Exercice 3, § 3

a) Sur la droite numérique $\mathbf{R}$, on désigne par $\mathfrak{U}$ la structure uniforme additive, par $\mathfrak{U}_1$ la structure uniforme induite sur $\mathbf{R}$ par celle de la droite achevée $\overline{\mathbf{R}}$, par $\mathfrak{U}_2$ la structure uniforme induite sur $\mathbf{R}$ par celle du compactifié d’Alexandroff $\tilde{\mathbf{R}} = P_1(\mathbf{R})$ de $\mathbf{R}$; $\mathfrak{U}$ est strictement plus fine que $\mathfrak{U}_1$, $\mathfrak{U}_1$ strictement plus fine que $\mathfrak{U}_2$, et les topologies déduites de ces trois structures uniformes sont les mêmes; les complétés de $\mathbf{R}$ pour ces trois structures uniformes sont respectivement $\mathbf{R}$, $\overline{\mathbf{R}}$ et $\tilde{\mathbf{R}}$. L’application identique de $\mathbf{R}$ se prolonge par continuité en une application injective mais non surjective $\mathbf{R} \to \overline{\mathbf{R}}$ et en une application surjective mais non injective $\overline{\mathbf{R}} \to \tilde{\mathbf{R}}$. b) Déduire de a) un exemple d’espaces uniformes séparés X, Y et d’une application uniformément continue et bijective $u : X \to Y$, dont le prolongement par continuité $\tilde{u} : \hat{X} \to \hat{Y}$ n’est ni injectif ni surjectif.