En effet, soit V un voisinage de A; raisonnons par l’absurde, en supposant que tout ensemble de $\mathfrak{F}$ rencontre $\mathfrak{G}V$. Les traces sur $\mathfrak{G}V$ des ensembles de $\mathfrak{F}$ forment alors une base d’un filtre $\mathfrak{G}$ sur X; comme X est quasi-compact, $\mathfrak{G}$ a au moins un point adhérent $y$, qui n’appartient pas à A, puisque le voisinage V de A a une intersection vide avec certains de ensembles de $\mathfrak{G}$. Mais, comme $\mathfrak{G}$ est plus fin que $\mathfrak{F}$, $y$ est aussi adhérent à $\mathfrak{F}$, ce qui est contraire à l’hypothèse.

La condition est nécessaire en vertu de I, p. 52, prop. 1; elle est suffisante en vertu du th. 1.

La condition est nécessaire puisque X est séparé (I, p. 52, prop. 1). Elle est suffisante, car elle signifie que x est le seul point adhérent à $\mathfrak{B}$, donc $\mathfrak{B}$ converge vers x d’après le cor. du th. 1.

On notera que l’espace quasi-compact non séparé X de l’*Exemple* 2 de I, p. 60 ne vérifie pas l’axiome (O$_{\text{III}}$), car l’intersection de deux ensembles ouverts non vides dans cet espace n’est jamais vide.

Il suffit d’appliquer l’axiome (C''), en remarquant que si A est fermé dans un espace X, tout ensemble fermé dans A est fermé dans X.

Montrons d’abord que pour tout $x \in A$, il existe un voisinage T$(x)$ de x dans X et un voisinage U$(x)$ de B dans X qui ne se rencontrent pas. En effet, pour tout $y \in B$, il existe un voisinage T$(x, y)$ de x et un voisinage U$(x, y)$ de y qui ne se rencontrent pas; comme B est compact, il y a un nombre fini de points $y_j$ de B tels que les U$(x, y_j)$ forment un recouvrement de B. Il suffit de prendre pour U$(x)$ la réunion des U$(x, y_j)$ et pour T$(x)$ l’intersection des T$(x, y_j)$. Comme A est compact, il y a un nombre fini de points $x_i \in A$ tels que les T$(x_i)$ forment un recouvrement de A. On répond alors à la question en prenant pour V la réunion des T$(x_i)$ et pour W l’intersection des U$(x_i)$.

En effet, si A est une partie compacte d’un espace séparé X et x un point de $\mathscr{C}A$, il résulte de la prop. 3 qu’il y a un voisinage de x ne rencontrant pas A, puisque $\{x\}$ est fermé (I, p. 54, prop. 4); donc $\mathscr{C}A$ est ouvert.

Il suffit de montrer que la réunion de deux ensembles quasi-compacts A, B dans un espace topologique X est quasi-compacte. Soit $\mathfrak{R}$ un recouvrement ouvert de $A \cup B$; c’est un recouvrement de A et un recouvrement de B, donc il contient un recouvrement fini $\mathfrak{R}_1$ de A et un recouvrement fini $\mathfrak{R}_2$ de B; $\mathfrak{R}_1 \cup \mathfrak{R}_2$ est donc un recouvrement fini de $A \cup B$ contenu dans $\mathfrak{R}$, d’où la proposition.

C’est évidemment suffisant, et c’est nécessaire en vertu de la prop. 4 et de son corollaire.

En effet, si $A \subset K$, où K est une partie quasi-compacte de X, toute base de filtre sur A admet un point adhérent dans K.

La réciproque de cette proposition n’est valable que moyennant des conditions supplémentaires sur X (I, p. 109, exerc. 23).

En effet, soit $\mathfrak{R}$ un recouvrement de $f(X)$ par des ensembles ouverts de $X'$; $f^{-1}(\mathfrak{R})$ est un recouvrement ouvert de $X$ (I, p. 9, th. 1), donc il y a une partie finie $\mathfrak{G}$ de $\mathfrak{R}$ telle que $f^{-1}(\mathfrak{G})$ soit un recouvrement de $X$; mais alors $\mathfrak{G}$ est un recouvrement de $f(X)$, d’où le théorème.

En particulier: COROLLAIRE 3. — Une topologie séparée moins fine qu’une topologie d’espace quasi-compact lui est nécessairement identique.

La condition est nécessaire d’après le th. 2 de I, p. 62. Elle est suffisante, car si A est une partie de $\prod_i X_i$ telle que pour tout $i$, $\mathrm{pr}_i(A)$ soit contenu dans une partie quasi-compacte $K_i$ de $X_i$, A est contenu dans la partie quasi-compacte $\prod_i K_i$ de $\prod_i X_i$.

$1^\circ$ $X$ est compact, et pour tout $\alpha$, on a

(1)

$2^\circ$ Si les $X_\alpha$ sont non vides, $X$ est non vide.

En effet, $X$ est un sous-espace fermé de $\prod_\alpha X_\alpha$ (I, p. 55, cor. 2), donc il est compact en vertu du th. 3 de I, p. 63 et de la prop. 2 de I, p. 61. Les autres assertions résultent de E, III, p. 58, th. 1 : en effet, on peut appliquer ce théorème en prenant pour $S_\alpha$ l’ensemble des parties fermées de $X_\alpha$; les conditions (i) et (ii) ne sont autres que les axiomes (O'_I) et (C'"); la propriété (iii) résulte de ce que $\{ x_\alpha \}$ est fermé et $f_{\alpha\beta}$ continue (I, p. 9, th. 1); enfin la propriété (iv) résulte du cor. 2 de I, p. 63.

En effet, pour tout $x_\alpha \in \bigcap_{\beta \geq \alpha} f_{\alpha\beta}(X_\beta)$ et tout $\beta \geq \alpha$, posons $L_\beta = f_{\alpha\beta}^{-1}(x_\alpha)$. Pour $\alpha \leq \beta \leq \gamma$, on a $f_{\beta\gamma}(L_\gamma) \subset L_\beta$ et l’ensemble des $\beta \geq \alpha$ est cofinal à l’ensemble I. Il est immédiat que les $L_\beta$ ($\beta \geq \alpha$) forment un système projectif d’espaces topologiques (pour les restrictions des $f_{\beta\gamma}$), dont la limite projective L est homéomorphe à $f_\alpha^{-1}(x_\alpha)$. Comme les $L_\beta$ sont par hypothèse compacts et non vides, le corollaire résulte de la prop. 8.

a) Si, pour un $x' = (x'_\alpha) \in X'$, $\bar{u}_\alpha^{-1}(x'_\alpha)$ est compact et non vide pour tout $\alpha \in I$, alors $-1$ $u(x')$ est compact et non vide.

b) Si les $X_\alpha$ sont compacts, les $X'_\alpha$ séparés et les $u_\alpha$ surjectives et continues, alors $u$ est surjective.

Posons $L_\alpha = \bar{u}_\alpha^{-1}(x'_\alpha)$; il est immédiat que les $L_\alpha$ forment un système projectif d’espaces topologiques (pour les restrictions des $f_{\alpha\beta}$) et que $-1$ $u(x') = L$ est limite projective des $L_\alpha$; l’assertion a) résulte donc de la prop. 8. L’assertion b) en est une conséquence immédiate, compte tenu de la prop. 2 de I, p. 61.

En effet, tout point $x$ d’un espace localement compact $X$ possède un voisinage compact $V$; comme $X$ est séparé, $V$ est fermé (I, p. 62, prop. 4); d’autre part, $V$ est un sous-espace régulier (I, p. 61, corollaire), donc $X$ est régulier (I, p. 57, prop. 13).

En effet, l’intersection d’un voisinage fermé de $x$ et d’un voisinage compact de $x$ est un voisinage compact de $x$ (I, p. 61, prop. 2).

On notera qu’il existe des espaces topologiques non séparés dans lesquels tout point a un système fondamental de voisinages compacts (I, p. 105, exerc. 5).

Le cor. de la prop. 9 se généralise comme suit:

En effet, soit $U$ un voisinage quelconque de $K$; pour tout $x \in K$, il existe un voisinage compact $W(x)$ de $x$ contenu dans $U$. Les intérieurs des ensembles $W(x)$ forment un recouvrement ouvert de $K$ lorsque $x$ parcourt $K$, donc il existe un nombre fini de points $x_i \in K$ ($1 \leq i \leq n$) tels que les intérieurs des $W(x_i)$ forment un recouvrement de $K$; la réunion $V$ des $W(x_i)$ est alors un voisinage compact de $K$ contenu dans $U$ (I, p. 62, prop. 5).

Le th. 1 (I, p. 60) et le cor. 2 de I, p. 63 ne s’étendent pas aux espaces localement compacts non compacts.

Par exemple, dans un espace discret infini, le filtre des ensembles contenant un point $x$ et dont le complémentaire est fini, admet le point $x$ comme seul point adhérent, mais ne converge pas vers $x$. Une application quelconque d’un espace discret infini $X$ dans un espace séparé $X'$ étant continue, l’image par cette application d’une partie quelconque de $X$ (qui est fermée dans $X$) ne sera pas en général une partie fermée de $X'$.

La proposition correspondant au th. 3 (I, p. 63) est la suivante:

b) Si $X = \prod_{i \in I} X_i$ est localement compact et les $X_i$ non vides, chacun des $X_i$ est homéomorphe à un sous-espace fermé de $X$ (I, p. 26, prop. 4 et I, p. 27, corollaire). D’autre part, soit $a = (a_i)$ un point de $X$, $V$ un voisinage compact de $a$; comme on a $\mathrm{pr}_i V = X_i$ sauf pour un nombre fini d’indices $i$ (I, p. 24), il résulte de I, p. 63, cor. 1 que les $X_i$ sont compacts sauf pour un nombre fini d’indices.

Démontrons d’abord la seconde assertion, et soient $f(X) = X' - \{ \omega \}$, $f_1(X) = X'_1 - \{ \omega_1 \}$; si l’homéomorphisme $g$ existe, son unicité est évidente, car on doit avoir par définition $g(x') = f_1(f^{-1}(x'))$ pour $x' \neq \omega$ et par suite $g(\omega) = \omega_1$. Reste à montrer que la bijection $g : X' \to X'_1$ définie par ces formules est bi-continue, et comme $X'$ et $X'_1$ jouent le même rôle, il suffit de montrer que l’image par $g$ d’un voisinage d’un point $x' \in X'$ est un voisinage de $g(x')$ dans $X'_1$. Or, cela est évident par définition si $x' \neq \omega$; d’autre part, si $V'$ est un voisinage ouvert de $\omega$ dans $X'$, $X' - V' = K$ est fermé dans $X'$, donc compact (I, p. 61, prop. 2) et contenu dans $f(X)$, et par suite $g(K) = f_1(f^{-1}(K))$ est compact (I, p. 63, cor. 1). Il en résulte que $g(V') = X'_1 - g(K)$ est un voisinage ouvert de $\omega_1$ (I, p. 62, prop 4), ce qui achève de prouver que $g$ est un homéomorphisme.

Prouvons maintenant la première assertion du théorème. Soit $X'$ un ensemble somme de $X$ et d’un ensemble réduit à un élément $\omega$, $X$ étant identifié au complémentaire de $\{ \omega \}$ dans $X'$. Définissons sur $X'$ une topologie en prenant pour ensemble $\mathscr{O}$ des parties ouvertes de $X'$ l’ensemble formé des parties ouvertes de $X$ et des parties de la forme $(X - K) \cup \{ \omega \}$, où $K$ est une partie compacte de $X$. Comme toute intersection de parties compactes de $X$ est compacte (I, p. 61, prop. 2 et I, p. 62, 4) et que toute partie fermée d’un ensemble compact est compacte (I, p. 61, prop. 2), $\mathscr{O}$ vérifie l’axiome $(O_I)$; comme toute réunion finie de parties compactes de $X$ est compacte (I, p. 62, prop. 5), $\mathscr{O}$ vérifie aussi l’axiome $(O_{II})$. Puisque toute partie compacte de $X$ est fermée dans $X$ (I, p. 62, prop. 4), la topologie induite sur $X$ par celle de $X'$ est la topologie initialement donnée sur $X$. Pour établir la première assertion, il reste à prouver que $X'$ est compact. En premier lieu $X'$ est séparé: en effet, si $x, y$ sont deux points distincts de $X$, il existe dans $X$ deux voisinages ouverts $V, W$ de $x$ et $y$ respectivement qui sont sans point commun, et $V$ et $W$ sont aussi ouverts dans $X'$; d’autre part, pour tout $x \in X$, il existe dans $X$ un voisinage compact $K$ de $x$, qui est aussi un voisinage de $x$ dans

X', et U = (X - K) ∪ {ω} est alors un voisinage de ω dans X' tel que U ∩ K = ∅. Enfin X' est quasi-compact : soit en effet (U_λ)_{λ ∈ L} un recouvrement ouvert de X' ; il y a au moins un indice μ ∈ L tel que U_μ = (X - K_μ) ∪ {ω}, où K_μ est une partie compacte de X ; il y a donc une partie finie H de L telle que les U_λ pour λ ∈ H forment un recouvrement de K_μ ; posant J = H ∪ {μ}, (U_λ)_{λ ∈ J} est un recouvrement de X', ce qui achève de prouver que X' est compact.

C.Q.F.D.

On observera que si X est déjà compact, le point ω est isolé dans l’espace compact X', et X' est par suite somme (I, p. 15, Exemple III) de X et de l’espace {ω}.

Lorsqu’on a ainsi défini un espace compact X' à partir d’un espace localement compact X par adjonction d’un élément ω, on dit souvent que ω est le « point à l’infini » de X', et que X' résulte de X par adjonction d’un point à l’infini ; on dit aussi que X' est le compactifié d’Aleksandroff de l’espace localement compact X.

Exemple. — Si on applique le th. d’Aleksandroff au plan numérique R², on obtient un espace compact, dont on peut définir comme suit un homéomorphisme sur la sphère S₂ d’équation x₁² + x₂² + x₃² = 1 dans l’espace R³ : au point ω qu’on a adjoint à R² (point à l’infini), on fait correspondre le point (0, 0, 1) de S₂ ; et à tout point (x₁, x₂) de R² on fait correspondre le point où la droite joignant les points (0, 0, 1) et (x₁, x₂, 0) recoupe S₂. Cet homéomorphisme est connu sous le nom de projection stéréographique (voir A, IX, § 10, exerc. 14 et VI, §2, N° 4).

En effet, X est réunion d’une suite (K_n) d’ensembles compacts. Soit U₁ un voisinage ouvert relativement compact de K₁ (I, p. 65, prop. 10) et définissons par récurrence U_n pour n > 1 comme un voisinage ouvert relativement compact de $\overline{U}_{n-1} \cup K_n$ (I, p. 62, prop. 5 et I, p. 65, prop. 10) ; il est clair que les U_n répondent à la question.

En effet, il y a un nombre fini des $U_k$ qui recouvrent K (axiome de Borel-Lebesgue).

La condition est suffisante puisque les complémentaires des voisinages ouverts de $\omega$ sont compacts dans $X$. Elle est nécessaire, car si les $U_n \subset X$ ont les propriétés énoncées dans la prop. 15, les voisinages $X' - \overline{U}_n$ de $\omega$ dans $X$ forment un système fondamental de voisinages de $\omega$ en vertu du cor. 1.

Il est clair que tout sous-espace fermé d’un espace localement compact dénombrable à l’infini est un espace localement compact dénombrable à l’infini. De même, tout produit fini d’espaces localement compacts dénombrables à l’infini est dénombrable à l’infini.

On notera par contre qu’un sous-espace ouvert d’un espace compact n’est pas nécessairement dénombrable à l’infini, comme le montre le th. d’Alexandroff (I, p. 67, th. 4).

En effet, $F$ est séparé; d’autre part, si $(V_t)$ est un recouvrement ouvert dans le sous-espace $F$, tout $V_t$ est de la forme $V_t = U_t \cap F$, où $U_t$ est ouvert dans $X$. Considérons le recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de $X$ formé de $CF$ et des $U_t$; il existe un recouvrement ouvert localement fini $\mathscr{R}'$ de $X$ plus fin que $\mathscr{R}$, et les traces sur $F$ des ensembles de $\mathscr{R}'$ forment un recouvrement ouvert localement fini de $F$, plus fin que le recouvrement donné $(V_t)$.

Par contre, un sous-espace ouvert d’un espace compact n’est pas nécessairement paracompact (I, p. 105, exerc. 12).

Soient $X$ un espace paracompact, $Y$ un espace compact, $\mathfrak{R}$ un recouvrement ouvert de $X \times Y$. Pour tout point $(x, y) \in X \times Y$, il existe un voisinage ouvert $V(x, y)$ de $x$ dans $X$ et un voisinage ouvert $W(x, y)$ de $y$ dans $Y$ tels que $V(x, y) \times W(x, y)$ soit contenu dans un ensemble de $\mathfrak{R}$. Pour tout $x \in X$, les $W(x, y)$, où $y$ parcourt $Y$, forment un recouvrement ouvert de $Y$, donc il existe un nombre fini de points $y_i$ ($1 \leq i \leq n(x)$) de $Y$ tels que les $W(x, y_i)$ forment un recouvrement ouvert de $Y$. Posons $U(x) = \bigcap_{i=1}^{n(x)} V(x, y_i)$; chacun des ensembles ouverts $U(x) \times W(x, y_i)$ est contenu dans un ensemble de $\mathfrak{R}$. Soit alors $(T_\iota)_{\iota \in I}$ un recouvrement ouvert localement fini de $X$ plus fin que le recouvrement formé par les $U(x)$ ($x \in X$). Pour tout $\iota \in I$, soit $x_\iota$ un point de $X$ tel que $T_\iota \subset U(x_\iota)$, et désignons par $S_{\iota, k}$ les ensembles $W(x_\iota, y_k)$ correspondant à ce point ($1 \leq k \leq n(x_\iota)$). Il est clair que les ensembles $T_\iota \times S_{\iota, k}$ ($\iota \in I, 1 \leq k \leq n(x_\iota)$ pour tout $\iota \in I$) forment un recouvrement ouvert de $X \times Y$, plus fin que $\mathfrak{R}$; montrons que ce recouvrement est localement fini. En effet, pour tout $(x, y) \in X \times Y$, il existe un voisinage $Q$ de $x$ ne rencontrant qu’un nombre fini d’ensembles $T_\iota$; a fortiori le voisinage $Q \times Y$ de $(x, y)$ ne rencontre qu’un nombre fini d’ensembles de la forme $T_\iota \times S_{\iota, k}$.

Par contre, le produit de deux espaces paracompacts n’est pas nécessairement paracompact (voir IX, §5, exerc. 15).

Soit en effet $(V_\lambda)_{\lambda \in L}$ un recouvrement ouvert de $X$; le recouvrement formé des ensembles ouverts $X_\iota \cap V_\lambda$ est plus fin que $(V_\lambda)$; si pour chaque $\iota \in I$, $(U_{\iota, \mu})_{\mu \in M_\iota}$ est un recouvrement ouvert localement fini de $X_\iota$ plus fin que $(V_\lambda \cap X_\iota)_{\lambda \in L}$, le recouvrement ouvert de $X$ formé des $U_{\iota, \mu}$ ($\iota \in I, \mu \in M_\iota$ pour chaque $\iota \in I$) est localement fini et plus fin que $(V_\lambda)$.

Montrons d’abord que la condition est nécessaire. Supposons $X$ paracompact, et pour tout $x \in X$, soit $V_x$ un voisinage ouvert relativement compact de $x$ dans $X$. Il existe par hypothèse un recouvrement ouvert localement fini $(U(\alpha))_{\alpha \in A}$ de $X$ plus fin que le recouvrement formé des $V_x$ (où $x \in X$); les $U(\alpha)$ sont donc relativement compacts. Toute partie compacte $K$ de $X$ ne rencontre qu’un nombre fini d’ensembles $U(\alpha)$: en effet, les ensembles $U(\alpha) \cap K$ non vides forment un recouvrement ouvert localement fini de l’espace compact $K$, donc ce recouvrement est nécessairement fini (I, p. 59). Cela étant, soit $R$ la relation suivante entre deux points $x, y$ de $X$: « il existe une suite finie $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq n}$ d’indices dans $A$ telle que $x \in U(\alpha_1),\ y \in U(\alpha_n)$ et $U(\alpha_i) \cap U(\alpha_{i+1}) \neq \varnothing$ pour $1 \leq i \leq n - 1$. On vérifie aussitôt que $R$ est une relation d’équivalence; en outre, toute classe d’équivalence suivant $R$ est un ensemble ouvert dans $X$, comme il résulte aussitôt de la définition de $R$ et du fait que les $U(\alpha)$ sont ouverts. L’espace $X$ est donc somme des sous-espaces localement compacts (I, p. 66, prop. 13) formés des classes d’équivalence suivant $R$; tout revient à prouver que chacun de ces sous-espaces est réunion d’une sous-famille dénombrable de la famille $(U(\alpha))$.

Or, soit $x$ un point quelconque de $X$; définissons par récurrence sur $n$ une suite $(C_n)$ d’ensembles ouverts relativement compacts dans $X$, de la façon suivante: $C_1$ est la réunion des ensembles $U(\alpha)$ qui contiennent $x$, et pour tout $n > 1$, $C_n$ est la réunion des ensembles $U(\alpha)$ qui rencontrent $C_{n-1}$. Il est immédiat, par récurrence sur $n$, que chacun des $C_n$ est relativement compact et réunion d’un nombre fini d’ensembles $U(\alpha)$. Montrons alors que la classe de $x$ suivant $R$ est la réunion des $C_n$: en effet, si $(\alpha_i)_{1 \leq i \leq n}$ est une suite d’indices telle que $x \in U(\alpha_1)$ et $U(\alpha_i) \cap U(\alpha_{i+1}) \neq \varnothing$ pour $1 \leq i \leq n - 1$, on a, par récurrence sur $i$, $U(\alpha_i) \subset C_i$ pour $1 \leq i \leq n$, ce qui achève de démontrer la première partie du théorème.

Montrons maintenant que la condition de l’énoncé est suffisante. En vertu de la prop. 18, on peut se borner au cas où $X$ est dénombrable à l’infini. Soit $\mathscr{R} = (G_\lambda)_{\lambda \in L}$ un recouvrement ouvert quelconque de $X$. Soit d’autre part $(U_n)$ une suite d’ensembles ouverts relativement compacts de $X$ ayant les propriétés énoncées dans la prop. 15 de I, p. 68; nous désignerons par $K_n$ l’ensemble compact $\overline{U_n} - U_{n-1}$ (en convenant de poser $U_n = \varnothing$ pour $n \leq 0$). L’ensemble ouvert $U_{n+1} - \overline{U}_{n-2}$ est un voisinage de $K_n$ par construction; pour tout $x \in K_n$, il existe donc un voisinage $W_x$ de $x$ contenu dans un des ensembles $G_\lambda$ et contenu aussi dans $U_{n+1} - \overline{U}_{n-2}$. Comme $K_n$ est compact, il existe un nombre fini d’ensembles de la forme $W_x$ formant un recouvrement de $K_n$; soient $H_{ni}$ $(1 \leq i \leq p_n)$ ces ensembles. Il est clair que la famille $\mathscr{R}'$ des ensembles $H_{nt}$ $(n \geq 1,\ 1 \leq i \leq p_n$ pour tout n) est un recouvrement ouvert de $X$ plus fin que $\mathscr{R}$; montrons que $\mathscr{R}'$ est localement fini. Soient $z$ un point quelconque de $X$, $n$ le plus petit entier tel que $z \in U_n$; comme $z \notin U_{n-1}$ il existe un voisinage $T$ de $z$ contenu dans $U_n$ et ne rencontrant pas $\overline{U}_{n-2}$; par suite, $T$ ne peut rencontrer que les ensembles $H_{mi}$ pour lesquels $n - 2 \leq m \leq n + 1$, et ces derniers sont en nombre fini.

C.Q.F.D.

Au cours de la démonstration, nous avons en outre prouvé ce qui suit: COROLLAIRE. — Soit $X$ un espace localement compact et paracompact; pour tout recouvrement ouvert $\mathscr{R}$ de $X$, il existe un recouvrement ouvert localement fini $\mathscr{R}'$ de $X$ plus fin que $\mathscr{R}$ et formé d’ensembles relativement compacts. Si $X$ est dénombrable à l’infini, on peut en outre supposer que $\mathscr{R}'$ est dénombrable.