Bourbaki

§ 1. La structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence

Notations. — Étant donnés deux ensembles X,YX, Y, rappelons que l’on désigne par F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) l’ensemble de toutes les applications de XX dans YY, qui s’identifie à l’ensemble produit YXY^X (E, II, p. 31). Pour toute partie HH de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y), et tout x∈Xx \in X, nous désignerons par H(x)H(x) l’ensemble des u(x)∈Yu(x) \in Y lorsque uu parcourt HH. Si Φ\Phi est une base de filtre sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y), nous désignerons par Φ(x)\Phi(x) la base de filtre sur YY formée des H(x)H(x), où HH parcourt Φ\Phi. Enfin, rappelons que, pour tout u∈F(X;Y)u \in \mathscr{F}(X; Y) et toute partie AA de XX, u∣Au | A désigne la restriction de uu à AA, application de AA dans YY; si HH est une partie de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y), H∣AH | A désignera l’ensemble des restrictions u∣Au | A pour u∈Hu \in H.

1. La structure de la convergence uniforme

Soient XX un ensemble, YY un espace uniforme. Pour tout entourage VV de YY, désignons par W(V)W(V) l’ensemble des couples (u,v)(u, v) d’applications de XX dans YY tels que l’on ait (u(x),v(x))∈V(u(x), v(x)) \in V pour tout x∈Xx \in X. Lorsque VV parcourt l’ensemble des entourages de YY, les ensembles W(V)W(V) forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y). En effet, ils satisfont de façon évidente à l’axiome (U1′)(\mathrm{U}_1') (II, p. 2); si V,V′V, V' sont deux entourages de YY tels que V⊂V′V \subset V', on a W(V)⊂W(V′)W(V) \subset W(V'), donc les ensembles W(V)W(V) vérifient (B1)(\mathrm{B}_1) (I, p. 38); on a W(V)^=W(V)−1\widehat{W(V)} = W(V)^{-1}, donc (UII′)(\mathrm{U}_{\mathrm{II}}') est vérifié; enfin, les relations « quel que soit x∈X, (u(x),v(x))∈Vx \in X,\ (u(x), v(x)) \in V et « quel que soit x∈X, (v(x),w(x))∈Vx \in X,\ (v(x), w(x)) \in V » entraînent la relation « quel que soit x∈X, (u(x),w(x))∈V2x \in X,\ (u(x), w(x)) \in \overset{2}{V} », autrement dit on a

W(V)^2⊂W(V)2, \widehat{W(V)}^2 \subset W(V)^2,

ce qui démontre (UIII′U'_{III}).

Définition 1

On dit que la structure uniforme sur l’ensemble F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) ayant pour système fondamental d’entourages l’ensemble des W(V)W(V), où VV parcourt l’ensemble des entourages de YY, est la structure de la convergence uniforme ; la topologie déduite de cette structure uniforme est appelée topologie de la convergence uniforme. Si un filtre Φ\Phi sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) converge vers un élément u0u_0 pour cette topologie, on dit qu’il converge uniformément vers u0u_0.

On notera que la topologie de la convergence uniforme sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) dépend de la structure uniforme de YY et non seulement de la topologie de YY (X, p. 41, exerc. 4).

L’espace uniforme obtenu en munissant F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) de la structure de la convergence uniforme se note Fu(X;Y)\mathscr{F}_u(X; Y).

2. La S\mathfrak{S}-convergence

Définition 2

Soient XX un ensemble, YY un espace uniforme, S\mathfrak{S} un ensemble de parties de XX. On appelle structure uniforme de la convergence uniforme dans les ensembles de S\mathfrak{S}, ou simplement structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence, la structure uniforme la moins fine sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) rendant uniformément continues les applications de restriction u↦u∣Au \mapsto u|A de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) dans les espaces uniformes Fu(A;Y)\mathscr{F}_u(A; Y), où AA parcourt S\mathfrak{S}. On note FS(X;Y)\mathscr{F}_{\mathfrak{S}}(X; Y) l’espace uniforme obtenu en munissant F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) de la structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence.

La topologie déduite de la structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence s’appelle la topologie de la S\mathfrak{S}-convergence ; c’est la moins fine rendant continues les applications u↦u∣Au \mapsto u|A de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) (pour A∈SA \in \mathfrak{S}) dans les espaces Fu(A;Y)\mathscr{F}_u(A; Y) (II, p. 8, corollaire).

Pour qu’un filtre Φ\Phi sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) converge vers u0u_0 pour la topologie de la S\mathfrak{S}-convergence, il faut et il suffit que pour tout A∈SA \in \mathfrak{S}, u∣Au|A converge uniformément vers u0∣Au_0|A suivant le filtre Φ\Phi (I, p. 51, prop. 10) ; aussi dit-on que Φ\Phi converge uniformément vers u0u_0 dans les ensembles de S\mathfrak{S}.

De même, pour qu’une base de filtre Φ\Phi sur FS(X;Y)\mathscr{F}_{\mathfrak{S}}(X; Y) soit une base de filtre de Cauchy, il faut et il suffit que, pour tout A∈SA \in \mathfrak{S}, l’image de Φ\Phi par l’application u↦u∣Au \mapsto u|A soit une base de filtre de Cauchy dans Fu(A;Y)\mathscr{F}_u(A; Y) (II, p. 13, prop. 4).

Soit ff une application d’un espace topologique (resp. d’un espace uniforme) ZZ dans FS(X;Y)\mathscr{F}_{\mathfrak{S}}(X; Y). Pour que ff soit continue (resp. uniformément continue), il faut et il suffit que, pour tout A∈SA \in \mathfrak{S}, l’application z↦f(z)∣Az \mapsto f(z)|A de ZZ dans Fu(A;Y)\mathscr{F}_u(A; Y) soit continue (resp. uniformément continue) (I, p. 12, prop. 4 et II, p. 8, prop. 4).

Enfin, soit MM une partie de FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y); pour que MM soit précompacte il faut et il suffit que, pour tout A∈SA \in \mathfrak{S}, l’ensemble des restrictions u∣Au \mid A pour u∈Mu \in M soit une partie précompacte de Fu(A;Y)\mathscr{F}_u(A; Y) (II, p. 31, prop. 3).

Remarque 1

La définition générale des entourages d’une structure uniforme initiale (II, p. 8, prop. 4) montre qu’on obtient un système fondamental d’entourages de FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) de la façon suivante: pour tout A∈SA \in \mathfrak{S} et tout entourage VV d’un système fondamental B\mathfrak{B} d’entourages de YY, soit W(A,V)W(A, V) l’ensemble des couples (u,v)(u, v) d’applications de XX dans YY tels que (u(x),v(x))∈V(u(x), v(x)) \in V pour tout x∈Ax \in A; lorsque AA parcourt S\mathfrak{S} et que VV parcourt B\mathfrak{B}, les intersections finies des W(A,V)W(A, V) forment un système fondamental d’entourages de FS(X,Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X, Y).

Cette description montre aussitôt que, si S,S′\mathfrak{S}, \mathfrak{S}' sont deux ensembles de parties de XX telles que S⊂S′\mathfrak{S} \subset \mathfrak{S}', la structure uniforme de la S′\mathfrak{S}'-convergence est plus fine que celle de la S\mathfrak{S}-convergence.

Remarque 2

Toutefois, on ne change pas la structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence en remplaçant S\mathfrak{S} par l’ensemble S′\mathfrak{S}' des parties de XX dont chacune est contenue dans la réunion d’un nombre fini d’ensembles appartenant à S\mathfrak{S}. Dans l’étude de la S\mathfrak{S}-convergence, on peut donc toujours se limiter au cas où l’ensemble S\mathfrak{S} satisfait aux deux conditions suivantes:

(FI′)(F'_I) Toute partie d’un ensemble de S\mathfrak{S} appartient à S\mathfrak{S}. (FI′I)(F'_II) Toute réunion finie d’ensembles de S\mathfrak{S} appartient à S\mathfrak{S}.

Lorsque (FI′I)(F'_II) est vérifiée, on obtient un système fondamental d’entourages de FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) en prenant tous les ensembles W(A,V)W(A, V), AA parcourant S\mathfrak{S} et VV un système fondamental d’entourages de YY.

Remarque 3

La structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence est l’image réciproque, par l’application u↦(u∣A)A∈Su \mapsto (u \mid A)_{A \in \mathfrak{S}} de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) dans ∏A∈SFu(A;Y)\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{F}_u(A; Y), de la structure uniforme de cet espace produit (II, p. 11, prop. 8). Lorsque S\mathfrak{S} est un recouvrement de XX, cette application est injective, et FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) est donc isomorphe au sous-espace uniforme de ∏A∈SFu(A;Y)\prod_{A \in \mathfrak{S}} \mathscr{F}_u(A; Y), image de cette application.

Proposition 1

Si YY est séparé et si S\mathfrak{S} est un recouvrement de XX, l’espace FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) est séparé.

En effet, soient u,vu, v deux éléments de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) tels que (u,v)∈W(A,V)(u, v) \in W(A, V) pour tout entourage VV de FF et tout A∈SA \in \mathfrak{S}; comme YY est séparé, on en déduit d’abord que uu et vv coïncident dans chaque ensemble A∈SA \in \mathfrak{S}, et comme S\mathfrak{S} est un recouvrement de XX, u=vu = v.

Remarque 4

Soit HH une partie de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y); par abus de langage, on appelle structure uniforme (resp. topologie) de la S\mathfrak{S}-convergence sur l’ensemble HH, la structure uniforme (resp. la topologie) induite sur HH par la structure uniforme (resp. la topologie) de la S\mathfrak{S}-convergence sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y).

Remarque 5

Si λ↦uλ\lambda \mapsto u_\lambda est une application, dans FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y), d’un ensemble LL filtré par un filtre S\mathfrak{S}, et si cette application admet une limite suivant S\mathfrak{S}, on dit encore que, suivant le filtre S\mathfrak{S}, les applications uλu_\lambda de XX dans YY convergent uniformément vers vv (ou que la famille (uλ)(u_\lambda) est uniformément convergente vers vv) dans tout ensemble de S\mathfrak{S}; on omet la mention du filtre S\mathfrak{S} lorsque L=NL = \mathbf{N} et que S\mathfrak{S} est le filtre de Fréchet.

Plus particulièrement, supposons définie dans YY une loi de composition commutative et associative, notée additivement. Pour toute suite (un)(u_n) d’applications de XX dans YY, désignons par vnv_n l’application x↦∑k=0nuk(x)x \mapsto \sum_{k=0}^n u_k(x) (n∈Nn \in \mathbf{N}); on dira que la série de terme général unu_n est uniformément convergente dans tout ensemble de S\mathfrak{S} si la suite (vn)(v_n) est uniformément convergente dans tout ensemble de S\mathfrak{S}. On définit de même une famille uniformément sommable (uλ)λ∈L(u_\lambda)_{\lambda \in L} d’applications de XX dans YY, en considérant les applications x↦∑λ∈Juλ(x)x \mapsto \sum_{\lambda \in J} u_\lambda(x) pour toutes les parties finies JJ de LL, et la limite de ces applications dans FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) suivant l’ensemble ordonné filtrant des parties finies de LL (III, p. 37).

Remarque 6

Les déf. 1 et 2 (X, p. 2) entraînent aussitôt que pour tout x∈⋃A∈SAx \in \bigcup_{A \in \mathfrak{S}} A, l’application u↦u(x)u \mapsto u(x) de FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) dans YY est uniformément continue. Il en résulte en particulier que, si on désigne par H‾\overline{H} l’adhérence dans FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) d’une partie HH de cet espace, on a, pour tout x∈⋃A∈SAx \in \bigcup_{A \in \mathfrak{S}} A, H‾(x)⊂H(x)‾\overline{H}(x) \subset \overline{H(x)} (I, p. 9, th. 1).

3. Exemples de S\mathfrak{S}-convergence

I. Convergence uniforme dans une partie de XX. — Soient AA une partie de XX, S={A}\mathfrak{S} = \{A\}. La structure uniforme (resp. la topologie) de la S\mathfrak{S}-convergence s’appelle aussi alors la structure uniforme (resp. la topologie) de la convergence uniforme dans AA; si un filtre Φ\Phi sur FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) converge vers u0u_0, on dit qu’il converge vers u0u_0 uniformément dans AA. Lorsque A=XA = X, on retrouve la structure de la convergence uniforme définie dans XX, p. 2.

II. Convergence simple dans une partie de XX. — Soit AA une partie de XX, et prenons pour S\mathfrak{S} l’ensemble des parties de XX qui se réduisent à un seul point de AA (ou, ce qui revient au même en vertu de XX, p. 3, Remarque 2, l’ensemble des parties finies de AA). On dit alors que la structure uniforme (resp. la topologie) de la S\mathfrak{S}-convergence est la structure uniforme (resp. la topologie) de la convergence simple dans AA; si un filtre Φ\Phi sur FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) converge vers u0u_0, on dit qu’il converge simplement vers u0u_0 dans AA; il revient au même de dire que, pour tout x∈Ax \in A, u0(x)u_0(x) est limite de u(x)u(x) suivant le filtre Φ\Phi.

En particulier, lorsque A=XA = X, la structure uniforme (resp. la topologie) de la convergence simple dans XX est aussi appelée structure uniforme (resp. topologie) de la convergence simple et l’espace uniforme obtenu en munissant F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) de cette structure se note Fs(X;Y)\mathscr{F}_s(X; Y). On notera que la topologie de la convergence simple n’est autre que la topologie produit sur YXY^X; elle ne dépend donc que de la topologie de YY et non de sa structure uniforme, contrairement à ce qui a lieu en général.

III. Convergence compacte. — Supposons que XX soit un espace topologique, et prenons pour S\mathfrak{S} l’ensemble des parties compactes de XX. La structure uniforme (resp. la topologie) de la S\mathfrak{S}-convergence est alors appelée structure uniforme (resp. topologie) de la convergence compacte; l’espace uniforme obtenu en munissant F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) de cette structure se note Fc(X;Y)\mathscr{F}_c(X; Y). La structure de la convergence compacte est moins fine que celle de la convergence uniforme, et lui est identique si XX est compact; elle est plus fine que la structure de la convergence simple, et lui est identique si XX est discret.

Lorsque XX est un espace uniforme, on définit de même sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) la structure uniforme de la convergence précompacte en prenant pour S\mathfrak{S} l’ensemble des parties précompactes de XX. De même, si XX est un espace métrique, on peut prendre pour S\mathfrak{S} l’ensemble des parties bornées de XX; la structure de la S\mathfrak{S}-convergence prend alors le nom de structure uniforme de la convergence bornée.

4. Propriétés des espaces FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y)

Proposition 2

Soient X1,X2X_1, X_2 deux ensembles, YY un espace uniforme, Si\mathfrak{S}_i un ensemble de parties de XiX_i (i=1,2i = 1, 2), S1×S2\mathfrak{S}_1 \times \mathfrak{S}_2 l’ensemble des parties de la forme A1×A2A_1 \times A_2 de X1×X2X_1 \times X_2, avec Ai∈Si,i=1,2A_i \in \mathfrak{S}_i, i = 1, 2. Alors la bijection canonique.

F(X1×X2;Y)→F(X1;F(X2,Y)) \mathscr{F}(X_1 \times X_2; Y) \to \mathscr{F}(X_1; \mathscr{F}(X_2, Y))

(E, II, p. 31) est un isomorphisme de l’espace uniforme FS1×S2(X1×X2;Y)\mathscr{F}_{\mathfrak{S}_1 \times \mathfrak{S}_2}(X_1 \times X_2; Y) sur l’espace uniforme FS1(X1;FS2(X2;Y))\mathscr{F}_{\mathfrak{S}_1}(X_1; \mathscr{F}_{\mathfrak{S}_2}(X_2; Y)).

En effet, soient VV un entourage de YY, AiA_i un élément de Si\mathfrak{S}_i (i=1,2i = 1, 2); il résulte aussitôt des définitions que W(A1×A2,V)W(A_1 \times A_2, V) s’identifie à W(A1,W(A2,V))W(A_1, W(A_2, V)) par la bijection canonique, d’où la proposition.

Proposition 3

a) Soient XX un ensemble, S\mathfrak{S} un ensemble de parties de XX, Y,Y′Y, Y' deux espaces uniformes, f:Y→Y′f : Y \to Y' une application uniformément continue. Alors l’application u↦f∘uu \mapsto f \circ u de FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) dans FS(X;Y′)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y') est uniformément continue.

b) Soient X,X′X, X' deux ensembles, S\mathfrak{S} (resp. S′\mathfrak{S}') un ensemble de parties de XX (resp. X′X'), YY un espace uniforme, g:X′→Xg : X' \to X une application telle que, pour tout A′∈S′A' \in \mathfrak{S}', g(A′)g(A') soit contenu dans une réunion finie d’ensembles de S\mathfrak{S}. Alors l’application u↦u∘gu \mapsto u \circ g de FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) dans FS′(X′;Y)\mathscr{F}_{\mathfrak{S}'}(X'; Y) est uniformément continue.

Proposition 4

Soient X,YX, Y deux ensembles, (Xλ)λ∈L(X_\lambda)_{\lambda \in L} une famille d’ensembles, (Yμ)μ∈M(Y_\mu)_{\mu \in M} une famille d’espaces uniformes. Pour tout λ∈L\lambda \in L, soit Sλ\mathfrak{S}_\lambda un ensemble de parties de XλX_\lambda, soit gλg_\lambda une application de XλX_\lambda dans XX, et soit S\mathfrak{S} l’ensemble de parties de XX, réunion des gλ(Sλ)g_\lambda(\mathfrak{S}_\lambda). Pour tout μ∈M\mu \in M, soit fμf_\mu une application de YY dans YμY_\mu; on munit YY de la structure uniforme la moins fine rendant uniformément continues les fμf_\mu. Alors la structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence sur F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) est la moins fine rendant uniformément continues les applications u↦fμ∘u∘gλu \mapsto f_\mu \circ u \circ g_\lambda de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) dans les FSλ(Xλ;Yμ)\mathscr{F}_{\mathfrak{S}_\lambda}(X_\lambda; Y_\mu).

Ces propositions résultent immédiatement de la description d’un système fondamental d’entourages pour la structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence, donnée dans X, p. 3, Remarque 1; nous laissons les détails des démonstrations au lecteur.

Corollaire 1

Soient X un ensemble, (Yi)i∈I(Y_i)_{i \in I} une famille d’espaces uniformes, S\mathscr{S} un ensemble de parties de X. Si on munit ∏i∈IYi\prod_{i \in I} Y_i de la structure uniforme produit, la bijection canonique de l’espace uniforme FS(X,∏i∈IYi)\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, \prod_{i \in I} Y_i) sur l’espace uniforme produit ∏i∈IFS(X;Yi)\prod_{i \in I} \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y_i) (E, II, p. 39) est un isomorphisme.

Cela résulte de la prop. 4.

Corollaire 2

Soient X un ensemble, S\mathscr{S} un ensemble de parties de X et G un groupe topologique. Supposons que les structures uniformes droite et gauche (III, p. 19) de G soient identiques. Alors la topologie de la S\mathscr{S}-convergence sur F(X,G)\mathscr{F}(X, G) est compatible avec la structure de groupe de F(X,G)\mathscr{F}(X, G) déduite de l’identification à GXG^X (A, I, p. 43).

Soient μ:G×G→G\mu : G \times G \to G et μ~:FS(X,G)×FS(X,G)→FS(X,G)\tilde{\mu} : \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) \times \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) \to \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) les applications définies respectivement par μ(x,y)=xy−1\mu(x, y) = xy^{-1} et μ~(u,v)=u⋅v−1\tilde{\mu}(u, v) = u \cdot v^{-1}. L’application μ\mu est uniformément continue; soient en effet x,x′,y,y′∈Gx, x', y, y' \in G et V un voisinage de l’élément neutre ee de G; il existe un voisinage W de ee tel que, si z,z′∈W2z, z' \in W^2, alors z′z∈Vz'z \in V. Si x′−1x∈W{x'}^{-1}x \in W et y−1y′∈Wy^{-1}y' \in W, alors x′−1xy−1y′∈W2{x'}^{-1}xy^{-1}y' \in W^2, donc μ(x′,y′)−1μ(x,y)∈V\mu(x', y')^{-1}\mu(x, y) \in V. L’application μ~\tilde{\mu} est la composée de deux applications uniformément continues: la bijection canonique

FS(X,G)×FS(X,G)→FS(X,G×G) \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) \times \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) \to \mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G \times G)

(cor. 1) et l’application w↦μ∘ww \mapsto \mu \circ w de FS(X,G×G)\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G \times G) dans FS(X,G)\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X, G) (prop. 4). D’où la continuité de μ~\tilde{\mu} et le corollaire d’après (III, p. 1).

Remarque 1

L’hypothèse du corollaire est satisfaite si G est commutatif ou compact.

Remarque 2

Pour tout partie A∈SA \in \mathscr{S} et tout voisinage V de ee dans G, notons L0(A,V)L_0(A, V) l’ensemble des u∈F(X,G)u \in \mathscr{F}(X, G) tels que u(A)⊂Vu(A) \subset V. Sous l’hypothèse du cor. 2, il résulte des définitions que, pour tout u0∈F(X,G)u_0 \in \mathscr{F}(X, G), les ensembles L0(A,V)⋅u0L_0(A, V) \cdot u_0 (resp. u0⋅L0(A,V)u_0 \cdot L_0(A, V)) engendrent le filtre des voisinages de u0u_0 pour la topologie de la S\mathscr{S}-convergence. En particulier, la structure uniforme de la S\mathscr{S}-convergence et les structures uniformes droite et gauche du groupe topologique F(X,G)\mathscr{F}(X, G) sont identiques.

5. Parties complètes de FS(X;Y)\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y)

Proposition 5

Soient X un ensemble, Y un espace uniforme, S\mathscr{S} un ensemble de parties de X. Pour qu’un filtre Φ\Phi sur FS(X;Y)\mathscr{F}_{\mathscr{S}}(X; Y) converge vers u0u_0, il faut et il suffit que Φ\Phi soit un filtre de Cauchy pour la structure uniforme de la S\mathscr{S}-convergence, et qu’il converge simplement vers u0u_0 dans B=⋃A∈SAB = \bigcup_{A \in \mathscr{S}} A.

Comme la structure de la convergence simple dans B est moins fine que celle de la S\mathscr{S}-convergence, tout revient à démontrer que pour tout A∈SA \in \mathscr{S} et tout entourage fermé V de Y, W(A,V)W(A, V) est fermé pour la topologie de la convergence simple dans B (II, p. 16, prop. 7). Or, W(A,V)W(A, V) est l’intersection des images réciproques de V par les applications (u,v)↦(u(x),v(x))(u, v) \mapsto (u(x), v(x)) (xx parcourant A), et ces dernières sont continues pour la topologie de la convergence simple (X, p. 4, Remarque 6), d’où la conclusion.

Corollaire 1

Pour qu’un sous-espace H de FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) soit complet, il faut et il suffit que, pour tout filtre de Cauchy Φ\Phi sur H, il existe u0∈Hu_0 \in H tel que Φ\Phi converge simplement vers u0u_0 dans B=⋃A∈SAB = \bigcup_{A \in \mathfrak{S}} A.

Cela résulte aussitôt de la prop. 5.

Corollaire 2

Soient S1,S2\mathfrak{S}_1, \mathfrak{S}_2 deux ensembles de parties de X ayant même réunion et tels que S1⊂S2\mathfrak{S}_1 \subset \mathfrak{S}_2, et soit H une partie de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y); si H est complet pour la S1\mathfrak{S}_1-convergence, il est complet pour la S2\mathfrak{S}_2-convergence.

En effet, tout filtre de Cauchy pour la S2\mathfrak{S}_2-convergence est un filtre de Cauchy pour la S1\mathfrak{S}_1-convergence, et on peut appliquer le cor. 1.

Corollaire 3

Soit H une partie de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) telle que, pour tout x∈B=⋃A∈SAx \in B = \bigcup_{A \in \mathfrak{S}} A, l’adhérence de H(x)H(x) dans Y soit un sous-espace complet. Alors l’adhérence H‾\overline{H} de H dans FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) est un sous-espace complet.

Soit Φ\Phi un filtre de Cauchy sur H‾\overline{H}; définissons une application vv de X dans Y de la façon suivante. Si x∈Bx \in B, Φ(x)\Phi(x) est un filtre de Cauchy sur H(x)‾\overline{H(x)} (X, p. 4, Remarque 6), donc a par hypothèse au moins un point limite; nous prendrons pour v(x)v(x) un de ces points limites; si x∉Bx \notin B, nous prendrons pour v(x)v(x) un point quelconque de Y. Avec cette définition, il est clair que Φ\Phi converge simplement vers vv dans B, et vv est donc limite de Φ\Phi dans FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) en vertu de la prop. 5.

En particulier, si Y est complet, l’hypothèse du cor. 3 de la prop. 5 est vérifiée pour tout H⊂F(X;Y)H \subset \mathscr{F}(X; Y), d’où:

Théorème 1

Soient X un ensemble, S\mathfrak{S} un ensemble de parties de X, Y un espace uniforme complet; alors l’espace uniforme FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) est complet.

6. La S\mathfrak{S}-convergence dans les espaces d’applications continues

Soient X, Y deux espaces topologiques; on désigne par C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) l’ensemble des applications continues de X dans Y. Si S\mathfrak{S} est un ensemble de parties de X, et si Y est un espace uniforme, on désigne par CS(X;Y)\mathscr{C}_\mathfrak{S}(X; Y) l’ensemble C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) muni de la structure uniforme de la S\mathfrak{S}-convergence. En particulier, Cs(X;Y),Cc(X;Y),Cu(X;Y)\mathscr{C}_s(X; Y), \mathscr{C}_c(X; Y), \mathscr{C}_u(X; Y) désignent l’ensemble C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) muni respectivement de la structure uniforme de la convergence simple, de la convergence compacte et de la convergence uniforme.

Proposition 6

Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme, S\mathfrak{S} un ensemble de parties de X. Pour tout A∈SA \in \mathfrak{S} et tout entourage fermé VV de YY, les traces sur C(X;Y)×C(X;Y)C(X; Y) \times C(X; Y) de W(A,V)W(A, V) et de W(A‾,V)W(\overline{A}, V) sont les mêmes.

En effet, si uu et vv sont des applications continues de XX dans YY, l’application x↦(u(x),v(x))x \mapsto (u(x), v(x)) de XX dans Y×YY \times Y est continue, et l’hypothèse que (u(x),v(x))∈V(u(x), v(x)) \in V pour x∈Ax \in A entraîne donc (u(x),v(x))∈∇=V(u(x), v(x)) \in \nabla = V pour x∈A‾x \in \overline{A} (I, p. 9, th. 1).

Si S‾\overline{\mathfrak{S}} désigne l’ensemble des adhérences dans XX des ensembles de S\mathfrak{S}, la prop. 6 montre que, sur C(X;Y)C(X; Y), les structures de la S\mathfrak{S}-convergence et de la S‾\overline{\mathfrak{S}}-convergence sont les mêmes.

Corollaire

Soit BB une partie partout dense de XX; sur C(X;Y)C(X; Y), la structure de la convergence uniforme est identique à la structure de la convergence uniforme dans BB.

Proposition 7

Soient XX un espace topologique, S\mathfrak{S} un ensemble de parties de XX, YY un espace uniforme. Si YY est séparé et si la réunion BB des ensembles de S\mathfrak{S} est dense dans XX, alors CS(X;Y)C_{\mathfrak{S}}(X; Y) est séparé.

En effet, si uu et vv appartiennent à tous les W(A,V)W(A, V) (A∈SA \in \mathfrak{S}, VV entourage de YY), l’hypothèse que YY est séparé entraîne u(x)=v(x)u(x) = v(x) pour tout x∈Bx \in B; si uu et vv sont continues, on en conclut u=vu = v par le principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1).

En particulier, sur C(X;Y)C(X; Y), la topologie de la convergence simple dans un ensemble dense dans XX est séparée si YY est séparé.

Proposition 8

Soient XX un ensemble, F\mathscr{F} un filtre sur XX, YY un espace uniforme. L’ensemble HH des applications u:X→Yu : X \to Y telles que u(F)u(\mathscr{F}) soit une base de filtre de Cauchy sur YY est fermé dans Fu(X;Y)F_u(X; Y).

En effet, soit u0u_0 une application de XX dans YY adhérente à HH dans Fu(X;Y)F_u(X; Y). Pour tout entourage symétrique VV de YY, il existe une application u∈Hu \in H telle que (u0(x),u(x))∈V(u_0(x), u(x)) \in V pour tout x∈Xx \in X; d’autre part, il existe par hypothèse un ensemble M∈FM \in \mathscr{F} tel que pour tout couple d’éléments x,x′x, x' de MM, on ait (u(x),u(x′))∈V(u(x), u(x')) \in V. Comme on a (u0(x),u(x))∈V(u_0(x), u(x)) \in V et (u0(x′),u(x′))∈V(u_0(x'), u(x')) \in V, on en déduit que (u0(x),u0(x′))∈V‾(u_0(x), u_0(x')) \in \overline{V} pour tout couple d’éléments x,x′x, x' de MM, d’où la proposition.

Corollaire 1

Soient XX un espace topologique, YY un espace uniforme. L’ensemble des applications de XX dans YY, continues en un point x0∈Xx_0 \in X, est fermé dans Fu(X;Y)F_u(X; Y).

En effet, si B\mathscr{B} est le filtre des voisinages de x0x_0 dans XX, u(x0)u(x_0) est un point adhérent à u(B)u(\mathscr{B}); donc, pour que uu soit continue au point x0x_0, il faut et il suffit que u(B)u(\mathscr{B}) soit une base de filtre de Cauchy sur YY (II, p. 14, cor. 2).

Corollaire 2

Soient X,LX, L deux ensembles filtrés par des filtres F,S\mathscr{F}, \mathfrak{S} respectivement, et soit YY un espace uniforme complet. Pour tout λ∈L\lambda \in L, soit uλu_\lambda une application de XX dans YY. On suppose que : 1° suivant le filtre S\mathfrak{S}, la famille (uλ)λ∈L(u_\lambda)_{\lambda \in L} converge uniformément dans XX vers une application vv de XX dans YY; 2° pour tout λ∈L\lambda \in L, uλu_\lambda a une limite yλy_\lambda suivant le filtre F\mathscr{F}. Dans ces conditions, vv a une limite suivant le filtre F\mathscr{F}, et toute limite de vv suivant F\mathscr{F} est limite de la famille (yλ)λ∈L(y_\lambda)_{\lambda \in L} suivant S\mathfrak{S}.

En effet, vv est adhérente à l’ensemble des uλu_\lambda dans Fu(X;Y)\mathscr{F}_u(X; Y), donc v(F)v(\mathscr{F}) est une base filtre de Cauchy sur YY en vertu de la prop. 8, ce qui prouve que vv admet une limite yy suivant F\mathscr{F} puisque YY est complet. Soit X′=X∪{ω}X' = X \cup \{\omega\} l’espace topologique associé au filtre F\mathscr{F} (I, p. 40) et prolongeons uλu_\lambda (resp. vv) en une application uˉλ\bar{u}_\lambda (resp. vˉ\bar{v}) de X′X' dans YY en posant uˉλ(ω)=yλ\bar{u}_\lambda(\omega) = y_\lambda (resp. vˉ(ω)=y\bar{v}(\omega) = y). Alors les vˉλ\bar{v}_\lambda et vˉ\bar{v} sont continues dans X′X', et uˉλ\bar{u}_\lambda converge uniformément dans XX vers vˉ\bar{v} suivant S\mathfrak{S}; comme XX est dense dans X′X', il résulte de X, p. 8, corollaire, que uˉλ\bar{u}_\lambda converge uniformément dans X′X' vers vˉ\bar{v}, et en particulier que y=lim⁡Syλy = \lim_{\mathfrak{S}} y_\lambda.

Théorème 2

Soient XX un espace topologique, YY un espace uniforme. Alors l’ensemble C(X;Y)C(X; Y) des applications continues de XX dans YY est une partie fermée de F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) muni de la topologie de la convergence uniforme.

En effet, pour tout x∈Xx \in X, l’ensemble des applications de XX dans YY qui sont continues au point xx est fermé dans Fu(X;Y)\mathscr{F}_u(X; Y) (X, p. 8, cor. 1), donc l’intersection C(X;Y)C(X; Y) de ces ensembles est aussi fermé.

On exprime encore ce résultat en disant que toute limite uniforme de fonctions continues est continue.

Corollaire 1

Si YY est un espace uniforme complet, Cu(X;Y)C_u(X; Y) est complet.

En effet, en vertu du th. 2, Cu(X;Y)C_u(X; Y) est un sous-espace uniforme fermé de l’espace uniforme Fu(X;Y)\mathscr{F}_u(X; Y), qui est complet en vertu de X, p. 7, th. 1.

Corollaire 2

Soient XX un espace topologique, S\mathfrak{S} un ensemble de parties de XX, YY un espace uniforme ; on désigne par C~S(X;Y)\tilde{C}_\mathfrak{S}(X; Y) l’ensemble des applications de XX dans YY dont la restriction à tout ensemble de S\mathfrak{S} est continue. Alors C~S(X;Y)\tilde{C}_\mathfrak{S}(X; Y) est fermé dans l’espace uniforme FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) et est un sous-espace uniforme complet lorsque YY est complet.

En effet, supposons que uu soit adhérente à C~S(X;Y)\tilde{C}_\mathfrak{S}(X; Y) dans FS(X;Y)\mathscr{F}_\mathfrak{S}(X; Y) alors (X, p. 2), pour tout A∈SA \in \mathfrak{S}, u∣Au|_A est adhérente à C(A;Y)C(A; Y) dans Fu(A;Y)\mathscr{F}_u(A; Y), donc est continue en vertu du th. 2.

Corollaire 3

Soient XX un espace topologique métrisable ou localement compact, YY un espace uniforme. Alors C(X;Y)C(X; Y) est fermé dans l’espace Fc(X;Y)\mathscr{F}_c(X; Y); si en outre YY est complet, l’espace uniforme Cc(X;Y)C_c(X; Y) est complet.

En vertu du cor. 2, tout revient à voir que, si on prend pour S\mathfrak{S} l’ensemble des parties compactes de XX, on a C~S(X;Y)=C(X;Y)\tilde{C}_\mathfrak{S}(X; Y) = C(X; Y) dans les deux cas envisagés. C’est évident si XX est localement compact ; si XX est métrisable, l’hypothèse que la restriction de u:X→Yu : X \to Y à toute partie compacte de XX est continue entraîne en particulier que pour tout x∈Xx \in X et toute suite (zn)(z_n) de points de XX qui converge vers xx, on a u(x)=lim⁡n→∞u(zn)u(x) = \lim_{n \to \infty} u(z_n); donc uu est continue en xx (IX, p. 17, prop. 10).

On notera que le raisonnement précédent s’applique généralement lorsque tout point de X possède un système fondamental dénombrable de voisinages.

Remarque 1

En général, l’ensemble C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) n’est pas fermé dans F(X;Y)\mathscr{F}(X; Y) muni de la topologie de la convergence simple; en d’autres termes, une limite simple de fonctions continues n’est pas nécessairement continue (X, p. 42, exerc. 5a)).

Remarque 2

Un filtre sur C(X;Y)\mathscr{C}(X; Y) peut converger simplement vers une fonction continue sans converger uniformément vers cette fonction.

Par exemple, dans l’intervalle I=[0,1]I = [0, 1], soit unu_n la fonction numérique égale à 0 pour x=0x = 0 et pour 2/n≤x≤12/n \leq x \leq 1, égale à 1 pour x=1/nx = 1/n, et linéaire dans chacun des intervalles [0,1/n][0, 1/n] et [1/n,2/n][1/n, 2/n]; la suite (un)(u_n) converge simplement vers 0, mais ne converge pas uniformément vers 0 dans I (cf. X, p. 42, exerc. 6).

Remarque 3

Si X est un espace uniforme, un raisonnement tout à fait analogue à celui de X, p. 8, prop. 8 montre que l’ensemble des applications uniformément continues de X dans Y est fermé dans Fu(X;Y)\mathscr{F}_u(X; Y).

Remarque 4

Supposons que l’espace uniforme Y soit muni d’une loi de composition associative et commutative, notée additivement, et telle que l’application (y,y′)↦y+y′(y, y') \mapsto y + y' soit continue dans Y×YY \times Y. Alors, si (un)(u_n) est une suite d’applications continues de X dans Y telle que la série de terme générale unu_n soit uniformément convergente dans X, la somme de cette série est continue dans X.

Nous laissons au lecteur le soin d’énoncer le résultat correspondant pour les familles uniformément sommables (X, p. 3, Remarque 5) d’applications continues.

Proposition 9

Soient X un espace topologique, Y un espace uniforme. Alors l’application (f,x)↦f(x)(f, x) \mapsto f(x) de Cu(X;Y)×XC_u(X; Y) \times X dans Y est continue.

En effet, soient f0f_0 une application continue de X dans Y, x0x_0 un point de X, V un entourage symétrique de Y. L’ensemble T des applications continues f:X→Yf : X \to Y telles que (f(x),f0(x))∈V(f(x), f_0(x)) \in V pour tout x∈Xx \in X est un voisinage de f0f_0 dans Cu(X;Y)\mathscr{C}_u(X; Y). D’autre part, comme f0f_0 est continue, il existe un voisinage U de x0x_0 dans X tel que (f0(x),f0(x0))∈V(f_0(x), f_0(x_0)) \in V pour tout x∈Ux \in U. On a par suite (f(x),f0(x0))∈V‾2(f(x), f_0(x_0)) \in \overline{V}^2 pour (f,x)∈T×U(f, x) \in T \times U, ce qui démontre la proposition.

Exercices

See the exercises for § 1.

Transcribed from the printed volume. Not translated.