Bài tập 19, § 8

Cho $X$ là một không gian Hausdorff không chính quy (xem Bài tập 20), và cho $a$ là một điểm của $X$ sao cho tồn tại một lân cận $U$ của $a$ không chứa bất kỳ lân cận đóng nào của $a$. Cho $\mathfrak{F}$ là lọc lân cận của $a$, và cho $Y = \mathfrak{F} \cup \{\omega\}$ là không gian tôpô liên kết với lọc tiết diện của $\mathfrak{F}$. Cho $Z$ là tập hợp $Y \times X$ với tôpô sau đây: đối với mọi điểm $(y, z) \neq (\omega, a)$, các lân cận của $(y, z)$ giống như đối với tôpô tích, và các lân cận của $(\omega, a)$ là các tập hợp chứa các tập hợp có dạng

trong đó $V$ là một lân cận của $a$ trong $X$. Cho $A$ là tập con của $Z$ là hợp của các tập hợp $\{V\} \times V$ với $V \in \mathfrak{F}$. Cho $f$ là ánh xạ $(V, x) \to x$ từ $A$ vào $X$. Chứng minh rằng $f$ có một giới hạn tương đối với $A$ tại mỗi điểm của $\overline{A}$, nhưng không có ánh xạ liên tục nào từ $\overline{A}$ vào $X$ mở rộng $f$.