§ 8. Espaces séparés et espaces réguliers

1. Espaces séparés

Proposition 1

Soit X un espace topologique. Les propositions suivantes sont équivalentes:

Cite 1 · Cité par 13

Cite I § 4. Produit d’espaces topologiques

Cité par Corollaire 4, I § 10, Corollaire 2, I § 10, Corollaire 3, I § 10, Définition 1, Exemple, Corollaire, I § 9, Corollaire, I § 9, Proposition 1, I § 9, Proposition 4, I § 9, Proposition 3, II § 1, Proposition 2, III § 1, Remarque, III § 6, Définition 4, IX § 1

(H) Quels que soient les points distincts x, y de X, il existe un voisinage de x et un voisinage de y sans point commun.

(Hi) L’intersection des voisinages fermés d’un point quelconque de X est l’ensemble réduit à ce point.

(Hii) La diagonale Δ de l’espace produit X × X est un ensemble fermé.

(Hiii) Pour tout ensemble I, la diagonale Δ de l’espace produit Y = XI est fermée dans Y.

(Hiv) Un filtre sur X ne peut avoir plus d’un point limite.

(Hv) Si un filtre F sur X admet un point limite x, x est le seul point adhérent à F.

Nous démontrerons les implications

H \Rightarrow Hi \Rightarrow Hv \Rightarrow Hiv \Rightarrow H

H \Rightarrow Hiii \Rightarrow Hii \Rightarrow H.

(H) ⇒ (Hi): En effet, si x ≠ y, il y a alors un voisinage ouvert U de x et un voisinage ouvert V de y tels que U ∩ V = ∅ ; par suite y ∉ \overline{U}.

(Hi) ⇒ (Hv): Soit y ≠ x ; il y a un voisinage fermé V de x tel que y ∉ V, et par hypothèse il existe M ∈ F tel que M ⊂ V ; on en conclut que M ∩ CV = ∅ , et comme CV est un voisinage de y, y n’est pas adhérent à F.

(Hv) ⇒ (Hiv): C’est immédiat, puisque tout point limite d’un filtre est adhérent à ce filtre.

(Hiv) ⇒ (H): Si tout voisinage V de x et tout voisinage W de y se rencontrent, les ensembles V ∩ W forment une base de filtre, qui admet à la fois x et y comme points limites dans X. D’où la conclusion.

(H) ⇒ (Hiii): Soit x = (x_i) un point de XI n’appartenant pas à Δ. Il y a donc au moins deux indices λ, μ tels que x_λ ≠ x_μ. Soit V_λ (resp. V_μ) un voisinage de x_λ (resp. x_μ) dans X, tels que V_λ ∩ V_μ = ∅ ; alors l’ensemble

W = V_\lambda \times V_\mu \times \prod_{i \neq \lambda, \mu} X_i

(avec X_i = X pour i ≠ λ, μ) est un voisinage de x dans XI (I, p. 24) ne rencontrant pas Δ, ce qui prouve que Δ est fermé dans XI.

(Hiii) ⇒ (Hii): C’est évident.

(Hii) ⇒ (H): Si x ≠ y, le point (x, y) ∈ X × X n’appartient pas à la diagonale Δ, donc (I, p. 24) il existe un voisinage V de x et un voisinage W de y tels que (V × W) ∩ Δ = ∅ , ce qui signifie que V ∩ W = ∅ .

Définition 1

On dit qu’un espace topologique X qui vérifie les conditions de la prop. 1 est un espace séparé (ou un espace de Hausdorff); la topologie d’un tel espace est dite séparée (ou de Hausdorff).

Cite 1

Cite Proposition 1

L’axiome (H) est appelé axiome de Hausdorff.

Exemple

Tout espace discret est séparé. La droite rationnelle $\mathbf{Q}$ est séparée, car si $x, y$ sont deux nombres rationnels tels que $x < y$ , et $z$ un nombre rationnel tel que $x < z < y$ , les voisinages respectifs $]\leftarrow, z[$ et $]z, \rightarrow[$ de $x$ et $y$ ne se rencontrent pas. Un ensemble $X$ ayant au moins deux points et muni de la topologie la moins fine (I, p. 11) n’est pas un espace séparé.

Soit $f : X \to Y$ une application d’un ensemble $X$ dans un espace séparé $Y$ ; il résulte aussitôt de la prop. 1 que $f$ ne peut avoir qu’une seule limite suivant un filtre $\mathfrak{F}$ sur $X$ , et que si $f$ a une limite $y$ suivant $\mathfrak{F}$ , $y$ est la seule valeur d’adhérence de $f$ suivant $\mathfrak{F}$ .

Cite 2

Cite I § 2. Fonctions continues, Proposition 1

Proposition 2

Soient $f, g$ deux applications continues d’un espace topologique $X$ dans un espace séparé $Y$ ; alors l’ensemble des $x \in X$ tels que $f(x) = g(x)$ est fermé dans $X$ . En effet, cet ensemble est l’image réciproque de la diagonale de $Y \times Y$ par l’application $x \mapsto (f(x), g(x))$ de $X$ dans $Y \times Y$ , qui est continue (I, p. 25, prop. 1); la conclusion résulte donc de (Hii) et de I, p. 9, th. 1.

Cite 2 · Cité par 16

Cite Théorème 1, I § 2, Proposition 1, I § 4

Cité par Proposition 5, I § 10, Proposition 8, I § 11, Proposition 10, Corollaire 2, Théorème 1, Théorème 3, II § 3, Proposition 2, III § 2, Proposition 3, III § 2, Proposition 6, III § 3, Remarque 2, III § 6, Proposition 9, IX § 6, V § 4. Exponentielles et logarithmes, VII § 1. Sous-groupes et groupes quotients de $\mathbf{R}^n$, Exercice 7, § 1, Proposition 7, X § 1, Proposition 4, X § 3

Corollaire 1 (Principe de prolongement des identités)

Soient $f, g$ deux applications continues d’un espace topologique $X$ dans un espace séparé $Y$ . Si $f(x) = g(x)$ en tous les points d’une partie partout dense de $X$ , on a $f = g$ .

Cité par 10

Cité par Proposition 8, I § 11, Théorème 1, Corollaire, II § 3, Théorème 3, II § 3, Proposition 2, III § 2, Proposition 5, III § 3, Proposition 6, III § 3, Théorème 1, III § 6, V § 4. Exponentielles et logarithmes, Proposition 7, X § 1

En d’autres termes, une application continue de $X$ dans $Y$ (séparé) est entièrement déterminée par ses valeurs aux points d’une partie partout dense de $X$ .

Corollaire 2

Si $f$ est une application continue d’un espace topologique $X$ dans un espace séparé $Y$ , le graphe de $f$ est fermé dans $X \times Y$ . En effet, ce graphe est l’ensemble des points $(x, y) \in X \times Y$ tels que $f(x) = y$ , et les deux applications $(x, y) \mapsto y$ et $(x, y) \mapsto f(x)$ de $X \times Y$ dans $Y$ sont continues.

Cité par 4

Cité par Proposition 5, I § 10, Proposition 7, III § 4, Proposition 9, IX § 6, Exercice 7, § 1

Proposition 3

Dans un espace séparé $X$ , soit $(x_i)_{1 \leq i \leq n}$ une famille finie de points distincts; il existe alors pour chaque indice $i$ un voisinage $V_i$ de $x_i$ dans $X$ tel que les $V_i$ ( $1 \leq i \leq n$ ) soient deux à deux disjoints. On raisonne par récurrence sur $n$ , la proposition n’étant autre que l’axiome (H) pour $n = 2$ . Soit donc $W_i$ ( $1 \leq i \leq n - 1$ ) un voisinage de $x_i$ tel que les $W_i$ soient deux à deux disjoints. Pour $1 \leq i \leq n - 1$ , il existe d’autre part un voisinage $T_i$ de $x_i$ et un voisinage $U_i$ de $x_n$ sans point commun. En prenant $V_i = W_i \cap T_i$ pour $1 \leq i \leq n - 1$ et $V_n = \bigcap_{i=1}^{n-1} U_i$ , on répond à la question.

Corollaire

Tout espace fini séparé est discret.

Proposition 4

Dans un espace séparé, tout ensemble fini est fermé.

Cité par 1

Cité par § 8. Espaces séparés et espaces réguliers

Il suffit en effet de remarquer que tout ensemble réduit à un point est fermé en vertu de l’axiome (H^i).

Proposition 5

Si, pour tout couple de points distincts x, y d’un espace topologique X, il existe une application continue f de X dans un espace séparé X' telle que f(x) ≠ f(y), alors X est séparé.

Cité par 5

Cité par § 8. Espaces séparés et espaces réguliers, Proposition 7, Corollaire 1, Proposition 8, Remarque 1, X § 3

En effet, soient V' et W' des voisinages disjoints de f(x) et f(y) respectivement dans X'; $f^{-1}(V')$ et $f^{-1}(W')$ sont des voisinages disjoints de x et y respectivement, d’où la conclusion.

Corollaire

Toute topologie plus fine qu’une topologie séparée est séparée.

2. Sous-espaces et espaces produits d’espaces séparés

Un sous-espace A d’un espace séparé X est séparé : il suffit en effet d’appliquer la prop. 5 à l’injection canonique A → X.

Inversement :

Proposition 6

Si, dans un espace topologique X, tout point possède un voisinage fermé qui soit un sous-espace séparé de X, X est séparé.

Cite 2 · Cité par 2

Cite I § 3. Sous-espaces; espaces quotients, Exercice 7, § 8

Cité par Proposition 13, Proposition 8

En effet, soit x un point de X, et soit V un voisinage fermé de x dans X qui soit un sous-espace séparé de X. Les voisinages fermés de x relativement à V ont pour intersection {x} par hypothèse (axiome (H^i)); comme ce sont des voisinages fermés de x dans X (I, p. 18), l’intersection de tous les voisinages fermés de x dans X est a fortiori réduite à x; donc X vérifie (H^i).

On peut donner des exemples d’espaces non séparés dans lesquels tout point admet un voisinage séparé (I, p. 101, exerc. 7).

Proposition 7

Tout produit d’espaces séparés est séparé. Réciproquement, si un produit d’espaces non vides est séparé, chacun des espaces facteurs est séparé.

Cite 2 · Cité par 5

Cite Proposition 4, I § 4, Proposition 5

Cité par Corollaire 1, Corollaire 2, Proposition 8, I § 9, Théorème 3 (Tychonoff), I § 9, III § 7. Limites projectives de groupes et d’anneaux topologiques

En effet, soit X = $\prod_{i \in I} X_i$ un produit d’espaces topologiques ; pour deux points distincts x, y de X, il existe i tel que pr_i x ≠ pr_i y, et la prop. 5 montre que X est séparé si les X_i le sont. Inversement, si X est séparé et les X_i non vides, chacun des X_i est homéomorphe à un sous-espace de X (I, p. 26, prop. 4), donc est séparé.

Corollaire 1

Soient X un ensemble, $(Y_i)_{i \in I}$ une famille d’espaces topologiques séparés, et pour chaque i ∈ I, soit f_i une application de X dans Y_i. On munit X de la topologie $\mathscr{T}$ la moins fine rendant continues les f_i. Pour que X soit séparé, il faut et il suffit que pour tout couple (x, y) de points distincts de X, il existe i ∈ I tel que f_i(x) ≠ f_i(y).

Cite 3

Cite Proposition 3, I § 4, Proposition 5, Proposition 7

La condition est suffisante en vertu de la prop. 5 de I, p. 54. Inversement, pour prouver que la condition est nécessaire, on peut, en vertu de la prop. 7 de I, p. 54 et de la prop. 3 de I, p. 26, se ramener au cas où I est réduit à un seul élément, autrement dit au cas où $\mathscr{T}$ est l’image réciproque par $f : X \to Y$ d’une topologie séparée. Mais si $f(x) = f(y)$ pour deux points distincts $x, y$ de $X$ , il est clair que tout ensemble ouvert (pour $\mathscr{T}$ ) qui contient $x$ contient aussi $y$ , d’où notre assertion.

Corollaire 2

Soit $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d’espaces topologiques. Si les $X_\alpha$ sont séparés, $X = \lim_{\leftarrow} X_\alpha$ est séparé et est un sous-espace fermé de $\prod_\alpha X_\alpha$ .

Cite 2 · Cité par 3

Cite Proposition 2, Proposition 7

Cité par Proposition 8, I § 9, Corollaire, II § 3, III § 7. Limites projectives de groupes et d’anneaux topologiques

La première assertion résulte aussitôt de ce que $X$ est un sous-espace de l’espace séparé $\prod_\alpha X_\alpha$ (I, p. 54, prop. 7). D’autre part, pour $\alpha \leq \beta$ , soit $F_{\alpha\beta}$ la partie de $\prod_\alpha X_\alpha$ formée des $x$ tels que $\mathrm{pr}_\alpha x = f_{\alpha\beta}(\mathrm{pr}_\beta x)$ ; les $F_{\alpha\beta}$ sont fermés dans $\prod_\alpha X_\alpha$ (I, p. 53, prop. 2), donc aussi leur intersection $X$ .

Il est immédiat que tout espace somme d’espaces séparés (I, p. 15, Exemple III) est séparé.

3. Séparation d’un espace quotient

Cherchons des conditions pour qu’un espace quotient $X/R$ soit séparé (auquel cas on dit que la relation d’équivalence $R$ est séparée). En premier lieu, si $X/R$ est séparé, les ensembles réduits à un point dans $X/R$ sont fermés (I, p. 54, prop. 4), donc toute classe d’équivalence suivant $R$ est fermée dans $X$ . Cette condition nécessaire n’est pas suffisante; la définition des ensembles ouverts dans $X/R$ donne la condition nécessaire et suffisante suivante: pour que $X/R$ soit séparé, il faut et il suffit que deux classes d’équivalence distinctes dans $X$ soient respectivement contenues dans deux ensembles ouverts saturés sans point commun. Nous allons donner d’autres conditions plus maniables.

Proposition 8

Pour qu’un espace quotient $X/R$ soit séparé, il est nécessaire que le graphe $C$ de $R$ soit fermé dans $X \times X$ . Cette condition est suffisante lorsque la relation $R$ est ouverte.

Cite 4 · Cité par 7

Cite Théorème 1, I § 2, Proposition 10, Proposition 5, Proposition 6

Cité par Proposition 8, I § 10, Corollaire, Proposition 13, III § 2, Proposition 3, III § 4, Exercice 14, § 4, Proposition 1, VI § 3, Proposition 6, VI § 3

Soit $\varphi : X \to X/R$ l’application canonique; $C$ est l’image réciproque par $\varphi \times \varphi : X \times X \to (X/R) \times (X/R)$ de la diagonale $\Delta$ de $(X/R) \times (X/R)$ , donc la première assertion résulte de la continuité de $\varphi \times \varphi$ , de $(\mathrm{H}^{ii})$ et de I, p. 9, th.1. Si $R$ est ouverte, $(X/R) \times (X/R)$ s’identifie à l’espace quotient $(X \times X)/(R \times R)$ (I, p. 34, cor. de la prop. 8), et $\Delta$ s’identifie donc à l’image canonique dans $(X \times X)/(R \times R)$ de l’ensemble $C$ saturé pour $R \times R$ ; d’où la seconde assertion.

Lorsque $R$ n’est pas ouverte, on peut donner des exemples où $C$ est fermé et $R$ non séparée (I, p. 101, exerc. 10 et I, p. 105, exerc. 28).

Pour démontrer que $X/R$ est séparé, on peut aussi faire usage de la prop. 5 de I, p. 54 : M et N étant deux classes d’équivalence distinctes suivant R il suffira de connaître une application continue $f$ d’une partie ouverte A de X, saturée pour R et contenant M et N, dans un espace séparé $X'$ , de sorte que : 1° $f$ soit constante sur toute classe d’équivalence suivant R, contenue dans A ; 2° $f$ prenne des valeurs distinctes sur M et N. Comme $A/R_A$ peut être identifié à une partie ouverte de $X/R$ (I, p. 23, cor. 1), on pourra appliquer la prop. 5 de I, p. 54 à l’application $g : A/R \to X'$ deduite de $f$ par passage aux quotients, puisque cette application est continue (I, p. 21, prop. 6).

En particulier :

Proposition 9

Si $f$ est une application continue d’un espace topologique $X$ dans un espace séparé $X'$ , et $R$ la relation d’équivalence $f(x) = f(y)$ , l’espace quotient $X/R$ est séparé.

Proposition 10

Si $X$ est un espace séparé, et s’il existe une section continue s de $X$ pour la relation $R$ , $X/R$ est séparé et $s(X/R)$ est fermé dans $X$ .

Cite 1 · Cité par 1

Cite Proposition 2

Cité par Proposition 8

En effet (I, p. 22) $X/R$ est homéomorphe au sous-espace $s(X/R)$ de $X$ , qui est séparé. En outre $s(X/R)$ est l’ensemble des $x \in X$ tels que $s(\varphi(x)) = x$ , où $\varphi : X \to X/R$ est l’application canonique ; la seconde assertion résulte donc de I, p. 53, prop. 2.

4. Espaces réguliers

Proposition 11

Dans un espace topologique $X$ , les propriétés suivantes sont équivalentes :

(O_{III}) *L’ensemble des voisinages fermés d’un point quelconque de $X$ est un système fondamental de voisinages de ce point.

(O’_{III}) Pour toute partie fermée F de $X$ et tout point $x \notin F$ , il existe un voisinage de $x$ et un voisinage de $F$ sans point commun.

(O_{III}) $\Rightarrow$ (O’_{III}) : En effet, si F est fermé et $x \notin F$ , il existe un voisinage fermé V de $x$ contenu dans le voisinage $\complement F$ de $x$ ; V et $\complement V$ sont alors des voisinages de $x$ et F respectivement, sans point commun.

(O’_{III}) $\Rightarrow$ (O_{III}) : En effet, si W est un voisinage ouvert d’un point $x \in X$ , il existe alors un voisinage U de $x$ et un voisinage V de $\complement W$ sans point commun, ce qui montre que $\overline{U} \subset W$ .

Définition 2

On dit qu’un espace topologique est régulier s’il est séparé et vérifie l’axiome (O_{III}) ; sa topologie est alors dite régulière.

Un espace discret est régulier. Nous verrons au § 9 que tout espace localement compact (en particulier la droite numérique $\mathbf{R}$ ) est un espace régulier.

Proposition 12

Tout sous-espace d’un espace régulier est régulier.

En effet, soit A un sous-espace d’un espace régulier X. Comme X est séparé, A est séparé (I, p. 54) ; d’autre part, tout voisinage d’un point $x \in A$ par rapport à A est de la forme V ∩ A, où V est un voisinage de x dans X. Comme X est régulier, il existe un voisinage W de x dans X, fermé dans X et tel que W ⊂ V; W ∩ A est alors un voisinage de x dans A, fermé dans A et tel que W ∩ A ⊂ V ∩ A, d’où la proposition.

Inversement:

Proposition 13

Si, dans un espace topologique X, tout point possède un voisinage fermé qui soit un sous-espace régulier de X, X est régulier.

Cite 1 · Cité par 2

Cite Proposition 6

Cité par Corollaire 1, I § 11, Proposition 9, I § 9

En effet, X est séparé (I, p. 54, prop. 6). D’autre part, soit x un point quelconque de X et soit V un voisinage fermé de x dans X, qui soit un sous-espace régulier de X. Pour tout voisinage U de x dans X tel que U ⊂ V, U est un voisinage de x dans V, donc il existe par hypothèse un voisinage W de x dans V, fermé dans V et contenu dans U. Mais W est aussi un voisinage de x dans X puisque V est un voisinage de x dans X, et W est fermé dans X puisque V est fermé dans X.

Remarque 1

On peut donner des exemples d’espaces non séparés, dont tout point admet un voisinage régulier (I, p. 101, exerc. 7).

Cite 1

Cite Exercice 7, § 8

Remarque 2

On peut donner des exemples d’espaces séparés non réguliers (I, p. 103, exerc. 20).

Cite 1

Cite Exercice 20, § 8

Remarque 3

Une topologie plus fine qu’une topologie régulière n’est pas nécessairement régulière (I, p. 103, exerc. 20).

Cite 1

Cite Exercice 20, § 8

5. Prolongement par continuité. Double limite

Théorème 1

Soient X un espace topologique, A une partie partout dense de X, f : A → Y une application de A dans un espace régulier Y. Pour qu’il existe une application continue $\tilde{f} : X \to Y$ prolongeant f, il faut et il suffit que pour tout $x \in X, f(y)$ tende vers une limite dans Y lorsque y tend vers x en restant dans A. Le prolongement continu $\tilde{f}$ de f à X est alors unique.

Cite 4 · Cité par 3

Cite Proposition 2, Corollaire 1 (Principe de prolongement des identités), I § 7. Limites, Exercice 19, § 8

Cité par Corollaire, II § 3. Espaces complets, VI § 3. Espaces projectifs réels

L’unicité de $\tilde{f}$ résulte du principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1). La nécessité de la condition est évidente, car si $\tilde{f}$ est continue dans X, on a, pour tout $x \in X, \tilde{f}(x) = \lim_{y \to x, y \in A} \tilde{f}(y) = \lim_{y \to x, y \in A} f(y)$ (I, p. 50). Inversement, supposons vérifiée la condition de l’énoncé et posons, pour tout $x \in X, \tilde{f}(x) = \lim_{y \to x, y \in A} f(y)$ , élément bien déterminé de Y, puisque Y est séparé. Il reste à prouver que $\tilde{f}$ est continue en tout point $x \in X$ . Soit $V'$ un voisinage fermé de $\tilde{f}(x)$ dans Y ; par hypothèse, il existe un voisinage V de x dans X, ouvert dans X et tel que $f(V \cap A) \subset V'$ ; comme V est un voisinage de chacun de ses points, pour tout $z \in V$ , on a $\tilde{f}(z) = \lim_{y \to z, y \in V \cap A} f(y)$ , ce qui entraîne $\tilde{f}(z) \in \overline{f(V \cap A)} \subset V'$ , puisque $V'$ est fermé. La conclusion résulte donc de ce que les voisinages fermés de $f(x)$ forment un système fondamental de voisinages de $f(x)$ dans Y.

On dit que l’application $\tilde{f}$ s’obtient en prolongeant f par continuité à X.

On ne peut, dans l’énoncé du th. 1, remplacer l’hypothèse que Y est régulier par une condition moins restrictive, sans faire d’hypothèse supplémentaire sur X, A ou f (I, p. 102, exerc. 19).

Corollaire

Soit $\mathfrak{F}_1 \times \mathfrak{F}_2$ le filtre produit (I, p. 42), sur un ensemble $X = X_1 \times X_2$ , d’un filtre $\mathfrak{F}_1$ sur $X_1$ et d’un filtre $\mathfrak{F}_2$ sur $X_2$ . Soit $f$ une application de $X$ dans un espace régulier $Y$ . On suppose que: a) $\lim_{\mathfrak{F}_1 \times \mathfrak{F}_2} f$ existe; b) $\lim_{x_2, \mathfrak{F}_2} f(x_1, x_2) = g(x_1)$ existe quel que soit $x_1 \in X_1$ . Dans ces conditions, $\lim_{x_1, \mathfrak{F}_1} g(x_1)$ existe et est égale à $\lim_{\mathfrak{F}_1 \times \mathfrak{F}_2} f$ .

Cite 3

Cite I § 6. Filtres, I § 7. Limites, Théorème 1

Soit $X'_1 = X_1 \cup \{\omega_1\}$ (resp. $X'_2 = X_2 \cup \{\omega_2\}$ ) l’espace topologique associé au filtre $\mathfrak{F}_1$ (resp. $\mathfrak{F}_2$ ) (I, p. 40, Exemple). Dans l’espace produit $X' = X'_1 \times X'_2$ , soit $X''$ la réunion des sous-espaces $X_1 \times X'_2$ et $\{(\omega_1, \omega_2)\}$ ; $X$ est évidemment un sous-espace partout dense de $X''$ , et les hypothèses signifient que $f(y_1, y_2)$ tend vers une limite lorsque $(y_1, y_2)$ tend vers un point quelconque $(x_1, x_2)$ de $X''$ en restant dans $X$ . L’existence du prolongement par continuité de $f$ à $X''$ résulte donc du th. 1. Comme en outre $(\omega_1, \omega_2)$ est adhérent dans $X''$ à l’ensemble $(X_1 \times \{\omega_2\})$ , la conclusion du corollaire en résulte aussitôt (I, p. 50).

6. Relations d’équivalence dans un espace régulier

Proposition 14

Soient $X$ un espace régulier, $R$ une relation d’équivalence fermée dans $X$ ; alors le graphe $C$ de $R$ dans $X \times X$ est fermé.

Cité par 2

Cité par Exercice 20, § 10, Corollaire

Soit $(a, b)$ un point de $X \times X$ adhérent à $C$ , et soit $V$ (resp. $W$ ) un voisinage fermé de $a$ (resp. un voisinage de $b$ ) dans $X$ ; par hypothèse, il existe $(x, y) \in C \cap (V \times W)$ . Comme $x \in V$ , $y$ appartient au saturé $S$ de $V$ pour $R$ ; donc $W \cap S \neq \varnothing$ pour tout voisinage $W$ de $b$ , et comme $S$ est fermé par hypothèse, on a $b \in S$ . Soit alors $B$ le saturé de $\{b\}$ pour $R$ ; on a $V \cap B \neq \varnothing$ pour tout voisinage fermé $V$ de $a$ ; comme par hypothèse $B$ est fermé et $X$ régulier, on a $a \in B$ , donc $(a, b) \in C$ , ce qui achève la démonstration.

Corollaire

Dans un espace régulier, toute relation d’équivalence à la fois ouverte et fermée est séparée.

Cite 2

Cite Proposition 14, Proposition 8

Cela résulte de la prop. 14 et de I, p. 55, prop. 8.

Proposition 15

Soient $X$ un espace régulier, $F$ une partie fermée non vide de $X$ , $R$ la relation d’équivalence obtenue en identifiant entre eux tous les points de $F$ (autrement dit, la relation d’équivalence dont les classes sont $F$ et les ensembles $\{x\}$ pour $x \in CF$ ). Alors l’espace quotient $X/R$ est séparé.

Cite 1 · Cité par 2

Cite Exercice 14, § 4

Cité par Corollaire 1, VI § 2, Proposition 4, X § 4

En effet, soient $M$ et $N$ deux classes d’équivalence distinctes dans $X$ . Si chacune d’elles se réduit à un point dans $CF$ , il existe dans le sous-espace séparé $CF$ deux voisinage ouverts de $M$ et $N$ respectivement sans point commun, et ces voisinages sont des voisinages de $M$ et $N$ dans $X$ , saturés pour $R$ et sans point commun. Si $M = F$ et $N = \{b\}$ où $b \notin F$ , il existe par hypothèse un voisinage ouvert de $b$ et un voisinage ouvert de $F$ sans point commun, et ces voisinages sont saturés pour $R$ , ce qui achève la démonstration.

On notera que l’espace quotient X/R n’est pas nécessairement régulier (IX, §4, exerc. 18).

Exercices

See the exercises for § 8.