La dernière partie du théorème est immédiate : tout filtre de Cauchy sur $X$ a en effet un point adhérent (axiome (C)), donc est convergent (II, p. 14, cor. 2 de la prop. 5).

Montrons en second lieu que, s’il existe une structure uniforme compatible avec la topologie de $X$, l’ensemble $\mathfrak{U}$ des entourages de cette structure est identique à l’ensemble des voisinages de $\Delta$. On sait déjà que tout entourage est un voisinage de $\Delta$ (II, p. 4, prop. 2); il suffit d’établir inversement que tout voisinage de $\Delta$ appartient à $\mathfrak{U}$. Supposons qu’il existe un voisinage $U$ de $\Delta$ n’appartenant pas à $\mathfrak{U}$; alors les ensembles $V \cap \mathfrak{G}U$, où $V$ parcourt $\mathfrak{U}$, formeraient une base d’un filtre $\mathfrak{G}$ sur l’espace compact $X \times X$; $\mathfrak{G}$ aurait par suite un point adhérent $(a, b)$ n’appartenant pas à $\Delta$; comme $\mathfrak{U}$ serait alors un filtre moins fin que $\mathfrak{G}$, $(a, b)$ serait aussi adhérent à $\mathfrak{U}$. Or, la structure uniforme définie par $\mathfrak{U}$ est séparée par hypothèse, donc l’intersection des adhérences des ensembles de $\mathfrak{U}$ est $\Delta$ (II, p. 5, cor. 2 et prop. 3); on aboutit ainsi à une contradiction.

Il reste à montrer que l’ensemble $\mathfrak{V}$ des voisinages de $\Delta$ dans $X \times X$ est l’ensemble des entourages d’une structure uniforme compatible avec la topologie de $X$. Il suffira pour cela de voir que $\mathfrak{V}$ est l’ensemble des entourages d’une structure uniforme séparée sur $X$; car s’il en est ainsi, la topologie déduite de cette structure sera une topologie moins fine que la topologie de $X$ (I, p. 11, prop. 3), donc nécessairement identique à cette dernière (I, p. 63, cor. 3).

Il est clair que $\mathfrak{V}$ vérifie les axiomes $(F_I)$ et $(F_{II})$; montrons que les axiomes

(U_{II}) et (U_{III}) sont aussi vérifiés et que Δ est l’intersection des ensembles de $\mathfrak{V}$. Ce dernier point est immédiat, car tout ensemble réduit à un point $(x, y)$ de $X \times X$ est fermé, puisque $X$ est séparé; donc, si $x \neq y$ dans $X$, le complémentaire de $(x, y)$ dans $X \times X$ est un voisinage de $\Delta$. Comme la symétrie $(x, y) \mapsto (y, x)$ est un homéomorphisme de $X \times X$ sur lui-même, pour tout $V \in \mathfrak{V}$, on a aussi $\overline{V}^1 \in \mathfrak{V}$, d’où $(U_{II})$. Supposons enfin que $\mathfrak{V}$ ne vérifie pas $(U_{III})$; il existerait alors un ensemble $V \in \mathfrak{V}$ tel que, pour tout $W \in \mathfrak{V}$, l’ensemble $\overline{W}^2 \cap \mathscr{C}V$ soit non vide; les ensembles $\overline{W}^2 \cap \mathscr{C}V$ (où $W$ parcourt $\mathfrak{V}$) formeraient donc une base de filtre sur $X \times X$, et cette dernière aurait par suite un point adhérent $(x, y)$ n’appartenant pas à $\Delta$. Or, comme $X$ est régulier (I, p. 61, corollaire, il existerait un voisinage ouvert $U_1$ de $x$ et un voisinage ouvert $U_2$ de $y$ sans point commun, puis des voisinages fermés $V_1 \subset U_1, V_2 \subset U_2$ de $x$ et $y$ respectivement. Posons $U_3 = \mathscr{C}(V_1 \cup V_2)$, et considérons dans $X \times X$ le voisinage

de $\Delta$. Il résulte aussitôt de ces définitions que si $(u, v) \in W$ et $u \in V_1$ (resp. $u \in U_1$), on a nécessairement $v \in U_1$ (resp. $v \in U_1 \cup U_3 = \mathscr{C}V_2$); par suite, le voisinage $V_1 \times V_2$ de $(x, y)$ dans $X \times X$ ne rencontre pas $\overline{W}$; nous avons ainsi obtenu une contradiction, ce qui achève la démonstration.

Il suffit de remarquer qu’en vertu du th. d’Alexandroff (I, p. 67, th. 4), un espace localement compact est homéomorphe à un sous-espace d’un espace compact.

En effet, soit $g = f \times f$, qui est continue dans $X \times X$ (I, p. 25, cor. 1); pour tout entourage ouvert $V'$ de $X'$, $g(V')$ est donc un ensemble ouvert dans $X \times X$, qui contient évidemment la diagonale; le théorème résulte donc du th. 1 (II, p. 27), puisque les entourages ouverts de $X'$ forment un système fondamental d’entourages (II, p. 5, cor. 2).

Sous les hypothèses du th. 2, la restriction de $f$ à tout sous-espace $A$ de $X$ est uniformément continue; donc (II, p. 20, th. 2):

D’une manière plus imagée, on peut exprimer cette condition en disant qu’il existe des recouvrements finis de $X$ dont les ensembles sont aussi petits qu’on veut.

Soit $i$ l’application canonique de $X$ dans $\hat{X}$; les entourages de $X$ sont les images réciproques par $i \times i$ des entourages de $\hat{X}$ (II, p. 23, prop. 12). Pour montrer que la condition de l’énoncé est nécessaire, considérons un entourage arbitraire $U$ de $\hat{X}$, et un entourage symétrique $U'$ de $\hat{X}$ tel que $\overline{U'} \subset U$; comme $\hat{X}$ est compact, il existe un nombre fini de points $x_j \in \hat{X}$ tels que les $U'(x_j)$ (qui sont petits d’ordre $U$) forment un recouvrement de $\hat{X}$; si $V$ est l’image réciproque de $U$ par $i \times i$, les ensembles $\overline{i(U'(x_j))}$ forment donc un recouvrement de $X$ par des ensembles petits d’ordre $V$. Pour voir que la condition est suffisante, il suffit d’établir qu’elle entraîne que tout ultrafiltre $\mathfrak{F}$ sur $\hat{X}$ est convergent; comme $\hat{X}$ est complet, il suffit de vérifier que $\mathfrak{F}$ est un filtre de Cauchy, ou encore, que pour tout entourage fermé $U$ de $\hat{X}$, il existe dans $\mathfrak{F}$ un ensemble petit d’ordre $U$ (II, p. 5, cor. 2). Soit $V$ l’image réciproque de $U$ par $i \times i$, et soit $(B_j)$ un recouvrement fini de $X$ par des ensembles petits d’ordre $V$; les ensembles $C_j = i(B_j)$ forment un recouvrement de $i(X)$ par des ensembles petits d’ordre $U$, donc on a $\hat{X} = \bigcup_j \overline{C_j}$; d’autre part, comme $C_j \times C_j \subset U$ et que $U$ est fermé dans $\hat{X} \times \hat{X}$, on a aussi $\overline{C_j} \times \overline{C_j} \subset U$, autrement dit les $\overline{C_j}$ sont aussi petits d’ordre $U$. Puisque $\mathfrak{F}$ est un ultrafiltre, un des $\overline{C_j}$ appartient à $\mathfrak{F}$ (I, p. 39, corollaire).

C.Q.F.D.

Cela résulte du th. 3 de II, p. 27, th. 1.

Les deux premières assertions découlent aussitôt du th. 3. D’autre part, soient $X$ un espace uniforme, $A$ un ensemble précompact dans $X$, $i$ l’application canonique de $X$ dans son séparé complété $\hat{X}$; $i(\overline{A})$ est contenu dans l’adhérence de $i(A)$ dans $\hat{X}$ (I, p. 9, th. 1), donc l’adhérence de $i(\overline{A})$ dans $\hat{X}$ est contenue par hypothèse dans un ensemble compact, et par suite est compacte.

En effet, si $i : X \to \hat{X}, j : Y \to \hat{Y}$ sont les applications canoniques, on a $j(f(A)) = \hat{f}(i(A))$ (II, p. 24, prop. 15), donc $j(f(A))$ est relativement compact dans $\hat{Y}$ (I, p. 63, cor. 1).

La condition est nécessaire en vertu de la prop. 2; vu la caractérisation du séparé complété de $X$ (II, p. 26, prop. 18) elle est suffisante en vertu du th. de Tychonoff (I, p. 64, corollaire).

S’il n’en était pas ainsi, aucun des ensembles $A \cap \overline{V}(B)$, où $V$ parcourt l’ensemble des entourages symétriques de $X$, ne serait vide; ces ensembles formeraient donc une base de filtre sur $A$, qui aurait un point adhérent $x_0 \in A$. Pour tout entourage symétrique $V$ de $X$, $\overline{V}(x_0)$ rencontrerait donc $B$, et par suite, comme $B$ est fermé, on aurait $x_0 \in B$, contrairement à l’hypothèse.

En effet, soit $U$ un voisinage ouvert quelconque de $A$; l’ensemble $B = \complement U$ est fermé et ne rencontre pas $A$; d’après la prop. 4, il existe un entourage $V$ tel que $V(A) \cap V(B) = \varnothing$; a fortiori, on a $V(A) \subset U$, ce qui démontre le corollaire.

Pour tout $x \in X$, désignons par $A_x$ l’intersection des ensembles $A_{x,v}$ lorsque $V$ parcourt l’ensemble des entourages symétriques de $X$; c’est la classe d’équivalence de $x$ suivant la relation d’équivalence: « quel que soit l’entourage symétrique $V$, il existe une $V$-chaîne joignant $x$ et $y$ ».

Il suffit de montrer que $A_x$ est connexe; en effet, dans tout espace uniforme $X$, la composante connexe de $x$ est contenue dans l’intersection des voisinages à la fois ouverts et fermés de $X$, et cette intersection est elle-même contenue dans $A_x$ en vertu de la prop. 5.

Supposons que $A_x$ ne soit pas connexe; comme c’est un ensemble fermé, il existerait deux ensembles fermés non vides et sans point commun, $B$ et $C$, tels que $B \cup C = A_x$. D’après la prop. 4 (II, p. 31) il existerait alors un entourage $U$ de $X$ tel que $U(B) \cap U(C) = \varnothing$; soit $W$ un entourage ouvert tel que $W^2 \subset U$, et désignons par $H$ l’ensemble fermé complémentaire dans $X$ de l’ensemble $W(B) \cup W(C)$. Supposons par exemple que $x \in B$, et considérons un point $y \in C$; pour tout entourage symétrique $V \subset W$, on voit aussitôt, par récurrence sur $i$, que toute $V$-chaîne $(x_i)_{0 \leq i \leq n}$ joignant $x$ et $y$ dans $X$ a nécessairement un point dans $H$, en vertu du choix de $W$. Comme par hypothèse $x$ et $y$ peuvent être joints par une $V$-chaîne pour tout entourage symétrique $V$, on voit que, pour $V \subset W$, l’ensemble $H \cap A_{x,v}$ n’est pas vide. D’autre part, si $V' \subset V$, on a évidemment $A_{x,v'} \subset A_{x,v}$; il en résulte que lorsque $V$ parcourt l’ensemble des entourages symétriques de $X$, les ensembles $H \cap A_{x,v}$ formeraient une base de filtre composée d’ensembles fermés dans l’espace compact $H$. Il existerait donc un point commun à tous ces ensembles, autrement dit un point commun à $H$ et $A_x$; comme cela est contraire à la définition de $H$, la proposition est démontrée.

En effet, soit $V$ un voisinage ouvert relativement compact de $K$ dans $X$ (I, p. 65, prop. 10), et soit $F$ sa frontière. Soit $U \subset \overline{V}$ un ensemble à la fois ouvert et fermé par rapport à $\overline{V}$; alors $U$ est fermé dans $X$, et si en outre $U$ ne rencontre pas $F$, $U$ est ouvert dans $X$, car cela entraîne $U \subset V$ et $U$ est ouvert par rapport à $V$. Tout revient donc à montrer qu’il existe dans $\overline{V}$ un ensemble contenant $K$, à la fois ouvert et fermé par rapport à $\overline{V}$, et qui ne rencontre pas $F$.

Raisonnons par l’absurde: les intersections avec $F$ des ensembles contenant

K et à la fois ouverts et fermés par rapport à $\overline{V}$ formeraient une base de filtre composée d’ensembles fermés dans F; comme F est compact, ces ensembles auraient un point commun $y \in F$; mais cela est absurde, car $\overline{V}$ est un espace compact, K est une composante connexe de cet espace, et en vertu de la prop. 6, l’intersection des ensembles contenant K et à la fois ouverts et fermés dans $\overline{V}$ se réduit à K. Le corollaire est donc démontré.

On sait déjà (I, p. 84, prop. 9) que X/R est totalement discontinu; tout revient à voir que X/R est séparé (I, p. 78, prop. 8). Soient A et B deux composantes connexes distinctes de X; en vertu de la prop. 6 (II, p. 32), il existe un entourage symétrique U de X tel qu’un point quelconque de A et un point quelconque de B ne puissent être joints par une U-chaîne. Or, l’ensemble V (resp. W) des points de X qui peuvent être joints à un point $x \in A$ (resp. $y \in B$) par une U-chaîne est à la fois ouvert et fermé dans X (II, p. 32, prop. 5) et contient A (resp. B); ces ensembles sont donc des voisinages ouverts de A et B respectivement, saturés pour R et ne se rencontrant pas, ce qui démontre la proposition.

Exercises