a, de façon précise, (3)

En particulier, sur l’ensemble $\mathscr{L}(X)$ des endomorphismes continus d’un espace normé $X$ sur $K$, la norme $\|u\|$ est compatible avec la structure d’*algèbre* de $\mathscr{L}(X)$ sur $K$.

a) Si $X$ est métrisable, alors, pour tout espace uniforme métrisable $Y$ de type dénombrable (IX, p. 18), l’espace métrisable $C_u(X; Y)$ des applications continues de $X$ dans $Y$, muni de la topologie de la convergence uniforme, est de type dénombrable.

b) Réciproquement, si l’espace métrisable $C_u(X; \mathbf{R})$ est de type dénombrable, $X$ est métrisable.

a) Soit $d$ (resp. $d'$) une distance compatible avec la topologie de $X$ (resp. la structure uniforme de $Y$); on sait que $\delta(f, g) = \sup_{x \in X} d'(f(x), g(x))$ est une distance définissant la structure de la convergence uniforme sur $C(X; Y)$, les fonctions de $C(X; Y)$ étant bornées puisque $X$ est compact (X, p. 20). Pour tout couple d’entiers $m > 0, n > 0$, soit $G_{mn}$ l’ensemble des fonctions $f \in C(X; Y)$ telles que la relation $d(x, x') \leq 1/m$ entraîne $d'(f(x), f(x')) \leq 1/n$; toute fonction $f \in C(X; Y)$ est uniformément continue (II, p. 29, th. 2), donc, pour tout $n > 0$, $C(X; Y)$ est réunion des $G_{mn}$ ($m > 0$). Soit $\{a_1, \ldots, a_{p(m)}\}$ une partie finie de $X$ telle que les boules ouvertes de centre $a_i$ et de rayon $1/m$ forment un recouvrement de $X$ pour $1 \leq i \leq p(m)$; soit d’autre part $(b_r)_{r \in \mathbf{N}}$ une suite dénombrable dense dans $Y$. Pour toute application $\varphi$ de $\{1, p(m)\}$ dans $\mathbf{N}$, soit $H_\varphi$ l’ensemble des $f \in G_{mn}$ telles que $d'(f(a_k), b_{\varphi(k)}) \leq 1/n$ pour $1 \leq k \leq p(m)$. Par définition de $b_r$, $G_{mn}$ est réunion des $H_\varphi$ pour $\varphi \in \mathbf{N}^{p(m)}$; soit $C_{mn}$ l’ensemble des $\varphi \in \mathbf{N}^{p(m)}$ tels que $H_\varphi \neq \varnothing$, et pour chaque $\varphi \in C_{mn}$, soit $g_\varphi$ un élément de $H_\varphi$; enfin, désignons par $L_{mn}$ l’ensemble dénombrable des $g_\varphi$ pour $\varphi \in C_{mn}$. Soit $f \in G_{mn}$, et soit $\varphi$ un élément de $C_{mn}$ tel que $f \in H_\varphi$; il résulte aussitôt des définitions que l’on a $d'(f(x), g_\varphi(x)) \leq 4/n$ pour tout $x \in X$, autrement dit, $\delta(f, g_\varphi) \leq 4/n$. On en conclut que la réunion des $L_{mn}$ est partout dense dans $C_u(X; Y)$: en effet, pour tout entier $n > 0$ et tout $f \in C(X; Y)$, il existe $m$ tel que $f \in G_{mn}$, et on vient de voir que la distance de $f$ à $L_{mn}$ est $\leq 4/n$.

b) Soit $I = \{0, 1\}$; comme $\mathscr{C}_u(X; I)$ est un sous-espace uniforme de $\mathscr{C}_u(X; \mathbf{R})$, il est de type dénombrable; soit $(f_n)$ une suite partout dense dans cet espace. Considérons l’espace produit $K = I^\mathbf{N}$, et l’application $\psi : x \mapsto (f_n(x))$ de $X$ dans $K$ qui est évidemment continue. L’application $\psi$ est injective: en effet, par définition de la suite $(f_n)$, la relation $f_n(x) = f_n(x')$ pour tout $n$ entraîne, par passage à la limite, $f(x) = f(x')$ pour toute fonction $f \in \mathscr{C}(X; I)$; mais cela est impossible si $x \neq x'$, en vertu de l’axiome $(\mathrm{O}_{\mathrm{IV}})$ appliqué au point $x$ et à voisinage $V$ de $x$ ne contenant pas $x'$ (IX, p. 7, th. 2). On en conclut que l’espace compact $X$ est homéomorphe au sous-espace $\psi(X)$ de $K$ (I, p. 63, cor. 2); comme $K$ est métrisable et de type dénombrable, il en est de même de $\psi(X)$, donc de $X$.

C.Q.F.D.

a) L’espace $\mathscr{L}$ des applications continues de $X$ dans $Y$, ayant une limite à l’infini, muni de la topologie de la convergence uniforme dans $X$, est un espace métrisable de type dénombrable.

b) L’espace $\mathscr{C}_c(X; Y)$ des applications continues de $X$ dans $Y$, muni de la topologie de la convergence compacte, est un espace métrisable de type dénombrable.

*a) Soit $X'$ l’espace compact obtenu en adjoignant à $X$ un point à l’infini (I, p. 67, th. 4); par définition, toute fonction $f$ de $\mathscr{L}$ se prolonge de façon unique en une application continue $\tilde{f}$ de $X'$ dans $Y$, et $f \mapsto \tilde{f}$ est donc une bijection de $\mathscr{L}$ sur $\mathscr{C}(X'; Y)$; en outre cette bijection est un homéomorphisme de l’espace $\mathscr{L}$ sur $\mathscr{C}_u(X'; Y)$, en vertu de $X$, p. 7, prop. 6. Il suffit alors d’appliquer à $X'$ et $Y$ le th. 1, en observant que $X'$ est métrisable (IX, p. 21, corollaire).

*b) Soit $(U_n)$ un recouvrement de $X$ par des ensembles ouverts relativement compacts tel que toute partie compacte de $X$ soit contenue dans un $U_n$ (I, p. 68, cor. 1). Si $\mathfrak{S}$ est l’ensemble des $\overline{U}_n$, la topologie de la convergence compacte sur $\mathscr{C}(X; Y)$ est identique à la topologie de la $\mathfrak{S}$-convergence. Par suite (X, p. 3, Remarque 3) l’espace $\mathscr{C}_c(X; Y)$ est homéomorphe à un sous-espace du produit $\prod_n \mathscr{C}_u(\overline{U}_n; Y)$; comme chacun des espaces compacts $\overline{U}_n$ admet une base dénombrable, il est métrisable (IX, p. 21, prop. 16); chacun des $\mathscr{C}_u(\overline{U}_n; Y)$ est donc métrisable et de type dénombrable en vertu du th. 1 (X, p. 24) et par suite, il en est de même de $\mathscr{C}_c(X; Y)$.

On notera que l’espace des fonctions numériques continues bornées dans $\mathbf{R}$, muni de la topologie de la convergence uniforme, n’est pas de type dénombrable (X, p. 48, exerc. 4).

Soient $Y'$ l’espace uniforme séparé associé à $Y$ (II, p. 24), $i : Y \to Y'$ l’application canonique de $Y$ sur $Y'$. La topologie de la convergence compacte est la topologie la moins fine rendant continues les applications $u \mapsto (i \circ u) \mid K$ de $C(X; Y)$ dans $C_u(K; Y')$, $K$ parcourant l’ensemble des parties compactes de $X$ (X, p. 5, prop. 4). On obtient donc un système générateur de la topologie de $C_c(X; Y)$ en prenant, pour chaque partie compacte $K$ de $X$, un système générateur de la topologie de $C_u(K; Y')$ et son image réciproque dans $C(X; Y)$, et en considérant la réunion dans $\mathscr{P}(C(X; Y))$ de tous les ensembles de parties ainsi obtenus.

D’autre part, toute partie ouverte de $Y$ est de la forme $i^{-1}(U')$, où $U'$ est ouvert dans $Y'$ (II, p. 23, prop. 12); donc, pour toute partie compacte $K' \supset K$, $T(K, i^{-1}(U'))$ est l’image réciproque de $T(K, U')$ par l’application $C(X; Y) \to C_u(K'; Y')$, et on est ainsi ramené à démontrer le théorème lorsque $X$ est compact et $Y$ séparé, ce que nous supposerons désormais.

Montrons d’abord que $T(K, U)$ est ouvert dans $C_c(X; Y)$. Soit $u_0$ un point de cet ensemble; comme $u_0(K)$ est compact (I, p. 63, cor. 1) et contenu dans l’ensemble ouvert $U$, il existe un entourage symétrique $V$ de $Y$ tel que $V(u_0(K)) \subset U$ (II, p. 31, corollaire). Soit $W$ le voisinage de $u_0$ dans $C_c(X; Y)$ formé des applications continues $u : X \to Y$ telles que $(u(x), u_0(x)) \in V$ pour tout $x \in K$. Pour ces applications, on a évidemment $u(K) \subset V(u_0(K)) \subset U$, donc $u \in T(K, U)$ et par suite $W \subset T(K, U)$, ce qui prouve notre assertion.

Inversement, si $W$ est un voisinage d’un point $u_0 \in C_0(X; Y)$, montrons que $W$ contient l’intersection d’un nombre fini de voisinages de $u_0$ de la forme $T(K, U)$. On peut supposer que $W$ est l’ensemble des $u \in C(X; Y)$ tels que $(u(x), u_0(x)) \in V$ pour tout $x \in X$, $V$ étant un entourage donné de $Y$. Comme $u_0$ est continue dans $X$, elle est uniformément continue (II, p. 29, th. 2); soit $V_1$ un entourage symétrique de $Y$, ouvert dans $Y \times Y$, tel que $\overline{V}_1 \subset V$. Il existe un recouvrement de $X$ par un nombre fini d’ensembles compacts $K_i$ ($1 \leq i \leq n$) tels que $u_0(K_i)$ soit petit d’ordre $V_1$ pour $1 \leq i \leq n$. Soit $U_i$ l’ensemble ouvert $V_1(u_0(K_i))$, et soit $u$ une application continue de $X$ dans $Y$ appartenant à l’intersection des $n$ ensembles $T(K_i, U_i)$ (qui sont des voisinages de $u_0$). Alors, pour tout $x \in K_i$, $u(x)$ appartient à $U_i$, donc $u_0(x)$ et $u(x)$ sont voisins d’ordre $\overline{V}_1$, donc voisins d’ordre $V$. Puisque tout $x \in X$ appartient à un des $K_i$ au moins, on a bien $u \in W$, ce qui achève la démonstration.

Ce résultat conduit à poser la définition suivante:

Supposons $f$ continue et montrons que $\tilde{f}$ l’est : il faut prouver que pour toute partie compacte K de Y et toute partie ouverte U de Z, l’image réciproque V de $T(K, U)$ par $\tilde{f}$ est ouverte dans X. Soit donc $x_0 \in V$. Pour tout $y \in K$, on a $f(x_0, y) \in U$ et, comme $f$ est continue, il y a un voisinage $V_y$ de $x_0$ dans X et un voisinage $W_y$ de $y$ dans Y tels que $f(V_y \times W_y) \subset U$. Comme K est compact, il existe un nombre fini de points $y_i \in K$ tels que les ensembles $W_{y_i}$ recouvrent K ($1 \leq i \leq n$). Soit $V'$ l’intersection des voisinages $V_{y_i}$ de $x_0$, qui est un voisinage de $x_0$; pour $x \in V', y \in K$, on a $f(x, y) \in U$ puisque $y$ est contenu dans l’un des $W_{y_i}$ et que $x \in V_{y_i}$ pour tout $i$; on a donc bien $V' \subset V$, et comme V est un voisinage de chacun de ses points, il est ouvert dans X.

Réciproquement, supposons $\tilde{f}$ continue et Y localement compact, et montrons que $f$ est continue. Soient $x_0 \in X, y_0 \in Y, U$ un voisinage ouvert de $f(x_0, y_0)$ dans Z ; prouvons qu’il existe un voisinage V de $x_0$ dans X et un voisinage W de $y_0$ dans Y tels que $f(V \times W) \subset U$. Comme $y \mapsto f(x_0, y)$ est continue, il existe un voisinage compact W de $y_0$ tel que $f(\{x_0\} \times W) \subset U$. D’autre part, puisque $\tilde{f}$ est continue, l’ensemble V des $x \in X$ tels que $f(x,.) \in T(W, U)$ (c’est-à-dire tels que $f(x, y) \in U$ pour tout $y \in W$) est une partie ouverte de X, donc un voisinage de $x_0$. On a bien alors $f(V \times W) \subset U$.