Bài tập 7, § 1

Cho $X, Y$ là hai không gian đều Hausdorff. Với mỗi ánh xạ liên tục $f : X \to Y$, đặt $G(f) \subset X \times Y$ là đồ thị của $f$; $G(f)$ là đóng trong $X \times Y$ (Chương I, § 8, no. 1, Mệnh đề 2, Hệ quả 2); do đó $f \to G(f)$ là một ánh xạ đơn ánh của $\mathscr{C}(X; Y)$ vào tập hợp $\tilde{\mathfrak{F}}(X \times Y)$ các tập con đóng khác rỗng của $X \times Y$.

a) Chứng minh rằng ánh xạ $f \to G(f)$ của $\mathscr{C}_u(X; Y)$ vào $\tilde{\mathfrak{F}}(X \times Y)$ là liên tục đều khi $\tilde{\mathfrak{F}}(X \times Y)$ mang đều được xác định trong Chương II, § 1, Bài tập 5.

b) Cho $\Gamma$ là ảnh của $\mathscr{C}(X; Y)$ trong $\tilde{\mathfrak{F}}(X \times Y)$ theo ánh xạ $f \to G(f)$, và cho $\varphi : \Gamma \to \mathscr{C}_u(X; Y)$ là ánh xạ nghịch đảo. Chứng minh rằng nếu $X$ là compact, thì $\varphi$ liên tục trên $\Gamma$ (lập luận bằng phản chứng).

c) Lấy cả $X$ và $Y$ đều là khoảng compact $[0, 1]$ của $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng $\varphi$ không liên tục đều trên $\Gamma$.