Hiển nhiên là kết luận của Định lý 1 không còn nhất thiết đúng nếu $X$ không còn được giả thiết là compact, như được chỉ ra bởi ví dụ về dãy giảm của các hàm $x/(n + x)$ trong $\mathbf{R}_+$.

Điều kiện ấy hiển nhiên là cần thiết; ta hãy chứng minh rằng nó là đủ. Với mỗi $\varepsilon > 0$, ta sẽ chứng minh rằng có một hàm $g \in H$ sao cho $|f(z) - g(z)| < \varepsilon$ với mọi $z \in X$. Cho $x$ là một điểm bất kỳ của $X$, và cho $H_x$ là tập hợp tất cả các hàm $u \in H$ sao cho $u(x) < f(x) + \varepsilon$. Theo giả thiết, với mỗi $y \in X$, hàm $u_{x, y}$ thuộc $H_x$ và ta có $u_{x, y}(y) > f(y) - \varepsilon$. Do đó, theo Mệnh đề 1, tồn tại một số hữu hạn các hàm của $H_x$ mà bao trên của chúng là $v_x$ sao cho $v_x(z) > f(z) - \varepsilon$ với mọi $z \in X$; mặt khác, ta có $v_x(x) < f(x) + \varepsilon$ theo định nghĩa của $H_x$; cuối cùng, $v_x \in H$ theo giả thiết. Vì vậy Mệnh đề 1 cho thấy rằng tồn tại một số hữu hạn các hàm $v_{x_i}$ mà bao dưới của chúng là $g$ sao cho $g(z) < f(z) + \varepsilon$ với mọi $z \in X$; nhưng vì ta có $v_{x_i}(z) > f(z) - \varepsilon$ với mọi $z \in X$ và với mọi chỉ số $i$, nên ta cũng có $g(z) > f(z) - \varepsilon$ với mọi $z \in X$. Vì $g \in H$ theo giả thiết, chứng minh kết thúc.

Chỉ cần chứng minh rằng H thỏa các điều kiện của Hệ quả của Mệnh đề 2. Theo giả thiết, nếu $u \in H$ và $v \in H$, ta có

Mặt khác, cho x và y là bất kỳ hai điểm phân biệt nào của X, và cho α, β là bất kỳ hai số thực nào. Theo giả thiết, tồn tại một hàm $h \in H$ sao cho $h(x) \neq h(y)$: chẳng hạn $h(x) = \gamma$ và $h(y) = \delta$. Vì các hàm hằng thuộc H, hàm

Một mệnh đề tương đương của định lý là bất kỳ đại số con nào của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ chứa các hàm hằng và phân biệt các điểm của X đều trù mật trong $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$.

Cho $H_0$ là tập tất cả các đa thức theo các hàm của H, và cho $\overline{H}_0$ là bao đóng của $H_0$ trong $\mathscr{C}$. Nếu g là một đa thức bất kỳ theo n biến với hệ số thực, thì $(u_1, u_2, \ldots, u_n) \to g(u_1, u_2, \ldots, u_n)$ là một ánh xạ liên tục của $\mathscr{C}^n$ vào $\mathscr{C}$, ánh xạ $H_0^n$ vào $H_0$, và do đó ánh xạ $\overline{H}_0^n$ vào $\overline{H}_0$ (Chương I, § 2, no. 1, Định lý 1). Đặc biệt, $\overline{H}_0$ là một không gian con vectơ của $\mathscr{C}$ và hiển nhiên thỏa điều kiện thứ nhất và thứ ba của Định lý 2; ta sẽ chứng minh rằng nó cũng thỏa điều kiện thứ hai, và điều này sẽ chứng minh rằng $\overline{H}_0 = \mathscr{C}$.

Vì mọi hàm $u \in \overline{H}_0$ đều bị chặn trên X, nên đủ để chứng minh bổ đề sau:

Đủ để chứng minh bổ đề cho một khoảng có dạng $I = [-a, +a]$ và do đó, thay $t$ bằng $at$, cho khoảng $I = [-1, +1]$. Vì $|t| = \sqrt{t^2}$, Bổ đề 1 là hệ quả của kết quả sau:

Để chứng minh Bổ đề 2, chỉ cần chỉ ra rằng, với mọi $t \in [0, 1]$, ta có

Ta chứng minh (2) bằng quy nạp theo $n$. Điều này đúng với $n = 0$. Nếu $n \geq 0$ thì từ giả thiết quy nạp (2) suy ra $0 \leq \sqrt{t} - p_n(t) \leq \sqrt{t}$, do đó $0 \leq p_n(t) \leq \sqrt{t}$, và vì vậy từ (1) ta có

Nếu $X$ không compact, kết luận của Định lý 3 không nhất thiết đúng. Chẳng hạn, một hàm thực liên tục trên $\mathbf{R}$ bị chặn và không hằng không thể được xấp xỉ đều trong $\mathbf{R}$ bởi các đa thức (xem Bài tập 6).

Vì nếu $x = (x_i)$ và $y = (y_i)$ là hai điểm phân biệt của $X$, thì tồn tại ít nhất một chỉ số $i$ sao cho $x_i \neq y_i$; do đó họ các hàm liên tục $\mathrm{pr}_i$ thỏa mãn các điều kiện của Định lý 3.

Xét trước hết trường hợp riêng trong đó $A$ gồm một điểm duy nhất $x_0$. Khi đó các giả thiết suy ra rằng $H$ phân biệt các điểm của $X$; thật vậy, nếu $x \neq x_0$, thì theo giả thiết có một hàm $u \in H$ sao cho $u(x) \neq 0 = u(x_0)$. Do đó, với mỗi $\varepsilon > 0$ và mỗi hàm thực liên tục $f$ trên $X$ sao cho $f(x_0) = 0$, tồn tại (Định lý 3) một đa thức $g$ theo các hàm của $H$ sao cho $|f(x) - g(x)| \leq \varepsilon$ với mọi $x \in X$. Đặc biệt $|g(x_0)| \leq \varepsilon$, nên

với mọi $x \in X$; và vì $g(x) - g(x_0)$ là một đa thức theo các hàm của $H$ không có hạng tự do, kết quả được thiết lập trong trường hợp này.

Trong trường hợp tổng quát, xét quan hệ tương đương $R$ trên $X$ có các lớp là tập $A$ và các tập $\{x\}$ với $x \notin A$. Không gian thương $X/R$ là Hausdorff (Chương I, § 8, no. 6, Mệnh đề 15) và do đó compact. Gọi $\varphi : X \to X/R$ là ánh xạ chính tắc. Mỗi hàm thực liên tục $f$ trên $X$ triệt tiêu trên $A$ có thể được viết dưới dạng $f = f_1 \circ \varphi$, trong đó $f_1$ là một hàm thực liên tục trên $X/R$ và triệt tiêu tại điểm $x_0' = \varphi(A)$. Áp dụng kết quả đã được chứng minh cho không gian $X/R$ và điểm $x_0'$, ta thu được kết quả cuối cùng.

Xét tập hợp $H$ gồm các "hàm một biến" $(x_i) \to u_\alpha(x_\alpha)$ (bất kỳ $\alpha \in I$ nào) liên tục trên $X$. Tập hợp này phân biệt các điểm của $X$, vì nếu $x = (x_i)$ và $y = (y_i)$ là hai điểm phân biệt bất kỳ của $X$, thì tồn tại $\alpha \in I$ sao cho $x_\alpha \neq y_\alpha$ và tồn tại một hàm liên tục nhận giá trị thực $h_\alpha$ trên $X_\alpha$ sao cho $h_\alpha(x_\alpha) \neq h_\alpha(y_\alpha)$. Khi đó hàm $x \to h_\alpha(\operatorname{pr}_\alpha x)$ thuộc $H$ và nhận các giá trị khác nhau tại $x$ và $y$. Vì mọi đa thức theo các hàm của $H$ đều có dạng đã nêu trong định lý, suy ra kết quả từ Định lý 3.

Nếu không phải mọi $X_i$ đều compact, thì kết luận của Định lý 4 chưa chắc đúng (xem Bài tập 9).

Cho bất kỳ số thực $\varepsilon > 0$ nào, với mỗi $x \in X$ tồn tại một lân cận mở của $x$ trong đó độ dao động của $f$ không vượt quá $\varepsilon$. Do đó tồn tại một phủ mở hữu hạn $(A_i)_{1 \leq i \leq n}$ của $X$ sao cho độ dao động của $f$ trên từng $A_i$ không vượt quá $\varepsilon$. Lấy $a_i$ là một giá trị của $f$ trong $A_i$ ($1 \leq i \leq n$), và lấy $(u_i)_{1 \leq i \leq n}$ là một phân hoạch đơn vị liên tục phụ thuộc vào phủ $(A_i)$ (Chương IX, § 4, no. 4, Hệ quả của Mệnh đề 4). Cho $x$ là một điểm bất kỳ của $X$. Với mỗi chỉ số $i$ sao cho $x \notin A_i$, ta có $u_i(x) = 0$, và với mỗi chỉ số $i$ sao cho $x \in A_i$ ta có $\|f(x) - a_i\| \leq \varepsilon$; suy ra rằng

Mặt khác, theo giả thiết tồn tại một hàm $v_i \in H$ sao cho

với mọi $x \in X$ ($1 \leq i \leq n$); do đó ta có

và chứng minh hoàn tất.

Từ Mệnh đề 5 suy ra rằng, ứng với mỗi mệnh đề mà ta đã chứng minh rằng một tập con $H$ nào đó của $\mathscr{C}(X; \mathbf{R})$ là trù mật, có một mệnh đề tương tự đối với các ánh xạ liên tục của $X$ vào một không gian định chuẩn $Y$ tùy ý. Ta sẽ chỉ viết tường minh mệnh đề tương ứng theo cách này với Định lý 3. Cho một tập $H$ các hàm nhận giá trị thực trên $X$, một đa thức theo các hàm của $H$, với hệ số trong $Y$, được định nghĩa là bất kỳ tổ hợp tuyến tính nào, với hệ số trong $Y$, của các tích của một họ hữu hạn (có thể rỗng) các hàm thuộc $H$. Khi đó:

Từ đó suy ra:

Chỉ cần nhận xét rằng $Y$ cũng là một không gian chuẩn trên $\mathbf{R}$ và áp dụng Mệnh đề 6 cho tập các phần thực và phần ảo của các hàm $f \in H$, dùng các công thức

Sau này ta sẽ thấy rằng nói chung không thể xấp xỉ đều $f$ bởi các đa thức (với hệ số trong $Y$) chỉ theo các biến $z_k$, ngay cả khi $Y = \mathbf{C}$.

Nếu $X'$ là không gian compact thu được bằng cách ghép thêm một điểm ở vô cực $\omega$ vào $X$, thì $C_0(X)$ có thể được đồng nhất với không gian con của $C(X; \mathbf{C})$ gồm các ánh xạ liên tục triệt tiêu tại $\omega$, với chuẩn trên $C_0(X)$ được định nghĩa bởi

Nhờ Mệnh đề 7, mọi $f \in C_0(X)$ đều có thể được xấp xỉ đều bởi các đa thức với hệ số phức theo các hàm thuộc $A$; hơn nữa, vì $f(\omega) = 0$, lập luận của no. 2, Mệnh đề 4 cho thấy ta có thể giả sử các đa thức này không có số hạng hằng, và khi đó chúng thuộc $A$.

Một ứng dụng khác của Mệnh đề 7 là như sau:

Ta chỉ cần nhận thấy rằng P (được trang bị tôpô của sự hội tụ đều) đẳng cấu chính tắc với không gian của mọi ánh xạ liên tục của không gian compact $\mathbf{T}^m$ vào $\mathbf{C}$ (Chương VII, § 1, no. 6), và áp dụng Mệnh đề 7 cho tập các ánh xạ của $\mathbf{T}^m$ vào $\mathbf{C}$ tương ứng với $m$ ánh xạ $(x_1, x_2, \ldots, x_m) \to e(x_i) \quad (1 \leq i \leq m)$ của $\mathbf{R}^m$ vào $\mathbf{C}$.