Exercice 20, § 10

Soient X un espace compact non vide, R une relation d’équivalence séparée dans X. Pour que X/R soit fermé dans l’espace $\mathfrak{P}_0(X)$ muni de la topologie $\mathscr{T}_\Theta$ (I, p. 101, exerc. 12), il faut et il suffit que la relation R soit ouverte. (Utiliser l’exerc. 14 de I, p. 107, et l’exerc. 16 de I, p. 94 pour montrer que, si X/R est fermé dans $\mathfrak{P}_0(X)$ pour $\mathscr{T}_\Theta$, alors la topologie quotient sur X/R est identique à la topologie induite par $\mathscr{T}_\Theta$, et appliquer l’exerc. 7 de I, p. 96. Inversement, si R est ouverte, utiliser l’exerc. 29 de I, p. 105 pour montrer que X/R est fermé pour $\mathscr{T}_\Theta$.)

¹ Si l’espace localement compact X n’est pas dénombrable à l’infini, il peut se faire qu’une relation d’équivalence R dans X soit fermée (et a fortiori ait un graphe fermé (I, p. 58, prop. 14)) mais que X/R ne soit pas séparé (cf. IX, § 4, exerc. 12 b) et 18).