¹ Les fonctions numériques dont il sera question dans ce paragraphe seront toujours supposées finies.

pour tout $x \in X$, il existe une fonction $u_x \in H$ telle que $u_x(x) > f(x)$ (resp. $u_x(x) < f(x)$). Alors il existe un nombre fini de fonctions $u_{x_i} = f_i \in H$ ($1 \leq i \leq n$) telles que, si on pose $v = \sup(f_1, f_2, \ldots, f_n)$ (resp. $w = \inf(f_1, f_2, \ldots, f_n)$) on ait $v(x) > f(x)$ (resp. $w(x) < f(x)$) pour tout $x \in X$.

En effet, pour tout $x \in X$, soit $G_x$ l’ensemble ouvert des $z \in X$ tels que $u_x(z) > f(z)$ (resp. $u_x(z) < f(z)$); comme $x \in G_x$ par hypothèse, $X$ est réunion des $G_x$ lorsque $x$ parcourt $X$. Comme $X$ est compact, il existe un nombre fini de points $x_i$ ($1 \leq i \leq n$) tels que les $G_{x_i}$ forment un recouvrement de $X$; il est clair que les fonctions $f_i = u_{x_i}$ répondent à la question.

En effet, étant donné $\varepsilon > 0$ arbitraire, pour tout $x \in X$ il existe une fonction $u_x \in H$ telle que $u_x(x) > f(x) - \varepsilon$. D’après la prop. 1 et comme $H$ est filtrant pour la relation $\leq$, il existe $g \in H$ telle que $g(x) > f(x) - \varepsilon$ pour tout $x \in X$; comme, d’autre part, on a $g(x) \leq f(x)$ par définition, le théorème est démontré.

Il est immédiat que la conclusion du th. 1 n’est plus nécessairement exacte si on ne suppose plus $X$ compact, comme le montre l’exemple de la suite décroissante des fonctions $x/(n + x)$ dans $\mathbf{R}_+$.

La condition est évidemment nécessaire; montrons qu’elle est suffisante. Pour tout $\varepsilon > 0$, nous allons montrer qu’il existe une fonction $g \in H$ telle que $|f(z) - g(z)| < \varepsilon$ pour tout $z \in X$. Soit $x$ un point quelconque de $X$, et $H_x$ l’ensemble des fonctions $u \in H$ telles que $u(x) < f(x) + \varepsilon$. Par hypothèse, pour tout $y \in X$, la fonction $u_{x,y}$ appartient à $H_x$ et on a $u_{x,y}(y) > f(y) - \varepsilon$; d’après la prop. 1 (X, p. 33), il existe donc un nombre fini de fonctions de $H_x$ dont l’enveloppe supérieure $v_x$ est telle que $v_x(z) > f(z) - \varepsilon$ pour tout $z \in X$; d’autre part, on a, par définition de $H_x$, $v_x(x) < f(x) + \varepsilon$; enfin, $v_x$ appartient à $H$ d’après l’hypothèse. La prop. 1 montre donc qu’il existe un nombre fini de fonctions $v_{x_i}$ dont l’enveloppe inférieure $g$ est telle que $g(z) < f(z) + \varepsilon$ pour tout $z \in X$; d’autre part, comme on a $v_{x_i}(z) > f(z) - \varepsilon$ pour tout $z \in X$ et pour chaque indice $i$, on a aussi $g(z) > f(z) - \varepsilon$ pour tout $z \in X$; comme $g \in H$ d’après l’hypothèse, la proposition est démontrée.

Il suffit de montrer que $H$ satisfait aux conditions du cor. de la prop. 2. D’après l’hypothèse, si $u \in H$ et $v \in H$,

appartiennent à $H$. D’autre part, soient $x, y$ deux points distincts quelconques de $X$, $\alpha$ et $\beta$ deux nombres réels quelconques; par hypothèse, il existe une fonction $h \in H$ telle que $h(x) \neq h(y)$; posons $h(x) = \gamma, h(y) = \delta$; comme les constantes appartiennent à $H$, la fonction $g(z) = \alpha + (\beta - \alpha) \frac{h(z) - \gamma}{\delta - \gamma}$ appartient à $H$, et est telle que $g(x) = \alpha$ et $g(y) = \beta$.

Il revient au même de dire qu’une sous-algèbre de $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ qui contient les fonctions constantes et sépare les points de $X$ est dense dans $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$.

Soit $\mathbf{H}_0$ l’ensemble des polynômes par rapport aux fonctions de $\mathbf{H}$ et $\overline{\mathbf{H}}_0$ son adhérence dans $\mathscr{C}$; pour tout polynôme $g$ à $n$ variables, à coefficients réels, $(u_1, u_2, \ldots, u_n) \mapsto g(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ est une application continue de $\mathscr{C}^n$ dans $\mathscr{C}$, qui applique $\mathbf{H}_0^n$ dans $\mathbf{H}_0$; elle applique donc $\overline{\mathbf{H}}_0^n$ dans $\overline{\mathbf{H}}_0$ (I, p. 9, th. 1). En particulier, $\overline{\mathbf{H}}_0$ est un sous-espace vectoriel de $\mathscr{C}$, et satisfait évidemment à la première et à la troisième condition du th. 2 (X, p. 35); nous allons voir qu’il satisfait aussi à la seconde, d’où résultera que $\overline{\mathbf{H}}_0 = \mathscr{C}$. Comme toute fonction $u \in \overline{\mathbf{H}}_0$ est bornée dans $X$, il suffira de démontrer le lemme suivant:

Il suffit d’établir le lemme dans un intervalle de la forme $I = (-a, +a)$, et par suite, en remplaçant $t$ par $at$, dans l’intervalle $(-1, +1)$. Comme on peut écrire $|t| = \sqrt{t^2}$, le lemme 1 sera donc la conséquence du résultat suivant:

Il suffit de prouver que, pour tout $t \in (0, 1)$, on a

car (2) entraîne $0 \leq \sqrt{t} - p_n(t) \leq 2/n$.

L’inégalité (2) est vraie pour $n = 0$; démontrons-la par récurrence; il résulte de l’hypothèse de récurrence (2) que l’on a $0 \leq \sqrt{t} - p_n(t) \leq \sqrt{t}$, donc $0 \leq p_n(t) \leq \sqrt{t}$. On déduit alors de (1) que

d’où $\sqrt{t} - p_{n+1}(t) \geqslant 0$, et, en vertu de (2)

C.Q.F.D.

Lorsqu’on ne suppose plus X compact, la conclusion du th. 3 n’est plus nécessairement exacte. Par exemple, une fonction numérique continue, bornée et non constante dans $\mathbf{R}$, ne peut être approchée uniformément dans $\mathbf{R}$ par des polynômes (cf. X, p. 55, exerc. 6).

En effet, si $x = (x_i)$ et $y = (y_i)$ sont deux points distincts de X, il existe un indice $i$ tel que $x_i \neq y_i$, ce qui montre que la famille des fonctions continues pr_i satisfait aux conditions du th. 3.

Considérons d’abord le cas particulier où A est réduit à un point $x_0$. L’hypothèse entraîne alors que H sépare les points de X, car si $x \neq x_0$, il existe par hypothèse une fonction $u \in H$ telle que $u(x) \neq 0 = u(x_0)$; pour tout $\varepsilon > 0$ et toute fonction numérique $f$ continue dans X et telle que $f(x_0) = 0$, il existe donc (X, p. 36, th. 3) un polynôme $g$ par rapport aux fonctions de H, tel que $|f(x) - g(x)| \leqslant \varepsilon$ pour tout $x \in X$; on en déduit en particulier $|g(x_0)| \leqslant \varepsilon$, d’où $|f(x) - (g(x) - g(x_0))| \leqslant 2\varepsilon$ pour tout $x \in X$, et comme $g(x) - g(x_0)$ est un polynôme sans terme constant par rapport aux fonctions de H, la proposition est démontrée dans ce cas.

Dans le cas général, considérons dans X la relation d’équivalence R dont les classes sont formées de l’ensemble A et des ensembles $\{x\}$, où $x$ parcourt $\mathbf{C} A$; l’espace quotient $X' = X/R$ est séparé (I, p. 58, prop. 15), et par suite compact. Soit $\varphi$ l’application canonique de X sur X/R; toute fonction numérique continue sur X et s’annulant dans A peut s’écrire $f = f_1 \circ \varphi$, où $f_1$ est une fonction numérique définie et continue dans $X'$, et s’annulant au point $x'_0 = \varphi(A)$; en appliquant la proposition à l’espace $X'$ et au point $x'_0$, on obtient le résultat final.

En effet, considérons l’ensemble $H$ des « fonctions d’une variable » $(x_i) \mapsto u_\alpha(x_\alpha)$ ($\alpha$ quelconque dans $I$) continues dans $X$; cet ensemble sépare les points de $X$, car si $x = (x_i)$ et $y = (y_i)$ sont deux points distincts de $X$, il existe $\alpha \in I$ tel que $x_\alpha \neq y_\alpha$, et une fonction numérique $h_\alpha$ continue dans $X_\alpha$ telle que $h_\alpha(x_\alpha) \neq h_\alpha(y_\alpha)$; la fonction $x \mapsto h_\alpha(\mathrm{pr}_\alpha x)$ appartient à $H$ et prend des valeurs distinctes aux points $x$ et $y$. Comme tout polynôme par rapport aux fonctions de $H$ est de la forme décrite dans l’énoncé, le théorème résulte du th. 3 (X, p. 36).

Lorsqu’on ne suppose plus tous les espaces $X_i$ compacts, la conclusion du th. 4 n’est plus nécessairement exacte (cf. X, p. 56, exerc. 9).

Étant donné arbitrairement $\varepsilon > 0$, pour tout $x \in X$, il existe un voisinage ouvert de $x$ dans lequel l’oscillation de $\mathbf{f}$ est $\leq \varepsilon$. Il existe donc un recouvrement ouvert fini $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ de $X$ tel que l’oscillation de $\mathbf{f}$ dans chacun des $A_i$ soit $\leq \varepsilon$. Soit $\mathbf{a}_i$ une valeur de $\mathbf{f}$ dans $A_i$ ($1 \leq i \leq n$), et soit $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ une partition continue de l’unité subordonnée au recouvrement $(A_i)$ (IX, p. 47, th. 3). Soit $x$ un point quelconque de $X$; pour tout indice $i$ tel que $x \notin A_i$, on a $u_i(x) = 0$, et pour tout indice $i$ tel que $x \in A_i$, on a $\| \mathbf{f}(x) - \mathbf{a}_i \| \leq \varepsilon$; on en déduit que

D’autre part, il existe par hypothèse une fonction $v_i \in \mathbf{H}$ telle que

pour tout $x \in X$ ($1 \leq i \leq n$); on a donc $\| \mathbf{f}(x) - \sum_{i=1}^n \mathbf{a}_i v_i(x) \| \leq 2\varepsilon$ pour tout $x \in X$, ce qui démontre la proposition.

A chacune des propositions démontrées ci-dessus, où on établit qu’une certaine partie $\mathbf{H}$ de $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ est partout dense, correspond donc, par la prop. 5, une proposition analogue pour les applications continues de $X$ dans un espace normé quelconque $Y$. Nous nous bornerons à expliciter la proposition qui correspond ainsi au th. 3 (X, p. 36). Étant donné un ensemble $\mathbf{H}$ de fonctions numériques définies dans $X$, appelons polynôme par rapport aux fonctions de $\mathbf{H}$, à coefficients dans $Y$, toute combinaison linéaire, à coefficients dans $Y$, de produits d’une famille finie (éventuellement vide) de fonctions de $\mathbf{H}$. Alors:

la prop. 6 à l’ensemble formé des parties réelles et des parties imaginaires de fonctions $f \in \mathbf{H}$, en remarquant que

Nous verrons plus tard qu’en général il n’est pas possible d’approcher uniformément $f$ par des polynômes (à coefficients dans $Y$) par rapport aux seules variables $z_k$ même si $Y = \mathbf{C}$.

Si $X'$ est l’espace compact obtenu par adjonction à $X$ d’un point à l’infini $\omega$, $\mathscr{C}_0(X)$ s’identifie au sous-espace de $\mathscr{C}(X'; \mathbf{C})$ formé des applications continues nulles au point $\omega$, la norme sur $\mathscr{C}_0(X)$ étant définie par

En vertu de la prop. 7 (X, p. 39), toute fonction $f \in \mathscr{C}_0(X)$ peut être approchée uniformément par des polynômes à coefficients complexes, par rapport à des fonctions appartenant à $A$; en outre, comme $f(\omega) = 0$, le raisonnement de X, p. 37, prop. 4 montre qu’on peut supposer ces polynômes sans terme constant et alors ils appartiennent à $A$.

Comme autre exemple d’application de la prop. 7, citons le résultat suivant:

Il suffit de remarquer que $P$ (muni de la topologie de la convergence uniforme) est canoniquement isomorphe à l’espace des applications continues de l’espace compact $T^m$ dans $\mathbf{C}$ (VII, p. 11), et d’appliquer la prop. 7 à l’ensemble des applications de $T^m$ dans $\mathbf{C}$ qui correspondent aux $m$ applications

de $\mathbf{R}^m$ dans $\mathbf{C}$.

Exercises