En effet, tout sous-espace d’un espace métrisable de type dénombrable est métrisable de type dénombrable, et tout sous-espace fermé d’un espace complet est complet (II, p. 16, prop. 8). Tout produit dénombrable d’espaces métrisables de type dénombrable est métrisable de type dénombrable (IX, p. 19), et tout produit dénombrable d’espaces métriques complets est un espace métrique complet pour une distance compatible avec sa topologie (II, p. 17, prop. 10 et IX, p. 15, cor. 2). Enfin, soit $(X_n)$ une suite d’espaces polonais non vides, et soit $X$ l’espace somme des $X_n$; on peut supposer la topologie de $X_n$ définie par une distance $d_n \leq 1$ pour laquelle $X_n$ est complet et de type dénombrable (IX, p. 3); on définit alors la topologie de $X$ par la distance $d$ telle que $d(x, y) = d_n(x, y)$ si $x$ et $y$ appartiennent à un même $X_n$, $d(x, y) = 1$ dans le cas contraire (IX, p. 16). On sait que $X$ est de type dénombrable (IX, p. 19, corollaire); il reste à prouver qu’il est complet pour $d$. Or, si $(x_m)$ est une suite de Cauchy dans $X$, il existe un $m_0$ tel que pour $p \geq m_0, q \geq m_0$, on ait $d(x_p, x_q) < 1$, donc tous les $x_m$ d’indice $m \geq m_0$ appartiennent à un même $X_n$; puisque $X_n$ est complet pour $d_n$, la suite $(x_m)$ est convergente.

Soient $X$ un espace polonais, $d$ une distance compatible avec la topologie de $X$, $U$ une partie ouverte de $X$ distincte de $X$. Soit $V$ la partie du produit $\mathbf{R} \times X$ formée des points $(t, x)$ tels que $t \cdot d(x, X - U) = 1$; le sous-espace $V$ de $\mathbf{R} \times X$ est fermé (IX, p. 13, prop. 3), donc polonais (prop. 1). Comme la restriction à $V$ de la projection $\mathrm{pr}_2$ de $\mathbf{R} \times X$ sur $X$ est un homéomorphisme de $V$ sur $U$ (IX, p. 13, prop. 3), $U$ est un sous-espace polonais.

En effet, soit $X'$ l’espace compact obtenu par adjonction à $X$ d’un point à l’infini; on sait que $X'$ est métrisable et de type dénombrable (IX, p. 21, corollaire), et d’autre part $X'$ est complet pour son unique structure uniforme (II, p. 27, th. 1); l’espace $X'$ est donc polonais, et il en est de même de $X$ qui est un sous-espace ouvert de $X'$.

Soit $f$ l’application diagonale de $X$ dans $X^\mathbf{N}$ (E, II, p. 33; on rappelle que $f(x) = (y_n)$, où $y_n = x$ pour tout $n$); nous utiliserons le lemme suivant:

En effet, cette image est l’intersection de $\prod_n A_n$ et de la diagonale $\Delta = f(X)$ qui est fermée dans $X^\mathbf{N}$ puisque $X$ est séparé (I, p. 52, prop. 1), et d’autre part $f$ est un homéomorphisme de $X$ sur $\Delta$.

Sous les hypothèses de la prop. 3, $\prod_n A_n$ est un espace polonais (IX, p. 57, prop. 1), donc $\bigcap_n A_n$ est un sous-espace polonais d’après le lemme 1 et la prop. 1 (IX, p. 57).

En effet, il est l’intersection d’une famille dénombrable d’ensembles ouverts dans $\mathbf{R}$, à savoir les complémentaires des ensembles réduits à un point rationnel.

Il résulte aussitôt des prop. 2 (IX, p. 57) et 3 que la condition est suffisante. Montrons qu’elle est nécessaire. Soit $d$ une distance compatible avec la topologie de $Y$, et pour laquelle $Y$ soit complet. Soit $\overline{Y}$ l’adhérence de $Y$ dans $X$. Pour chaque entier $n$, soit $Y_n$ l’ensemble des $x \in \overline{Y}$ qui possèdent un voisinage ouvert $U$ tel que le diamètre de $U \cap Y$ (pour la distance $d$) soit $\leqslant 1/n$. Il est clair que $Y_n$ est ouvert dans $\overline{Y}$ et contient $Y$. Soit $x$ un point de l’intersection des $Y_n$; $x$ est adhérent à $Y$ et la trace sur $Y$ du filtre des voisinages de $x$ dans $X$ est un filtre de Cauchy (pour la distance $d$); ce filtre converge donc vers un point de $Y$, et par suite $x \in Y$; autrement dit, on a $Y = \bigcap_n Y_n$. Pour tout $n$, soit $H_n$ un ensemble ouvert dans $X$ tel que $H_n \cap \overline{Y} = Y_n$; soit d’autre part $(U_m)$ une suite d’ensembles ouverts dans $X$ tels que $\overline{Y} = \bigcap_m U_m$ (IX, p. 16, prop. 7); alors $Y$ est l’intersection de la famille dénombrable d’ensembles ouverts $(H_n \cap U_m)$.

La condition est évidemment suffisante; elle est nécessaire, parce que tout espace métrisable de type dénombrable est homéomorphe à un sous-espace de $\mathbf{I}^{\mathbf{N}}$ (IX, p. 18, prop. 12).

En effet, on a $Z = \bigcap_n Z_n$, où les $Z_n$ sont ouverts dans $Y$, d’où $f^{-1}(Z) = \bigcap_n f^{-1}(Z_n)$, et les $f(Z_n)$ sont ouverts dans $X$.

En effet, soient $P$ un espace polonais, $f$ une application continue de $P$ sur $X$; l’image par $f$ d’une partie dénombrable dense dans $P$ est une partie dénombrable dense.

En effet, si $f$ est une application continue d’un espace polonais $P$ sur $X$, et $A$ une partie fermée (resp. ouverte) de $X$, $f^{-1}(A)$ est un sous-espace fermé (resp. ouvert) de $P$, donc un sous-espace polonais (IX, p. 57, prop. 1 et prop. 2), et la restriction de $f$ à $f^{-1}(A)$ est une application continue surjective de $f^{-1}(A)$ sur $A$.

En effet, soient $P$, $Q$ des espaces polonais, $g$ une application continue de $P$ sur $X$, $h$ une application continue de $Q$ sur $A$. Soit $R$ l’ensemble des points $(x, y) \in P \times Q$ tels que $f(g(x)) = h(y)$; $R$ est fermé dans $P \times Q$, donc c’est un sous-espace polonais (IX, p. 57, prop. 1). Soit $\varphi$ la restriction à $\mathbf{R}$ de la projection $\mathrm{pr}_1$; le sous-espace $f^{-1}(A)$ de $X$ est alors l’image de $\mathbf{R}$ par l’application continue $g \circ \varphi$, et est par suite souslinien.

En effet, soient, pour tout entier $n$, $X_n$ un espace séparé, $P_n$ un espace polonais, $f_n$ une application continue de $P_n$ sur $X_n$. L’espace produit (resp. somme) des $P_n$ est polonais (IX, p. 57, prop. 1), et l’image de cet espace par l’application produit des $f_n$ (resp. l’application qui coïncide avec $f_n$ dans chaque $P_n$) est l’espace produit (resp. somme) des $X_n$; comme ce dernier est séparé, c’est un espace souslinien.

En effet, ces sous-espaces sont séparés. L’existence de l’application canonique de l’espace somme des $A_n$ sur le sous-espace $\bigcup_n A_n$ de $X$ montre que ce dernier est souslinien (IX, p. 60, prop. 7); d’autre part, $\bigcap_n A_n$ est souslinien en vertu des prop. 5 et 7 (IX, p. 59 et 60) et du lemme 1 (IX, p. 58).

En général, même dans un espace polonais, le complémentaire d’un sous-espace souslinien n’est pas nécessairement souslinien (cf. IX, p. 120, exerc. 8); voir toutefois IX, p. 66, corollaire 1.

La condition est évidemment nécessaire. Inversement, si elle est vérifiée, considérons l’ensemble $\mathscr{L}$ des parties $B$ de $Y$ telles que $f^{-1}(B)$ soit borélien dans $X$. Il est immédiat que $\mathscr{L}$ est une tribu et contient $\mathscr{F}$; elle contient donc la tribu borélienne de $Y$, et par suite $f$ est borélienne.

Il suffit d’appliquer la prop. 9 au cas où $\mathscr{F}$ est l’ensemble des parties ouvertes de $Y$.

En effet, on a $\prod_n A_n = \bigcap_n \overline{\mathrm{pr}}_n^{-1}(A_n)$ et comme $\mathrm{pr}_n$ est continue, $\overline{\mathrm{pr}}_n^{-1}(A_n)$ est borélienne dans $X$ en vertu du cor. 1.

En effet, soit $\mathscr{L}$ l’ensemble des parties $A$ de $X$ telles que $A$ et $\complement A$ soient sousliniens; la prop. 8 (IX, p. 60) montre que $\mathscr{L}$ est une tribu. Toute partie fermée $F$ de $X$ appartient à $\mathscr{L}$, car $F$ et $\complement F$ sont sousliniens (IX, p. 59, prop. 5); donc $\mathscr{L}$ contient tous les ensembles boréliens de $X$ (cf. IX, p. 66, corollaire 1).

En effet, $B$ est souslinien, donc $f(B)$ est souslinien, d’après la Remarque de IX, p. 59.

Remarque. --- 2) Même lorsque X et Y sont polonais, il n’est pas vrai, en général, que l’image d’un ensemble borélien de X par une application continue de X dans Y soit un ensemble borélien de Y (cf. IX, p. 120, exerc. 8, et IX, p. 68, prop. 14).

La condition étant évidemment nécessaire, tout revient à prouver qu’elle est suffisante. Si f est une application continue bijective d’une espace lusinien X sur un espace séparé Y, il résulte de la déf. 7 que Y est lusinien. Tout revient donc à prouver qu’un espace polonais est lusinien.

Notons en premier lieu que si X est un espace lusinien, tout sous-espace fermé (resp. ouvert) A de X est lusinien (cf. IX, p. 66, th. 3) ; en effet, si f est une application continue bijective d’un espace polonais éparpillé P sur X, f(A) est fermé (resp. ouvert) dans P, donc est un sous-espace polonais (IX, p. 57, prop. 1 et 2) et éparpillé, ce qui établit notre assertion.

Tout produit dénombrable d’espaces lusiniens est lusinien : cela résulte de la prop. 1 de IX, p. 57 et du fait que tout produit d’espaces éparpillés est éparpillé. Toute intersection dénombrable de sous-espaces lusiniens d’un espace topologique séparé est un sous-espace lusinien : cela résulte aussitôt des remarques précédentes et du lemme 1 de IX, p. 58. En outre :

En effet, soient, pour tout entier n, P_n un espace polonais éparpillé et f_n une bijection continue de P_n sur A_n ; si P est l’espace somme des P_n, P est polonais

(IX, p. 57, prop. 1) et éparpillé, et l’application $f$ de $P$ dans $X$ qui coïncide avec $f_n$ dans chaque $P_n$ est une bijection continue de $P$ sur $X$, d’où le lemme.

Cela étant, montrons tout d’abord que l’intervalle $I = [0, 1]$ de $\overline{\mathbf{R}}$ est lusinien. Considérons en effet l’application surjective $f : \{0, 1\}^\mathbf{N} \to I$ qui, à tout point $(\varepsilon_n)_{n \geq 0}$ avec $\varepsilon_n = 0$ ou $\varepsilon_n = 1$, fait correspondre le nombre $\sum_{n=0}^\infty \varepsilon_n 2^{-n}$ ayant $(\varepsilon_n)$ pour développement dyadique (IV, p. 43). Soit $D$ l’ensemble dénombrable dans $\{0, 1\}^\mathbf{N}$ formé des suites autre que la suite 0, n’ayant qu’un nombre fini de termes $\neq 0$; $P = \{0, 1\}^\mathbf{N} - D$ est un espace polonais éparpillé (IX, p. 58, th. 1), et la restriction de $f$ à $P$ est une bijection continue de $P$ sur $I$ (IV, p. 42).

Soit enfin $P$ un espace polonais quelconque; d’après le cor. 1 de IX, p. 58, $P$ est homéomorphe à un sous-espace du cube $I^\mathbf{N}$, intersection dénombrable d’ensembles ouverts de $I^\mathbf{N}$; la proposition résulte donc du fait que $I$ est lusinien et des remarques faites au début de la démonstration.

Observons d’abord que si U est un ensemble ouvert dans un espace métrique X de type dénombrable, et $\varepsilon$ un nombre > 0, il existe un recouvrement dénombrable de U par des ensembles ouverts de diamètre $\leq \varepsilon$, dont les adhérences dans X sont contenues dans U : il suffit en effet, pour tout $x \in U$, de considérer une boule ouverte $B_x$ de centre x et de rayon $\leq \varepsilon/2$, dont l’adhérence dans X soit contenue dans U, puis d’appliquer la prop. 13 de IX, p. 19 au recouvrement formé par les $B_x$. Si de plus X est éparpillé, il existe un tel recouvrement ($V_n$) formé d’ensembles à la fois ouverts et fermés dans X ; en désignant par $W_n$ l’intersection de $V_n$ et des $X - V_k$ pour $k < n$, on voit que les $W_n$ sont à la fois ouverts et fermés dans X, de diamètre $\leq \varepsilon$, deux à deux disjoints et recouvrent U.

Soit alors X un espace métrique de type dénombrable. Soit $C_0$ l’ensemble des indices d’un recouvrement dénombrable de X formé d’ensembles ouverts non vides de diamètre $\leq 1$, deux à deux disjoints si X est éparpillé ; $\varphi_0$ sera l’application qui, à chaque indice $c \in C_0$, associe l’ensemble correspondant du recouvrement. Supposons déjà définis les $C_i$ et les $\varphi_i$, ainsi que les surjections $p_i : C_{i+1} \to C_i$ pour $i \leq n$, de façon que la condition b) soit satisfaite pour ces indices. Si $c \in C_n$, $\varphi_n(c)$ est ouvert dans X, donc possède un recouvrement dénombrable par des ensembles ouverts non vides de diamètre $\leq 2^{-n-1}$, dont les adhérences dans X sont contenues dans $\varphi_n(c)$, et qui sont deux à deux disjoints lorsque X (donc $\varphi_n(c)$) est éparpillé ; si $I(c)$ est l’ensemble des indices de ce recouvrement, on prend pour $C_{n+1}$ l’ensemble somme des $I(c)$ lorsque $c$ parcourt $C_n$ ; pour tout $c' \in C_{n+1}$, on désigne par $p_n(c')$ l’unique élément $c \in C_n$ tel que $c' \in I(c)$, et par $\varphi_{n+1}(c')$ l’ensemble d’indice $c'$ du recouvrement considéré de $\varphi_n(c)$. Il est clair que l’on a ainsi défini par récurrence un criblage de X, et que ce criblage est strict si X est éparpillé, d’où le lemme.

Supposons maintenant que X soit un espace métrique complet de type dénombrable, et considérons un criblage de X par un crible C et des applications $\varphi_n$. Si $\gamma = (c_n)$ est un point de l’espace $L(C)$ associé à C, la suite $(\varphi_n(c_n))$ est une suite décroissante d’ensembles ouverts dans X, dont chacun contient l’adhérence du suivant dans X, et dont le diamètre tend vers 0 ; l’intersection de cette suite d’ensembles est donc réduite à un point (II, p. 15), qu’on notera $f(\gamma)$. On a ainsi défini une application $f$ de $L(C)$ dans X ; si deux points $\gamma, \gamma'$ de $L(C)$ ont mêmes coordonnées d’indice i pour $i \leq n$, il est clair que la distance de $f(\gamma)$ et de $f(\gamma')$ est $\leq 2^{-n}$, donc $f$ est continue en vertu de la définition de la topologie de $L(C)$. Pour tout $x \in X$, il résulte de la définition d’un criblage qu’on peut définir par récurrence sur $n$ une suite $\gamma = (c_n)$ telle que $x \in \varphi_n(c_n)$ pour tout $n \geq 0$ et $c_n = p_n(c_{n+1})$; on a par suite $x = f(\gamma)$, autrement dit $f$ est surjective. En outre, si le criblage est strict, la suite $\gamma = (c_n)$ telle que $x = f(\gamma)$ est unique, donc $f$ est bijective. On dira que $f$ est l’application déduite du criblage considéré.

Compte tenu de la définition d’un espace lusinien (IX, p. 62, déf. 7) (resp. souslinien (IX, p. 59, déf. 2)), on se ramène au cas où $E$ est polonais et éparpillé (resp. polonais) et le raisonnement qui précède démontre alors la prop. 12.

Nous établirons d’abord deux lemmes:

En effet, l’ensemble $B = \bigcup_n \left( \bigcap_m B_{nm} \right)$ répond à la question.

En effet, d’après IX, p. 65, prop. 12, il existe deux cribles $C, C'$, une application continue $f$ de $L(C)$ sur $A$ et une application continue $f'$ de $L(C')$ sur $A'$, définies suivant le procédé décrit dans IX, p. 64. Pour tout $n \geq 0$ et tout $c \in C_n$, notons $q_n(c)$ le sous-espace de $L(C)$ formé des suites $(c_k)_{k \geq 0}$ telles que $c_n = c$; c’est un sous-espace fermé de $L(C)$. Pour tout $\gamma = (c_n) \in L(C)$, la suite des ensembles fermés $q_n(c_n)$ est décroissante et constitue une base de filtre ayant pour limite $\gamma$. En outre, pour tout $c \in C_n$, les ensembles $q_{n+i}(d)$, où $d$ parcourt l’ensemble $p_n^{-1}(c)$ dans $C_{n+i}$, forment une partition de $q_n(c)$. Notations analogues pour le crible $C'$.

Cela étant, on va raisonner par l’absurde, en supposant que tout ensemble borélien contenant $A$ rencontre $A'$. En premier lieu, il résulte du lemme 4 (IX, p. 65) et de la définition d’un criblage qu’il existe $c_0 \in C_0$ et $c'_0 \in C'_0$ tels que tout ensemble borélien contenant $f(q_0(c_0))$ rencontre $f'(q'_0(c'_0))$. On va alors définir par récurrence sur $n$ deux éléments $\gamma = (c_n) \in L(C), \gamma' = (c'_n) \in L(C')$ de la façon suivante: supposons déjà définis les $c_i$ et $c'_i$ pour $i < n$, de manière que, pour chaque indice $i < n$, tout ensemble borélien contenant $f(q_i(c_i))$ rencontre $f'(q'_i(c'_i))$; en appliquant le lemme 4 et la définition d’un criblage aux ensembles $f(q_{n-i}(c_{n-i}))$ et $f'(q'_{n-i}(c'_{n-i}))$, on voit qu’il existe $c_n \in C_n$ et $c'_n \in C'_n$ tels que $p_{n-i}(c_n) = c_{n-i}$, $p'_{n-i}(c'_n) = c'_{n-i}$ et que tout ensemble borélien contenant $f(q_n(c_n))$ rencontre $f'(q'_n(c'_n))$. Or, la suite des $f(q_n(c_n))$ converge vers un point $a = f(\gamma) \in A$, et la base de filtre des $f'(q'_n(c'_n))$ converge vers un point $a' = f'(\gamma') \in A'$. Comme $A \cap A' = \varnothing$ et que $X$ est séparé, il existe un voisinage fermé $V$ de $a$ ne contenant pas $a'$; pour $n$ assez grand, $V$ contient $f(q_n(c_n))$ et ne rencontre pas $f'(q'_n(c'_n))$, d’où contradiction puisque $V$ est borélien.

Ces lemmes étant démontrés, pour tout entier $n$, désignons par $F_n$ la réunion des ensembles $X_i$ tels que $i \neq n$; $F_n$ est un sous-espace souslinien (IX, p. 60, prop. 8). Pour chaque indice $n$, il existe, en vertu du lemme 5, un ensemble borélien $B'_n$ qui contient $X_n$ et ne rencontre pas $F_n$. Soit $B_n$ l’intersection de $B'_n$ et de $\bigcap_{i < n} (X - B')$. Les $B_n$ sont boréliens, deux à deux disjoints, et l’on a $B_n \supset X_n$ pour tout $n$, ce qui achève la démonstration du th. 2.

Le cor. 1 de la prop. 9 montre que la condition est nécessaire. D’autre part, si $f^{-1}(B)$ est borélien, $B = f(f^{-1}(B))$ et $F - B = f(E - f^{-1}(B))$ sont sousliniens (cor. de la prop. 10), donc boréliens (cor. 1).

Cela va résulter des deux lemmes suivants:

(En d’autres termes, pour toute partie borélienne $B$ de $X$, il existe un espace polonais éparpillé $P$ et une application continue injective $f : P \to E$ telle que $f(P) = B$).

Soit $\mathfrak{S}$ l’ensemble des parties $A$ de $X$ telles que les sous-espaces $A$ et $\complement A$ soient lusiniens. Tout ensemble fermé et tout ensemble ouvert dans $X$ étant un sous-espace lusinien (IX, p. 62), $\mathfrak{S}$ contient tous les ensembles fermés de $X$. Le lemme sera donc établi si on prouve que $\mathfrak{L}$ est une tribu. Il suffit pour cela de montrer que si $(A_n)$ est une suite d’ensembles de $\mathfrak{L}$, les sous-espaces $\bigcap_n A_n$ et $\bigcup_n A_n$ sont lusiniens. Or, on a vu (IX, p. 62) que toute intersection dénombrable de sous-espaces lusiniens est un sous-espace lusinien. D’autre part, si $B_n$ est l’intersection de $A_n$ et de $\bigcap_{i < n} CA_i$, il résulte de l’hypothèse et de la remarque précédente que $B_n$ est un sous-espace lusinien; comme on a $\bigcup_n A_n = \bigcup_n B_n$, le sous-espace $\bigcup_n A_n$ est lusinien en vertu du lemme 2 (IX, p. 62).

D’après la prop. 12 (IX, p. 65), il existe un crible $C$ et une bijection continue $f$ de $L(C)$ sur $A$. Avec les notations du lemme 5 (IX, p. 65), pour tout entier $n$ et tout $c \in C_n$, notons $g_n(c)$ le sous-espace $f(q_n(c))$ de $X$; c’est un sous-espace lusinien de $X$, donc un sous-espace souslinien. Lorsque $c$ parcourt $C_n$, les ensembles $g_n(c)$ sont deux à deux disjoints, puisque $f$ est bijective; en vertu du th. 2 (IX, p. 65), il existe donc une famille $c \mapsto g'_n(c)$ ($c \in C_n$) d’ensembles boréliens dans $X$, deux à deux disjoints et tels que $g'_n(c) \supseteq g_n(c)$ pour tout $c \in C_n$. Quitte à remplacer $g'_n(c)$ par son intersection avec l’adhérence $\overline{g_n(c)}$ de $g_n(c)$ dans $X$, on peut supposer que $g'_n(c) \subset \overline{g_n(c)}$. Désignons par $c_{n-i}, c_{n-2}, \ldots, c_0$ les images de $c$ dans $C_{n-i}, C_{n-2}, \ldots C_0$ par les surjections

respectivement; notons $h_n(c)$ l’intersection des ensembles

Comme $q_i(c_i) \supset q_n(c)$ pour $0 \leq i \leq n-1$, $h_n(c)$ contient $g_n(c)$; il est clair en outre que $h_n(c)$ est borélien et contenu dans $\overline{g_n(c)}$, et que lorsque $c$ parcourt $C_n$, les $h_n(c)$ sont deux à deux disjoints; enfin, par construction, pour tout $c' \in C_{n+i}$, on a $h_{n+i}(c') \subset h_n(p_n(c'))$. Soit alors $B_n$ la réunion des $h_n(c)$ pour $c \in C_n$; $B_n$ est borélien, et $B_{n+i} \subset B_n$; de plus, $B_n$ contient la réunion des $g_n(c)$ (où $c \in C_n$), réunion qui n’est autre que $A$. Soit $B$ l’intersection de la suite décroissante des $B_n$; l’ensemble $B$ est borélien et contient $A$. On va montrer que $B = A$, ce qui achèvera la démonstration.

Soit $x$ un point de $B$; pour chaque entier $n$, il existe un $c \in C_n$ et un seul tel que $x \in h_n(c)$: notons-le $c_n(x)$; alors la suite $(c_n(x))_{n \geq 0}$ appartient à $L(C)$. La suite décroissante $(g_n(c_n(x)))$ converge par définition vers un point $a \in A$; la suite des adhérences de ces ensembles converge aussi vers $a$ dans $X$, puisque $X$ est régulier, et il en est de même a fortiori de la suite $(h_n(c_n(x)))$. Or, $x$ appartient à tous les ensembles $h_n(c_n(x))$, donc $x = a \in A$ et le théorème est démontré.

Pour $i < n$, posons $A_{n,i} = A_n \cap A_i$; c’est un sous-espace lusinien, donc borélien, de $A_n$. Par suite, l’intersection $B_n$ des $A_n - A_{n,i}$ ($i < n$) est un sous-ensemble borélien de $A_n$, donc lusinien. Comme les $B_n$ sont deux à deux disjoints, et que leur réunion est égale à celle des $A_n$, cette dernière est un espace lusinien d’après le lemme 2 de IX, p. 62.