Exercice 7, § 1

Soient $X, Y$ deux espaces uniformes séparés. Pour toute application continue $f$ de $X$ dans $Y$, soit $G(f) \subset X \times Y$ le graphe de $f$, qui est une partie fermée de $X \times Y$ (I, p. 53, cor. 2), de sorte que $f \mapsto G(f)$ est une application injective de $C(X; Y)$ dans l’ensemble $\mathscr{F}(X \times Y)$ des parties fermées non vides de $X \times Y$. a) Montrer que l’application $f \mapsto G(f)$ de $C_u(X; Y)$ dans $\mathscr{F}(X \times Y)$ est uniformément continue lorsque l’on munit $\mathscr{F}(X \times Y)$ de la structure uniforme définie dans II, p. 34, exerc. 5. b) Soit $\Gamma$ l’image de $C(X; Y)$ dans $\mathscr{F}(X \times Y)$ par $f \mapsto G(f)$, et soit $\varphi$ l’application de $\Gamma$ dans $C_u(X; Y)$, réciproque de $f \mapsto G(f)$. Montrer que si $X$ est compact, $\varphi$ est continue dans $\Gamma$ (raisonner par l’absurde). c) On prend $X$ et $Y$ égaux à l’intervalle compact $[0, 1]$ de $\mathbf{R}$. Montrer que l’application $\varphi$ n’est pas uniformément continue dans $\Gamma$.