Note historique

(N.-B. — Les chiffres romains renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.)

On sait que la notion de fonction arbitraire ne se dégagea guère avant le début du XIXe siècle. À plus forte raison l’idée d’étudier de façon générale des ensembles de fonctions, et de les munir d’une structure topologique, n’apparaît pas avant Riemann (voir Note historique du chap. I) et ne commence à être mise en œuvre que vers la fin du XIXe siècle.

Toutefois, la notion de convergence d’une suite de fonctions numériques était utilisée de façon plus ou moins consciente depuis les débuts du Calcul infinitésimal. Mais il ne s’agissait que de convergence simple et il ne pouvait en être autrement avant que les notions de série convergente et de fonction continue n’eussent été définies de façon précise par Bolzano et Cauchy. Ce dernier n’aperçut pas au premier abord la distinction entre convergence simple et convergence uniforme, et crut pouvoir démontrer que toute série convergente de fonctions continues a pour somme une fonction continue (I, (2), vol. III, p. 120). L’erreur fut presque aussitôt décelée par Abel, qui prouva en même temps que toute série entière est continue à l’intérieur de son intervalle de convergence, par le raisonnement devenu classique qui utilise essentiellement, dans ce cas particulier, l’idée de la convergence uniforme (II, p. 223–224). Il ne restait plus qu’à dégager cette dernière de façon générale, ce qui fut fait indépendamment par Stokes et Seidel en 1847–1848, et par Cauchy lui-même en 1853 (I, (1), vol. XII, p. 30).¹

Sous l’influence de Weierstrass et de Riemann, l’étude systématique de la notion de convergence uniforme et des questions connexes est développée dans le dernier tiers du XIXe siècle par l’école allemande (Hankel, du Bois-Reymond) et surtout l’école italienne : Dini et Arzelà précisent les conditions nécessaires pour que la limite d’une suite de fonctions continues soit continue, tandis qu’Ascoli introduit la notion fondamentale d’équicontinuité et démontre le théorème caractérisant les ensembles compacts de fonctions continues (III) (théorème popularisé plus tard par Montel dans sa théorie des « familles normales », qui ne sont autres que des ensembles relativement compacts de fonctions analytiques).

Weierstrass lui-même découvrit d’autre part (IV b) la possibilité d’approcher uniformément par des polynômes une fonction numérique continue d’une ou plusieurs variables réelles dans un ensemble borné, résultat qui suscita aussitôt un

¹ Dans un travail daté de 1841, mais publié seulement en 1894 (IV a, p. 67), Weierstrass utilise avec une parfaite netteté la notion de convergence uniforme (à laquelle il donne ce nom pour la première fois) pour les séries de puissances d’une ou plusieurs variables complexes.

vif intérêt, et conduisit à de nombreuses études « quantitatives » qui restent en dehors du point de vue où nous nous sommes placés.¹

La contribution moderne à ces questions a surtout consisté à leur donner toute la portée dont elles sont susceptibles, en les abordant pour des fonctions dont l’ensemble de définition et l’ensemble des valeurs ne sont plus restreints à $\mathbf{R}$ ou aux espaces de dimension finie, et en les plaçant ainsi dans leur cadre naturel, à l’aide des concepts topologiques généraux. En particulier, le théorème de Weierstrass, qui déjà s’était révélé un outil de premier ordre en Analyse classique, a pu, dans ces dernières années, être étendu à des cas beaucoup plus généraux par M. H. Stone : développant une idée introduite par H. Lebesgue (dans une démonstration du théorème de Weierstrass), il a mis en lumière le rôle important joué dans l’approximation des fonctions continues numériques par les ensembles réticulés (approximation par des « polynômes latticiels », cf. X, p. 34–35, prop. 2 et th. 2), et a montré d’autre part comment le théorème de Weierstrass généralisé entraîne aussitôt toute une série de théorèmes d’approximation analogues, qui se groupent ainsi de façon beaucoup plus cohérente ; nous avons suivi d’assez près son exposé (V).

¹ Voir par ex. C. De La Vallée Poussin, Leçons sur l’approximation des fonctions d’une variable réelle (Paris, Gauthier-Villars, 1919).

(I) A.-L. CAUCHY, Œuvres, Paris (Gauthier-Villars), 1882–1932. (II) N. H. ABEL, Œuvres, t. I, éd. Sylow et Lie, Christiania, 1881. (III) G. ASCOLI, Sulle curve limiti di una varietà data di curve, Mem. Accad. Lincei (III), t. XVIII (1883), p. 521–586. (IV) K. WEIERSTRASS, Mathematische Werke, Berlin (Mayer und Müller), 1894–1903: (a) Zur Theorie der Potenzreihen, Bd. I, p. 67–74; b) Über die analytische Darstellbarkeit sogenannter willkürlicher Functionen reeller Argumente, Bd. III, p. 1–37. (V) M. H. STONE, The generalized Weierstrass approximation theorem, Mathematics Magazine, t. XXI (1948), p. 167–183, et 237–254.