Exercice 19, § 8

Soient $X$ un espace séparé non régulier (cf. exerc. 20), $a$ un point de $X$ tel qu’il existe un voisinage $U$ de $a$ ne contenant aucun voisinage fermé de $a$. Soit $\mathfrak{F}$ le filtre des voisinages de $a$, et soit $Y = \mathfrak{F} \cup \{\omega\}$ l’espace topologique associé (I, p. 40) au filtre des sections de $\mathfrak{F}$. On considère l’ensemble produit $Z = Y \times X$, muni de la topologie suivante: pour $(y, x) \neq (\omega, a)$, les voisinages de $(y, x)$ sont les mêmes que pour la topologie produit, et les voisinages de $(\omega, a)$ sont les ensembles contenant un ensemble de la forme (\{\omega\} \times V) \cup (S \times X), où V est un voisinage de a dans X et S une section (I, p. 39) de \mathfrak{F}. Soit A la partie de Z réunion des ensembles \{V\} \times V, où V parcourt \mathfrak{F}. Soit f l’application (V, x) \mapsto x de A dans X. Montrer qu’en tout point de \overline{A}, f a une limite relativement à A, mais qu’il n’existe pas d’application continue de \overline{A} dans X prolongeant f.