En effet, soient $x, y$ deux points de $A \cup B$, et $z$ un point de $A \cap B$; on a par hypothèse $(x, z) \in V$ et $(z, y) \in V$, donc $(x, y) \in \overline{V}^2$.

En effet, pour tout $x \in X$, et tout entourage symétrique $V$ de $X$, le voisinage $V(x)$ de $x$ est petit d’ordre $\overline{V}^2$; si $\mathfrak{F}$ est un filtre convergent vers $x$, il existe un ensemble de $\mathfrak{F}$ contenu dans $V(x)$, donc petit d’ordre $\overline{V}^2$.

Il est clair que tout filtre plus fin qu’un filtre de Cauchy est un filtre de Cauchy.

Soit en effet $g = f \times f$; si $V'$ est un entourage de $X'$, $\overline{g^{-1}(V')}$ est un entourage de $X$, et l’image par $f$ d’un ensemble petit d’ordre $\overline{g^{-1}(V')}$ est un ensemble petit d’ordre $V'$; d’où la proposition.

Il en résulte en particulier que si on remplace la structure uniforme d’un espace uniforme $X$ par une structure uniforme moins fine, tout filtre de Cauchy pour la structure uniforme initialement donnée reste filtre de Cauchy pour la nouvelle structure uniforme.

On retiendra aisément ce fait sous la forme suivante: plus une structure uniforme est fine, moins il y a de filtres de Cauchy.

La condition est nécessaire en vertu de la prop. 3. Inversement, supposons-la vérifiée, et soit $U(V_{\iota_1}, \ldots, V_{\iota_n})$ un entourage de la structure uniforme $\mathfrak{U}$ (II, p. 8, formule (1)). Par hypothèse, pour tout indice $k$, il existe un ensemble $M_k \in \mathfrak{B}$ tel que $f_{\iota_k}(M_k)$ soit petit d’ordre $V_{\iota_k}$ ($1 \leq k \leq n$); soit $M$ un ensemble de $\mathfrak{B}$ contenu dans $M_{k}$ pour $1 \leq k \leq n$; pour tout couple de points, $x, x'$ de $M$, on a $(f_{t_{k}}(x), f_{t_{k}}(x')) \in V_{t_{k}}$ pour $1 \leq k \leq n$, donc $(x, x') \in U(V_{t_{1}}, \ldots, V_{t_{n}})$ ce qui démontre la proposition.

Si $M, M'$ sont dans $\mathfrak{B}$, $V, V'$ dans $\mathfrak{G}$, il existe dans $\mathfrak{B}$ (resp. $\mathfrak{G}$) un ensemble $M''$ (resp. $V''$) tel que $M'' \subset M \cap M'$ (resp. $V'' \subset V \cap V'$), d’où

Il suffit, dans la prop. 5, de prendre pour $\mathfrak{F}$ le filtre de toutes les parties contenant $x$, et pour $\mathfrak{B}$ l’ensemble de parties réduit à l’unique élément $\{x\}$.

En effet, il existe un filtre $\mathfrak{G}$ plus fin que $\mathfrak{F}$ et que $\mathfrak{B}(x)$ (I, p. 47, prop. 4); comme $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy, il en est de même de $\mathfrak{G}$. Si $\mathfrak{F}_{0}$ est l’unique filtre de Cauchy minimal moins fin que $\mathfrak{F}$, $\mathfrak{F}_{0}$ et $\mathfrak{B}(x)$ sont deux filtres de Cauchy minimaux moins fins que $\mathfrak{G}$, donc $\mathfrak{F}_{0} = \mathfrak{B}(x)$, ce qui prouve que $\mathfrak{F}$ converge vers $x$.

C’est un conséquence du cor 2.

En effet, pour tout entourage V de X, il existe un entourage ouvert U $\subset$ V (II, p. 5, cor. 2) et pour toute partie M de X, U(M) est alors ouvert et contenu dans V(M); d’où le corollaire, compte tenu de la prop. 5.

On voit par là l’intérêt que présentent les espaces complets dans toutes les questions où intervient la notion de limite; si une fonction prend ses valeurs dans espace complet, on pourra démontrer l’existence de sa limite, sans connaître au préalable la valeur de cette limite, ce qui serait impossible si on ne disposait, comme critère de convergence, que de la définition de la limite.

Une structure uniforme plus fine qu’une structure uniforme d’espace complet n’est pas nécessairement une structure uniforme d’espace complet (II, p. 36, exerc. 2 du § 3); mais on a la proposition suivante:

Les conditions sont évidemment nécessaires, puisque $\mathscr{T}_2$ est moins fine que $\mathscr{T}_1$; prouvons qu’elles sont suffisantes. Soit $x$ un point limite de $\mathfrak{F}$ pour $\mathscr{T}_2$; montrons que $x$ est limite de $\mathfrak{F}$ pour $\mathscr{T}_1$. En effet, soit $V$ un entourage symétrique de $\mathfrak{U}_1$, fermé pour la topologie produit de $\mathscr{T}_2$ par elle-même. Par hypothèse, $\mathfrak{F}$ contient un ensemble $M$ petit d’ordre $V$; si $x' \in M$, on a donc $M \subset V(x')$. Mais $V(x')$ est fermé pour $\mathscr{T}_2$, donc $x$, qui est adhérent à $M$ pour $\mathscr{T}_2$, appartient à $V(x')$; on en conclut que $M \subset \overline{V}(x)$, ce qui démontre la proposition.

En effet, tout filtre de Cauchy pour $\mathfrak{U}_1$ est alors filtre de Cauchy pour $\mathfrak{U}_2$, donc converge pour $\mathscr{T}_2$ par hypothèse.

On notera que les hypothèses du cor. de la prop. 7 sont remplies lorsque $\mathscr{T}_1 = \mathscr{T}_2$ (II, p. 5, cor. 2).

En effet, soient $X$ un espace complet, $A$ un sous-espace fermé de $X$. Si $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy sur $A$, c’est une base de filtre de Cauchy sur $X$ (II, p. 13, prop. 3), qui converge donc vers un point $x \in X$; mais comme $A$ est fermé, on a $x \in A$, ce qui prouve que dans le sous-espace $A$, $\mathfrak{F}$ est convergent.

Soient maintenant $A$ un ensemble non fermé dans un espace uniforme séparé $X$, et soit $b \in \overline{A} - A$; la trace $\mathfrak{V}_A$ sur $A$ du filtre $\mathfrak{V}$ des voisinages de $b$ dans $X$ est un filtre de Cauchy sur $A$; il ne peut converger vers un point $c \in A$, car alors $c$ serait point limite de $\mathfrak{V}$ (II, p. 15, cor. 3) ce qui est absurde puisque $b \neq c$ et que $X$ est séparé.

Il suffit de montrer qu’un filtre de Cauchy minimal $\mathfrak{F}$ sur $X$ est convergent. Comme $A$ est partout dense et que tout ensemble de $\mathfrak{F}$ a un intérieur non vide (II, p. 15, cor. 4), la trace $\mathfrak{F}_A$ de $\mathfrak{F}$ sur $A$ est un filtre de Cauchy sur $A$, donc converge vers un point $x_0 \in X$; comme $\mathfrak{F}$ est moins fin que le filtre sur $X$ engendré par $\mathfrak{F}_A$, on en conclut que $\mathfrak{F}$ converge vers $x_0$ (II, p. 15, cor. 3).

La première assertion résulte de la caractérisation des filtres de Cauchy et des filtres convergents sur un espace produit (II, p. 14, cor. 2 de la prop. 4 et I, p. 51, cor. 1). Inversement, supposons $X = \prod_{\iota \in I} X_\iota$ complet (les $X_\iota$ étant non vides) et soit $\mathfrak{F}_k$ un filtre de Cauchy sur $X_k$; pour tout $\iota \neq k$, soit $\mathfrak{F}_\iota$ un filtre de Cauchy sur $X_\iota$, et considérons le filtre produit (I, p. 42) $\mathfrak{F} = \prod_{\iota \in I} \mathfrak{F}_\iota$ sur $X$; $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy (II, p. 14, cor. 2 de la prop. 4), donc est convergent, et il en est par suite de même de $\operatorname{pr}_k \mathfrak{F} = \mathfrak{F}_k$ (I, p. 51, cor. 1).

On sait en effet que $X$ est séparé et s’identifie à un sous-espace fermé de $\prod_\alpha X_\alpha$ (I, p. 55, cor. 2); le corollaire résulte donc de la prop. 10 et de la prop. 8 (II, p. 16).

Une limite projective d’espaces uniformes séparés et complets $X_\alpha$ peut être vide, même si les $X_\alpha$ sont non vides et les $f_{\alpha\beta}$ surjectifs, comme le montre le cas des espaces discrets (E, III, p. 94, exerc. 4). Mais on a le théorème suivant:

Théorème 1 (Mittag-Leffler). — Soit $(X_\alpha, f_{\alpha\beta})$ un système projectif d’espaces uniformes séparés et complets, relatif à un ensemble d’indices préordonné filtrant $I$ qui admet un sous-ensemble cofinal dénombrable; on suppose en outre que, pour tout $\alpha \in I$, $X_\alpha$ possède un système fondamental dénombrable d’entourages.\footnote{Cette condition signifie que l’espace uniforme séparé $X_\alpha$ est métrisable; cf. IX, § 2, n°4, th. 1.} Enfin, on suppose que pour tout $\alpha \in I$, il existe un $\beta \geq \alpha$ vérifiant la condition suivante:

(ML_{\alpha,\beta}) Pour tout $\gamma \geq \beta$, $f_{\alpha\gamma}(X_\gamma)$ est dense dans $f_{\alpha\beta}(X_\beta)$.

Soient alors $X = \lim_{\leftarrow} X_\alpha$, $f_\alpha$ l’application canonique $X \to X_\alpha$; pour tout $\alpha \in I$ et tout $\beta \geq \alpha$ vérifiant (ML_{\alpha,\beta}), $f_\alpha(X)$ est dense dans $f_{\alpha\beta}(X_\beta)$ (et par suite $X$ est non vide si les $X_\alpha$ sont tous non vides).

Soit $(\lambda_n)$ une suite d’indices cofinale à I. Partons d’un $\alpha_0 \in I$, et définissons par récurrence une suite croissante $(\alpha_n)$ telle que $\alpha_n \geq \lambda_n$ et que (ML_{\alpha_n,\alpha_{n+1}}) soit vérifiée; il est clair que la suite $(\alpha_n)$ est cofinale à I. Nous écrirons $f_{mn}$ au lieu de $f_{\alpha_m\alpha_n}$ pour $m \leq n$, et nous poserons $f_{n,n+1}(X_{\alpha_{n+1}}) = Y_n$. Alors, pour $m \leq n$, $f_{mn}(Y_n)$ est dense dans $Y_m$: en effet, par définition, $f_{m,n+1}(X_{\alpha_{n+1}})$ est dense dans $f_{m,m+1}(X_{\alpha_{m+1}}) = Y_m$, et comme $f_{m,n+1}(X_{\alpha_{n+1}}) = f_{mn}(f_{n,n+1}(X_{\alpha_{n+1}})) = f_{mn}(Y_n)$, cela établit notre assertion.

Par récurrence sur $n$ et $k$, on peut, pour chaque $n$, définir un système fondamental $(V_{kn})_{k \in \mathbf{N}}$ d’entourages symétriques fermés de $X_{\alpha_n}$ tel que

(2)

(3)

Soit en effet $(U_{kn})_{k \in \mathbf{N}}$ un système fondamental d’entourages de $X_{\alpha_n}$. Si on suppose les $V_{kn}$ définis pour un $n$ donné et pour tout $k \in \mathbf{N}$, on peut, puisque $f_{n,n+1}$ est uniformément continue, définir par récurrence sur $k$ l’entourage $V_{k,n+1}$ de sorte que (3) soit vérifié et que l’on ait en outre

d’où notre assertion.

Cela étant, soit $x_0 \in Y_0$. Nous allons prouver que, pour tout entier $k > 0$, il existe $z \in X$ tel que $(x_0, f_{\alpha_0}(z)) \in V_{k-1,0}$, ce qui démontrera le théorème. Comme $f_{n,n+1}(Y_{n+1})$ est dense dans $Y_n$, on peut définir par récurrence une suite de points $x_n \in Y_n$ tels que

(4)

En vertu de (3), on en déduit que, pour tout $m \leq n$,

(5)

On conclut de là que, pour $m$ fixe, la suite $(f_{mn}(x_n))_{n \geq m}$ est une suite de Cauchy dans $X_{\alpha_m}$, et converge par suite vers un point $z_m$; en effet, par récurrence, on déduit de (5) que pour tout couple d’entiers $p \geq m, q > 0$, on a

(6)

et en vertu de (2), il est immédiat que le second membre de (6) est contenu dans $V_{k+p-1,m}$; faisant croître $q$ indéfiniment, on en tire en particulier, pour $m = p = 0$, que $(x_0, z_0) \in V_{k-1,0}$, puisque $V_{k-1,0}$ est fermé. D’autre part, des relations z_m = \lim_{n \to \infty} f_{mn}(x_n) et de la continuité de $f_{m,m+1}$, on déduit que $f_{m,m+1}(z_{m+1}) = z_m$ pour tout $m \geqslant 0$. Pour tout $\gamma \in I$, il y a au moins un entier $n$ tel que $\alpha_n \geqslant \gamma$; si on pose $z_\gamma = f_{\gamma,\alpha_n}(z_n)$, on vérifie aussitôt que $z_\gamma$ ne dépend pas de la valeur de $n$ telle que $\alpha_n \geqslant \gamma$, et que la famille $(z_\alpha)_{\alpha \in I}$ ainsi définie est un point $z$ de $X = \lim_{\leftarrow} X_\alpha$; comme $f_{\alpha_0}(z) = z_0$, cela termine la démonstration.

Il suffit en effet de munir les $X_\alpha$ de la structure uniforme discrète.

Il suffit d’appliquer le th. 1 au système projectif des ensembles $\overline{u}_\alpha^{-1}(x'_\alpha)$, munis de la structure uniforme discrète (cf. E, III, p. 58, prop. 5).

Cela résulte du th. de prolongement par continuité (loc. cit.), puisque $X'$ est régulier (II, p. 5, prop. 3) et qu’il y a identité entre filtres convergents et filtres de Cauchy sur $X'$.

Lorsque $X$ est lui-même un espace uniforme, on a de plus le théorème suivant:

L’existence de $\bar{f}$ est une conséquence immédiate des prop. 3 (II, p. 13) et 11. Montrons que $\bar{f}$ est uniformément continue. Soit $V'$ un entourage symétrique fermé de $X'$, et soit $V$ un entourage de $X$ tel que, lorsque $x, y$ sont dans $A$ et voisins d’ordre $V$, $f(x)$ et $f(y)$ soient voisins d’ordre $V'$. On peut supposer que $V$ est l’adhérence dans $X \times X$ d’un entourage $W$ de $A$ (II, p. 10, prop. 6). On a $(\bar{f}(x), \bar{f}(y)) \in V'$ pour $(x, y) \in W$; comme $\bar{f} \times \bar{f}$ est continue dans $X \times X$ (I, p. 25, prop. 1), on a aussi $(\bar{f}(x), \bar{f}(y)) \in V'$ pour $(x, y) \in V = \overline{W}$ puisque $V'$ est fermé (I, p. 9, th. 1).

C.Q.F.D.

En effet, $f$ est uniformément continue dans $Y_1$, donc (th. 2) se prolonge en une application uniformément continue $\bar{f}: X_1 \to X_2$; de même l’application réciproque $g$ de $f$ se prolonge en une application uniformément continue $\bar{g}: X_1 \to X_2$. La fonction $\bar{g} \circ \bar{f}$ est alors une application continue de $X_1$ dans lui-même qui coïncide dans $Y_1$ avec l’application identique; en vertu du principe de prolongement des identités (I, p. 53, cor. 1), $\bar{g} \circ \bar{f}$ est donc l’application identique de $X_1$; de même $\bar{f} \circ \bar{g}$ est l’application identique de $X_2$. Par suite (E, II, p. 18, corollaire) $\bar{f}$ et $\bar{g}$ sont deux bijections réciproques l’une de l’autre; comme elles sont uniformément continues, ce sont des isomorphismes (II, p. 6, prop. 2).

On notera que si $f$ est une application uniformément continue bijective de $Y_1$ sur $Y_2$, son prolongement par continuité $\bar{f}$ n’est pas nécessairement injectif ni surjectif (II, p. 36, exerc. 3).

(P) Pour toute application uniformément continue $f$ de X dans un espace uniforme séparé et complet Y, il existe une application uniformément continue $g : \hat{X} \to Y$ et une seule telle que $f = g \circ i$.

Si $(i_1, X_1)$ est un second couple formé d’un espace uniforme séparé et complet $X_1$ et d’une application uniformément continue $i_1 : X \to X_1$, possédant la propriété (P), alors il existe un isomorphisme $\varphi : \hat{X} \to X_1$ et un seul tel que $i_1 = \varphi \circ i$.

La première assertion de l’énoncé signifie encore que le couple $(i, \hat{X})$ est solution du problème d’application universelle (E, IV, p. 23) dans lequel on prend pour $\Sigma$-ensembles les espaces uniformes séparés et complets, pour $\sigma$-morphismes les applications uniformément continues et pour $\alpha$-applications les applications uniformément continues de X dans un espace uniforme séparé et complet. L’unicité du couple $(i, \hat{X})$ à un isomorphisme unique près résulte donc des propriétés générales des solutions de problèmes d’application universelle (loc. cit.). Reste à prouver l’existence du couple $(i, \hat{X})$.

1) Définition de $\hat{X}$. Soit $\hat{X}$ l’ensemble des filtres de Cauchy minimaux (II, p. 14) sur X. Nous allons définir sur $\hat{X}$ une structure uniforme. Pour cela, pour tout entourage symétrique V de X, désignons par $\tilde{V}$ l’ensemble des couples $(\mathfrak{X}, \mathfrak{Y})$ de filtres de Cauchy minimaux ayant en commun un ensemble petit d’ordre V : montrons que les ensembles $\tilde{V}$ forment un système fondamental d’entourages d’une structure uniforme sur $\hat{X}$. En effet:

1° Comme tout $\mathfrak{X} \in \hat{X}$ est un filtre de Cauchy, on a par définition $(\mathfrak{X}, \mathfrak{X}) \in \tilde{V}$ pour tout entourage symétrique V de X, donc $(U'_I)$ est vérifié.

2° Si V, V’ sont deux entourages symétriques de X, $W = V \cap V'$ est un entourage symétrique, et tout ensemble petit d’ordre W est petit d’ordre V et d’ordre V’ ; donc on a $\tilde{W} \subset \tilde{V} \cap \tilde{V}'$, ce qui prouve $(B_I)$.

3° Les ensembles $\tilde{V}$ sont symétriques par définition, donc $(U''_{II})$ est vérifié.

4° Étant donné un entourage symétrique V de X, soit W un entourage symétrique tel que $\tilde{W} \subset V$. Considérons trois filtres de Cauchy minimaux $\mathfrak{X}, \mathfrak{Y}, \mathscr{Z}$ tels que $(\mathfrak{X}, \mathfrak{Y}) \in \tilde{W}$ et $(\mathfrak{Y}, \mathscr{Z}) \in \tilde{W}$; il existe donc deux ensembles M, N, petits d’ordre W et tels que $M \in \mathfrak{X} \cap \mathfrak{Y}, N \in \mathfrak{Y} \cap \mathscr{Z}$. Comme M et N appartiennent à $\mathfrak{Y}$, $M \cap N$ n’est pas vide, donc (II, p. 12, prop. 1), $M \cup N$ est petit d’ordre $\tilde{W} \subset V$; comme $M \cup N$ appartient à $\mathfrak{X}$ et à $\mathscr{Z}$, on a $\tilde{W} \subset \tilde{V}$; d’où $(U'''_{III})$.

Montrons en outre que l’espace uniforme $\hat{X}$ est séparé. En effet, soient $\mathfrak{X}, \mathfrak{Y}$ deux filtres de Cauchy minimaux sur X tels que $(\mathfrak{X}, \mathfrak{Y}) \in \tilde{V}$ pour tout entourage symétrique V de X. Il est immédiat que les ensembles $M \cup N$, où $M \in \mathfrak{X}, N \in \mathfrak{Y}$ forment la base d’un filtre $\mathscr{Z}$ moins fin que $\mathfrak{X}$ et que $\mathfrak{Y}$. Or, $\mathscr{Z}$ est un filtre de Cauchy, car pour tout entourage symétrique V de X, il y a par hypothèse un ensemble P petit d’ordre V et appartenant à la fois à $\mathfrak{X}$ et à $\mathfrak{Y}$, donc $P \in \mathscr{S}$. Par définition des filtres de Cauchy minimaux, on a $\mathfrak{X} = \mathscr{S} = \mathfrak{Y}$, et cela achève de montrer que $\hat{X}$ est séparé.

2) Définition de i ; la structure uniforme de X est image réciproque de celle de $\hat{X}$ par i. On sait que, pour tout $x \in X$, le filtre des voisinages $\mathfrak{V}(x)$ de $x$ dans $X$ est un filtre de Cauchy minimal (II, p. 14, cor. 1 de la prop. 5); nous prendrons $i(x) = \mathfrak{V}(x)$. Soit $j = i \times i$; nous allons montrer que pour tout entourage symétrique $V$ de $X$, on a $j^{-1}(\tilde{V}) \subset V \subset j^{-1}(\tilde{V})^3$, ce qui prouvera notre assertion (II, p. 9). Or, si $(i(x), i(y)) \in \tilde{V}$, il y a un ensemble $M$ petit d’ordre $V$ et qui est à la fois voisinage de $x$ et de $y$, donc $(x, y) \in V$. Inversement, si $(x, y) \in V$, il est immédiat que l’ensemble $V(x) \cup V(y)$ est petit d’ordre $\tilde{V}$ et est à la fois voisinage de $x$ et de $y$.