Bài tập 3, § 3

a) Cho $\mathfrak{U}$ là cấu trúc đều cộng tính trên đường thẳng thực $\mathbf{R}$, cho $\mathfrak{U}_1$ là cấu trúc đều cảm sinh trên $\mathbf{R}$ bởi cấu trúc đều của đường thẳng thực mở rộng $\overline{\mathbf{R}}$, và cho $\mathfrak{U}_2$ là cấu trúc đều cảm sinh trên $\mathbf{R}$ bởi cấu trúc đều của compact hóa một điểm $\tilde{\mathbf{R}} = P_1(\mathbf{R})$ của $\mathbf{R}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{U}$ mịn hơn thực sự $\mathfrak{U}_1$, rằng $\mathfrak{U}_1$ mịn hơn thực sự $\mathfrak{U}_2$, và rằng các tôpô cảm sinh bởi ba cấu trúc đều này là như nhau; cũng chứng minh rằng các phép hoàn thành của $\mathbf{R}$ đối với ba cấu trúc đều này lần lượt là $\mathbf{R}$, $\overline{\mathbf{R}}$ và $\tilde{\mathbf{R}}$. Ánh xạ đồng nhất của $\mathbf{R}$ mở rộng bằng tính liên tục thành một ánh xạ đơn ánh nhưng không toàn ánh $\mathbf{R} \to \overline{\mathbf{R}}$ và thành một ánh xạ toàn ánh nhưng không đơn ánh $\overline{\mathbf{R}} \to \tilde{\mathbf{R}}$.

b) Suy ra từ a) một ví dụ về hai không gian đều Hausdorff $X, Y$ và một song ánh liên tục đều $u : X \to Y$ mà mở rộng bằng tính liên tục $\bar{u} : \hat{X} \to \hat{Y}$ của nó không đơn ánh cũng không toàn ánh.