En ce qui concerne les espaces localement compacts, tout point d’un tel espace possède un voisinage compact, qui est un sous-espace normal; mais on peut donner des exemples d’espaces localement compacts non normaux (cf. exerc. 12 (IX, p. 103), exerc. 8 (IX, p. 85), exerc. 14 (IX, p. 113). Nous verrons plus loin (IX, p. 49, prop. 4) que tout espace paracompact est normal.

Il est immédiat que (O''_V) entraîne (O_V); car, si B et C sont deux ensembles fermés sans point commun dans X, la fonction égale à 0 dans B, à 1 dans C, est définie et continue dans l’ensemble fermé B \cup C. Si f est un prolongement continu de cette fonction dans X, et si on pose g = \inf(f^+, 1), g est continue dans X, prend ses valeurs dans [0, 1], et est égale à 0 dans B, à 1 dans C.

Montrons inversement que (O_V) entraîne (O''_V); comme \mathbf{R} et l’intervalle (−1, +1) sont homéomorphes, on peut se borner au cas où l’application continue f de A dans \mathbf{R} prend ses valeurs dans (−1, +1). Nous définirons le prolongement g de f en formant une suite (g_n) de fonctions continues dans X, telle que la suite (g_n(x)) soit convergente en tout point vers un nombre de l’intervalle (−1, +1); cette limite sera par définition la valeur de g(x), et il résultera du choix des g_n que la fonction g remplira les conditions voulues.

La définition des g_n repose sur le lemme suivant:

En effet, soient H l’ensemble des x ∈ A tels que −1 ≤ u(x) ≤ −\frac{1}{3}, K l’ensemble des x ∈ A tels que \frac{1}{3} ≤ u(x) ≤ 1; H et K sont fermés dans A, donc dans X, et ne se rencontrent pas; d’après (O_V), il existe une application continue v de X dans (−\frac{1}{3}, +\frac{1}{3}), égale à −\frac{1}{3} dans H, à \frac{1}{3} dans K; elle satisfait aux conditions du lemme.

Ce lemme étant démontré, définissons les g_n par récurrence. Appliquant le lemme pour u = f, on définit g_0 comme une application continue de X dans (−\frac{1}{3}, +\frac{1}{3}) telle que |f(x) − g_0(x)| ≤ \frac{2}{3} dans A. Supposons ensuite définie l’application continue g_n de X dans l’intervalle (−1 + (\frac{2}{3})^{n+1}, 1 − (\frac{2}{3})^{n+1}), telle que $|f(x) - g_n(x)| \leq (\frac{2}{3})^{n+1}$ dans A. Appliquant le lemme à la fonction $u(x) = (\frac{3}{2})^{n+1} (f(x) - g_n(x))$, on voit qu’il existe une application continue $h_{n+1}$ de X dans l’intervalle $(-\frac{2^{n+1}}{3^{n+2}}, \frac{2^{n+1}}{3^{n+2}})$ telle que

dans A; la récurrence se poursuit en prenant $g_{n+1} = g_n + h_{n+1}$, cette fonction satisfaisant bien à l’inégalité $|g_{n+1}(x)| \leq 1 - (\frac{2}{3})^{n+2}$ dans X, en vertu de la définition de $h_{n+1}$.

De cette définition, on conclut que pour $m \geq p, n \geq p$, on a

en tout point $x \in X$; on en déduit d’abord que la suite $(g_n(x))$ est une suite de Cauchy, donc converge vers un point $g(x)$ de l’intervalle $(-1, +1)$; comme $f(x) - g_n(x)$ tend vers 0 en tout point de A lorsque $n$ croît indéfiniment, $g$ est bien un prolongement de $f$ à X. Reste à voir que $g$ est continue dans X.

Soit donc $x$ un point quelconque de X; quel que soit $\varepsilon > 0$, il existe $n_0$ tel que, pour $m \geq n_0$ et $n \geq n_0$, on ait $|g_m(y) - g_n(y)| \leq \varepsilon$ pour tout $y \in X$, donc aussi, en faisant tendre $m$ vers $+\infty$, $|g(y) - g_n(y)| \leq \varepsilon$; soit V un voisinage de $x$ tel que $|g_n(y) - g_n(x)| \leq \varepsilon$ pour tout $y \in V$; on aura aussi, pour tout $y \in V$

ce qui montre la continuité de $g$ au point $x$, et achève la démonstration (cette dernière partie du raisonnement utilise, dans un cas particulier, la notion de convergence uniforme, que nous définirons de manière générale dans X, p. 2).

Démontrons-le d’abord lorsque $f(x) \geq 0$ dans A; il existe alors un prolongement continu $g_1$ de $f$ à X, prenant ses valeurs dans $[0, +\infty)$. Si on pose $B = g_1^{-1}(+\infty)$, $\overline{B}$ est fermé et ne rencontre pas A par hypothèse; la fonction $h$, égale à $f$ dans A, à 0 dans B, est donc continue dans l’ensemble fermé $A \cup B$. Soit $g_2$ un prolongement continu de $h$ à X, prenant encore ses valeurs dans $[0, +\infty)$; la fonction $g = \inf(g_1, g_2)$ est un prolongement continu de $f$ à X, à valeurs $\geq 0$ et finies en tout point de X.

Pour passer de là au cas général, il suffit de remarquer que, si $f$ est finie et continue dans A, il en est de même de $f^+$ et $f^-$; en prolongeant $f^+$ et $f^-$ à X par des fonctions continues et finies $g_1, g_2$ respectivement, la fonction $g_1 - g_2$ est finie et continue dans X et prolonge $f$.

Comme $\sum_{i \in I} f_i(x) = 1$, il existe une partie finie $J$ de $I$ telle que

Les $f_i$ étant continues, il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que, pour tout $y \in V$, on ait $\sum_{i \in J} f_i(y) > 1 - a$; d’où le lemme.

Soit $x$ un point de $X$; il existe $\kappa \in I$ tel que $f_\kappa(x) \neq 0$. Posons $f_\kappa(x) = 4a > 0$, et soit $W$ un voisinage de $x$ dans $X$ tel que $f_\kappa(y) \geq 2a$ pour $y \in W$. En vertu du lemme 2, il existe un voisinage $V$ de $x$ et une partie finie $J$ de $I$ tels que $f_i(y) < a$ pour $y \in V$ et $i \in I - J$. Alors, si $y \in V \cap W$, on a $\sup_{i \in I} f_i(y) \geq 2a$, donc $\sup_{i \in I} f_i(y) = \sup_{i \in J} f_i(y)$, ce qui prouve que $\sup_{i \in I} f_i$ est continue au point $x$.

Posons alors, pour tout $\lambda \in I$,

Chacune des fonctions $g_\lambda$ est continue en vertu du lemme 3; en outre la famille $(g_\lambda)_{\lambda \in I}$ est subordonnée à $(U_\lambda)_{\lambda \in I}$ et la famille des supports des $g_\lambda$ est localement finie. En effet, avec les notations du lemme 3, pour $y \in V \cap W$ et $\lambda \in I - J$, on a $f_\lambda(y) < a \leq \frac{1}{2} \sup_{i \in I} f_i(y)$, donc $g_\lambda(y) = 0$ dans $V \cap W$, et par suite D’autre part, comme $\sum_{i \in I} f_i(z) = 1$ pour tout $z \in X$, on a $\sup_{i \in I} f_i(z) > 0$ pour tout $z \in X$. Si $z$ est un point de $\bigcup U_\lambda$, on a $f_\lambda(z) = 0$ et par continuité il existe un voisinage $T$ de $z$ dans $X$ tel que $f_\lambda(t) - \frac{1}{2} \sup_{i \in I} f_i(t) < 0$ pour $t \in T$, autrement dit $g_\lambda(t) = 0$ pour $t \in T$; cela prouve que $\operatorname{Supp}(g_\lambda) \subset U_\lambda$.

Notons enfin qu’avec les mêmes notations, il existe un indice $\lambda \in J$ tel que $\sup_{i \in I} f_i(x) = f_\lambda(x) > 0$, et l’on a $g_\lambda(x) = \frac{1}{2} f_\lambda(x) > 0$; la fonction $h = \sum_{i \in I} g_i$ est donc continue et $> 0$ en tout point de $X$. On en conclut que si l’on pose $h_i = g_i/h$, la famille $(h_i)_{i \in I}$ est une partition de l’unité répondant aux conditions de l’énoncé.

Munissons I d’une structure d’ensemble bien ordonné (E, III, p. 20, th. 1); nous allons définir par récurrence transfinie une famille $(g_i)_{i \in I}$ d’applications continues de $X$ dans $[0, 1]$, telle que: $1^\circ$ Supp$(g_i) \subset A_i$ pour tout $i \in I$; $2^\circ$ si $B_i$ est l’ensemble ouvert des $x \in X$ tels que $g_i(x) > 0$, alors, pour tout $i \in I$, la famille formée des $B_\lambda$ tels que $\lambda \leq i$, et des $A_\lambda$ tels que $\lambda > i$, soit un recouvrement ouvert de $X$. Supposons en effet les $g_i$ définis pour $i < \gamma$, de sorte que les deux propriétés précédentes soient vérifiées pour tout $i < \gamma$, et montrons qu’on peut définir $g_\gamma$ de sorte qu’elles soient aussi vérifiées pour $i = \gamma$. Montrons d’abord que les $B_i$ tels que $i < \gamma$ et les $A_i$ tels que $i \geq \gamma$ forment un recouvrement de $X$. Par hypothèse, pour tout $x \in X$, il n’y a qu’un nombre fini d’indices $\lambda \in I$ tels que $x \in A_\lambda$, soient $\lambda_1 < \lambda_2 < \cdots < \lambda_n$; soit $\lambda_n$ le plus grand des $\lambda_i$ tels que $\lambda_i < \gamma$; si $h < n$, on a $x \in A_{\lambda_n}$ et $\lambda_n \geq \gamma$; si $h = n$, l’hypothèse de récurrence montre que $x$ appartient à un $B_\lambda$ tel que $\lambda \leq \lambda_n < \gamma$, d’où notre assertion. Posons alors $C = (\bigcup_{i < \gamma} B_i) \cup (\bigcup_{i > \gamma} A_i)$; $C$ est ouvert et on a d’après ce qui précède $C \cap A_\gamma \subset C$; en vertu de l’axiome $(O_v)$ des espaces normaux, il existe donc une application continue $g_\gamma$ de $X$ dans $[0, 1]$, telle que $g_\gamma(x) = 0$ dans $C \cap A_\gamma$, et $g_\gamma(x) = 1$ dans $C$. On a par suite Supp$(g_\gamma) \subset A_\gamma$, et d’autre part, l’ensemble $B_\gamma$ des $x$ tels que $g_\gamma(x) > 0$ contient $C$, en d’autres termes, $B_\gamma \cup C = X$. Les $B_i$ tels que $i \leq \gamma$ et les $A_i$ tels que $i > \gamma$ forment donc bien un recouvrement de $X$, ce qui montre que l’on peut poursuivre la récurrence. Cela étant, il est clair que la famille $(B_i)_{i \in I}$ ainsi définie est un recouvrement de $X$ puisque pour tout $x \in X$, il existe un indice $\gamma$ tel que $x \notin A_i$ pour $i > \gamma$. Ce recouvrement étant localement fini, on peut former la fonction continue $g = \sum_{i \in I} g_i$, et par définition des $B_i$, on a $g(x) > 0$ pour tout $x \in X$. Si on pose $f_i(x) = g_i(x)/g(x)$ pour tout $i \in I$ et tout $x \in X$, les $f_i$ forment une partition continue de l’unité subordonnée au recouvrement $(A_i)$.

En effet, les $B_i$ construits dans la preuve du th. 3 répondent à la question puisque $B_i = \operatorname{Supp}(g_i)$.

En effet, la famille d’ensembles formées des $A_i$ et de $C F$ est un recouvrement ouvert localement fini de $X$. Il existe donc une partition continue de l’unité subordonnée à ce recouvrement, formée d’une famille $(f_i)_{i \in I}$ telle que $\operatorname{Supp}(f_i) \subset A_i$ pour tout $i \in I$, et d’une fonction $g$ de support contenu dans $C F$; il est clair que la famille $(f_i)$ répond à la question.

La proposition résultera du lemme suivant:

Supposons en effet ce lemme démontré; on peut l’appliquer au cas où B est réduit à un point, puisque X est séparé, et il montre alors que X est régulier. On peut alors appliquer de nouveau le lemme 2 à deux parties fermées quelconques sans point commun dans X, et cela montre que l’axiome (O'_V) est vérifié.

Pour démontrer le lemme, considérons le recouvrement ouvert de X formé de C A et des V_x, où x parcourt A, et soit (T_i)_{i∈I} un recouvrement ouvert plus fin et localement fini; par définition, si A ∩ T_i ≠ ∅, il existe x_i ∈ A tel que T_i ⊂ V_{x_i}. Soit T l’ensemble ouvert réunion des T_i tels que A ∩ T_i ≠ ∅ ; montrons qu’il existe un voisinage ouvert U de B ne rencontrant pas T. En effet, pour tout y ∈ B, il existe un voisinage ouvert S_y de y ne rencontrant qu’un nombre fini d’ensembles T_i ; soit J la partie finie de I formée des indices tels que T_i rencontre à la fois S_y et A; si on pose U_y = S_y ∩ ⋂_{i∈J} W_{x_i}, U_y est un voisinage ouvert de y ne rencontrant aucun des T_i, et par suite U_y ∩ T = ∅. Il suffit alors de prendre U = ⋃_{y∈B} U_y pour répondre à la question.

On peut donner des exemples d’espaces normaux qui ne sont pas paracompacts (IX, p. 107, exerc. 26).

En effet, soit (U_λ)_{λ∈L} un recouvrement ouvert localement fini plus fin que (A_i)_{i∈I}; il existe donc une application φ de L dans I telle que U_λ ⊂ A_{φ(λ)} pour tout λ ∈ L. D’après le th. 3 (IX, p. 47) et la prop. 4, il existe une partition continue de l’unité (g_λ)_{λ∈L} subordonnée à (U_λ); pour tout i ∈ I, posons f_i = ∑_{φ(λ)=i} g_λ somme qui est définie et continue puisque les supports des g_λ forment une famille localement finie; en outre, la réunion B_i des supports des g_λ tels que φ(λ) = i est fermée (I, p. 6) et contenue dans A_i; comme on a f_i(x) = 0 pour x ∈ C B_i, le support de f_i est contenu dans B_i, donc dans A_i. D’autre part, la famille (B_i) est localement finie, car pour tout x ∈ X, il y a un voisinage V de x et une partie finie

H de L telle que $V \cap U_\lambda = \varnothing$ pour $\lambda \notin H$; on en conclut que $V \cap B_i = \varnothing$ pour $i \notin \varphi(H)$. Enfin, on a, pour tout $x \in X$,

ce qui achève de démontrer le corollaire.

a) F n’est identiquement nulle dans aucune classe suivant R; b) pour toute partie compacte K de $X/R$, l’intersection de $\pi^{-1}(K)$ avec $\operatorname{Supp}(F)$ est compacte.

Pour tout $z \in X/R$, soit $f_z : X \to [0, 1]$ une fonction continue dont le support est compact et qui n’est pas identiquement nulle dans $\pi^{-1}(z)$ (IX, p. 44, th. 2); soit $S_z$ l’ensemble ouvert des points $x \in X$ tels que $f_z(x) > 0$; on a donc $z \in \pi(S_z)$. Comme $\pi$ est une application ouverte, les $\pi(S_z)$ forment un recouvrement ouvert de $X/R$. Il existe donc un recouvrement ouvert $(U_i)_{i \in I}$ de $X/R$ localement fini, plus fin que le recouvrement formé des $\pi(S_z)$, puis (IX, p. 49, cor. 1) une partition continue de l’unité $(g_i)_{i \in I}$ sur $X/R$, subordonnée au recouvrement $(U_i)_{i \in I}$. Pour tout $i \in I$, soit $z_i \in X/R$ tel que $U_i \subset \pi(S_{z_i})$. La fonction $F_i = (g_i \circ \pi) \cdot f_{z_i}$ est continue, a son support contenu dans $\operatorname{Supp}(f_{z_i})$, donc compact; en outre, ce support est aussi contenu dans $\pi^{-1}(U_i)$. Les ensembles $\operatorname{Supp}(F_i)$ forment donc une famille localement finie, de sorte (IX, p. 46) qu’on définit une fonction finie et continue $F \geq 0$ dans X en posant $F = \sum_{i \in I} F_i$. Pour tout $z \in X/R$, il existe $i \in I$ tel que $g_i(z) > 0$, donc $z \in U_i$; puis il existe $x \in S_{z_i}$ tel que $\pi(x) = z$; alors $f_{z_i}(x) > 0$ et $g_i(\pi(x)) > 0$, donc $F_i(x) > 0$ et a fortiori $F(x) > 0$; ceci prouve que F possède la propriété a). Enfin, soit K une partie compacte de $X/R$. Il existe une partie finie J de I telle que, pour tout $i \in I - J$, on ait $U_i \cap K = \varnothing$, donc $\pi^{-1}(K) \cap \operatorname{Supp}(F_i) = \varnothing$. Alors

est compact.

En effet, si X est un espace métrisable, il est séparé. Il suffit de prouver la proposition suivante:

En effet, la prop. 3 (IX, p. 46) montre alors qu’il existe aussi une partition continue localement finie de l’unité $(g_i)_{i \in I}$ subordonnée à $(U_i)_{i \in I}$. Les ouverts $V_i = g_i([0, +\infty[)$ formeront un recouvrement ouvert de X, plus fin que $(U_i)_{i \in I}$ et localement fini.

Pour prouver la prop. 6, prenons sur X une distance $d \leq 1$ compatible avec la topologie de X (IX, p. 3 et 15). Pour tout $i \in I$, posons

On a donc $f_i(x) = 0$ si $x \notin U_i$, et

quels que soient $x, y$ dans X (IX, p. 13, formule (2)), ce qui prouve la continuité de $f_i$. Munissons I d’une structure d’ensemble bien ordonné (E, III, p. 20, th. 1), dont nous noterons $\alpha$ le plus petit élément. Pour tout $i \in I$, posons

(en convenant de prendre $h_\alpha(x) = 0$; on notera que si l’ensemble des $\lambda < i$ a un plus grand élément $\kappa$, on a $g_\kappa = h_i$);

En vertu de (3), on a $f_i(x) \leq f_i(y) + d(x, y)$ pour tout $i$, donc

et en échangeant les rôles de $x$ et $y$, on voit que

et de la même manière

ce qui prouve que les fonctions $g_i, h_i$ et $h$ sont continues dans X. En outre, on a $g_i(x) = \sup(f_i(x), h_i(x)) \geq 0$, et $g_i(x) = h_i(x)$ si $x \notin U_i$.

Posons $u_i(x) = g_i(x) - h_i(x)$, et prouvons que, pour tout $x \in X$, la famille $(u_i(x))$ est sommable dans $\mathbf{R}$ et a pour somme $\sum_{i \in I} u_i(x) = h(x)$. Il suffit évidemment de prouver, par récurrence transfinie, que l’on a

(4)

Supposons en effet la relation (4) vérifiée pour $i < \gamma$; alors la famille $(u_\lambda(x))_{\lambda \leq \gamma}$ est sommable dans $\mathbf{R}$ et l’on a

d’où $\sum_{\lambda \leq \gamma} u_\lambda(x) = g_\gamma(x)$.

Alors, la fonction continue $h$ est $> 0$ en tout point, et la famille $(u_i/h)_{i \in I}$ est une partition continue de l’unité faiblement subordonnée à $(U_i)_{i \in I}$. C.Q.F.D.