Bài tập 20, § 10

a) Cho X là một không gian compact không rỗng và R là một quan hệ tương đương Hausdorff trên X. Chứng minh rằng $X/R$ là đóng trong không gian $\mathfrak{P}_0(X)$ với tôpô $\mathfrak{T}_\Theta$ (§ 8, Bài tập 12) khi và chỉ khi quan hệ R là mở. [Dùng Bài tập 13 của § 9 và Bài tập 16 của § 3 để chứng minh rằng nếu $X/R$ là đóng trong $\mathfrak{P}_0(X)$ đối với tôpô $\mathfrak{T}_\Theta$, thì tôpô thương trên $X/R$ trùng với tôpô cảm sinh bởi $\mathfrak{T}_\Theta$, và sau đó áp dụng Bài tập 7 của § 5. Ngược lại, nếu R là mở, dùng Bài tập 29 của § 8 để chứng minh rằng $X/R$ là đóng đối với $\mathfrak{T}_\Theta$].

b) Cho X là không gian con compact địa phương của mặt phẳng thực $\mathbf{R}^2$ gồm các điểm $(1/n, y)$ trong đó n là một số nguyên > 0 và $-1 \leq y \leq 1$, và các điểm $(0, y)$ trong đó hoặc $-1 \leq y < 0$ hoặc $0 < y \leq 1$ hoặc $y = 2$. Cho $p$ là hạn chế của $pr_1$ trên X, và R là quan hệ tương đương liên kết với $p$. Chứng minh rằng R không mở cũng không đóng, nhưng $X/R$ là compact và đóng trong $\mathfrak{P}_0(X)$ đối với tôpô $\mathfrak{T}_\Theta$. \

(*) Nếu không gian compact địa phương X không phải là $\sigma$-compact, có thể xảy ra rằng quan hệ tương đương R trên X là đóng [và a fortiori có đồ thị đóng (§ 8, no. 6, Mệnh đề 14)] nhưng $X/R$ không là Hausdorff [xem Chương IX, § 4, Bài tập 9 b) và 14].

b) Cho $Y$ là một không gian con đóng của $X$. Không gian siêu lọc $\tilde{Y}_0$ có thể được đồng nhất với bao đóng của $Y_0$ trong $\tilde{X}_0$, và $Y^c$ với ảnh chính tắc của $\tilde{Y}_0$ trong $X^c$.

c) Chứng minh rằng hạn chế trên $X_0$ của ánh xạ chính tắc $\tilde{X}_0 \to X^c$ là một song ánh của $X_0$ lên một không gian con $X_*^c$ của $X^c$, rằng ánh xạ chính tắc $f : X_*^c \to X$ là một song ánh liên tục, và rằng ảnh theo ánh xạ này của mọi tập con compact của $X_*^c$ là một tập con compact đóng của $X$. [Để chứng minh rằng $f$ liên tục, dùng b); cũng nhận xét rằng ảnh ngược trong $\tilde{X}_0$ của một điểm của $X_*^c$ gồm tất cả các siêu lọc trên $X$ có một điểm giới hạn duy nhất đã cho, và rằng nếu $\mathfrak{U}$ là một siêu lọc trên $X$, thì điểm giới hạn của nó trong $\tilde{X}_0$, khi $\mathfrak{U}$ được xem như một cơ sở siêu lọc trên $\tilde{X}_0$, là $\mathfrak{U}$ được xem như một điểm của $\tilde{X}_0$].

d) Cho $Z$ là tập hợp là tổng của một số đếm được các không gian $Y_n$, mỗi không gian đồng nhất với không gian $Y$ được định nghĩa trong Bài tập 7 của § 8, và một tập hợp $\{ \omega \}$ gồm một điểm duy nhất. Định nghĩa một tôpô trên $Z$ bằng cách lấy làm hệ cơ bản các lân cận của một điểm $z \in Y_n$ lọc lân cận của nó trong không gian $Y_n$, và làm hệ cơ bản các lân cận của $\omega$ tập hợp các tập con $V_n$ của $Y$, trong đó $V_n$ là hợp của $\{ \omega \}$ và các $Y_m$ với $m \geq n$. Không gian $Z$ được định nghĩa như vậy là truy cập được, tựa compact và địa phương tựa compact; nhưng không gian con $Z_*^c$ của $Z^c$ không compact địa phương.*

e) Cho $Y$ là một không gian khác địa phương tựa compact và truy cập được, và cho $u$ là một ánh xạ liên tục từ $X$ vào $Y$, sao cho ảnh ngược qua $u$ của mỗi tập con tựa compact của $Y$ là tựa compact. Coi $u$ như một ánh xạ từ $X_*^c$ vào $Y_*^c$, hãy chứng minh rằng $u$ là liên tục và có thể được

(*) Các kết quả trong bài tập này và trong Bài tập 7 của § 7 là do J. Fell.

mở rộng duy nhất thành một ánh xạ liên tục $X^c \to Y^c$. [Trước hết mở rộng $u$ thành một ánh xạ liên tục từ $\tilde{X}_0$ vào $\tilde{Y}_0$ và chứng minh rằng phép mở rộng tương thích với các quan hệ tương đương $R(X),\ R(Y)$].

f) Cho $X$ là không gian tựa compact, không địa phương tựa compact, truy cập được được định nghĩa trong Bài tập 29 c) của § 9. Chứng minh rằng trong không gian tương ứng $\tilde{X}_0$ quan hệ tương đương $R(X)$ không Hausdorff.