La famille des adhérences des ensembles d’une famille localement finie étant localement finie, on peut se borner à prouver que si $(A_\alpha)$ est une famille localement finie d’ensembles fermés rares, l’intersection des ouverts $\complement A_\alpha$ est un ouvert partout dense. Or, pour tout $x \in X$, il y a un voisinage ouvert $U$ de $x$ ne rencontrant qu’un nombre fini d’ensembles $A_{\alpha_k}$ ($1 \leq k \leq n$). Prouvons par récurrence sur $h$ que l’intersection de $U$ et des $\complement A_{\alpha_k}$ pour $k \leq h$ est un ouvert non vide : il suffit de remarquer que $\complement A_{\alpha_n}$ est partout dense, donc son intersection avec l’ouvert non vide intersection de $U$ et des $\complement A_{\alpha_k}$ pour $1 \leq k \leq h - 1$ n’est pas vide.

Soit $Y$ un sous-espace de l’espace topologique $X$. Une partie $A$ de $Y$ est dite rare relativement à $Y$ si $A$ est un ensemble rare quand on le considère comme partie de l’espace topologique $Y$.

Supposons $A$ rare relativement à $Y$; si l’adhérence $\overline{A}$ de $A$ relativement à $X$ contenait un ensemble ouvert non vide $U$, $U \cap A$ ne serait pas vide (par définition de l’adhérence), donc $U \cap Y$ serait un ensemble ouvert non vide par rapport à $Y$, et serait contenu dans l’adhérence $\overline{A} \cap Y$ de $A$ par rapport à $Y$, contrairement à l’hypothèse.

Supposons maintenant que $Y$ soit ouvert dans $X$, et que $A \subset Y$ soit rare relativement à $X$; si $U$ est un ensemble ouvert relativement à $Y$ et non vide, $U$ est ouvert relativement à $X$, donc contient un ensemble non vide $V$ ouvert par rapport à $X$ (et a fortiori par rapport à $Y$) et ne rencontrant pas $A$, ce qui montre que $A$ est rare relativement à $Y$.

La seconde partie de la prop. 2 est évidemment inexacte lorsque $Y$ n’est pas ouvert dans $X$: il suffit pour le voir de considérer le cas où $Y \neq \varnothing$ est rare relativement à $X$, et $A = Y$.

Cela résulte de (EB'') puisque tout ensemble ouvert (resp. maigre) dans Y est ouvert (resp. maigre) dans X.

D’après cette proposition, tout point d’un espace de Baire admet un système fondamental de voisinages dont chacun est un espace de Baire. Réciproquement :

En effet, soient A un ensemble ouvert non vide dans X, x un point de A, V un voisinage ouvert de x qui soit un espace de Baire ; si A était maigre dans X, V ∩ A serait maigre dans V et ouvert dans V, contrairement à l’hypothèse.

En effet, soit A un ensemble maigre dans X ; son complémentaire Y = C A par rapport à X est partout dense dans X. Soit B un ensemble maigre relativement à Y ; B est aussi maigre relativement à X, donc A ∪ B est maigre relativement à X. Le complémentaire de A ∪ B relativement à X, qui est aussi le complémentaire de B relativement à Y, est donc partout dense dans X, et a fortiori dans Y, ce qui démontre la proposition.

Nous allons montrer que dans chacun des deux cas l’axiome (EB) est vérifié. Soit (A_n) une suite d’ensembles ouverts partout denses dans X, et soit G un ensemble ouvert non vide quelconque. On peut définir par récurrence une suite (G_n) d’ensembles ouverts non vides tels que G_1 = G et G_{n+1} \subset G_n \cap A_n; en effet, G_n n’étant pas vide par hypothèse, G_n \cap A_n est un ensemble ouvert non vide; comme X est régulier dans les deux cas envisagés, il existe un ensemble ouvert non vide G_{n+1} tel que \overline{G}_{n+1} \subset G_n \cap A_n. Cela étant l’ensemble $G \cap \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n$ contient l’intersection des G_n, et cette dernière est identique à l’intersection des \overline{G}_n; tout revient à montrer que les ensembles \overline{G}_n ont une intersection non vide. Or, lorsque X est localement compact, on peut supposer \overline{G}_2 compact; dans l’espace compact \overline{G}_2, les \overline{G}_n (n \geq 2) forment une suite décroissante d’ensembles fermés non vides, et ont donc au moins un point commun d’après l’axiome (C''). Lorsque X est un espace métrique complet (pour une distance compatible avec sa topologie), on peut supposer \overline{G}_n choisi de sorte que son diamètre (relatif à cette distance) tende vers 0 lorsque n croît indéfiniment; les \overline{G}_n forment alors une base de filtre de Cauchy qui converge vers un point appartenant nécessairement à leur intersection.

Soit x_0 \in M. Il suffit de prouver (III, p. 12, prop. 15) que l’application s \mapsto s.x_0 transforme tout voisinage V de l’élément neutre dans G en un voisinage de x_0 dans M. Soit W un voisinage compact symétrique de e dans G tel que W^2 \subset V. Par hypothèse, G est réunion d’une suite d’ensembles compacts, donc d’une suite de translatés (s_nW) de W, tout compact pouvant être recouvert par un nombre fini de tels ensembles. Alors M est réunion de la suite des ensembles s_n W . x_0, qui sont compacts (donc fermés dans M) puisque M est séparé et s \mapsto s . x_0 continue. Comme M est un espace de Baire, il existe un indice n tel que s_n W . x_0 admette un point intérieur s_n w . x_0 avec w \in W. Par suite x_0 est point intérieur de

(III, p. 9, lemme 1) de sorte que V . x_0 est un voisinage de x_0 dans M.

En effet, on peut considérer G’ comme un espace où G opère continûment et transitivement par la loi (s, t’) \mapsto f(s)t’, et le stabilisateur de l’élément neutre e’ de G pour cette loi est H; il suffit donc d’appliquer la prop. 6.

On peut encore énoncer le théorème en disant que l’ensemble des points au voisinage desquels la famille (f_\alpha) est uniformément majorée est un ensemble ouvert partout dense.

Soit f = \sup_\alpha f_\alpha l’enveloppe supérieure de la famille (f_\alpha); la fonction f est semi-continue inférieurement (IV, p. 30, th. 4) et finie en tout point de X. Il suffit donc de faire la démonstration lorsque la famille (f_\alpha) se réduit à une seule fonction f. Soit A_n l’ensemble des points x \in X tels que f(x) \leq n; A_n est fermé (IV, p. 29, prop. 1) et l’hypothèse entraîne que X est réunion des A_n, donc l’un au moins des A_n a un point intérieur, ce qui montre qu’il existe un ensemble ouvert non vide dans lequel f est majoré (par un entier n). Si on applique ce résultat à un sous-espace ouvert non vide quelconque de X (sous-espace qui est un espace de Baire d’après la prop. 3 de IX, p. 54), on obtient le théorème.

Les applications les plus fréquentes de ce théorème se rapportent au cas où les f_\alpha sont continues dans X.