Exercice 7, § 3

Soient X un espace uniforme séparé, $\mathfrak{U}$ sa structure uniforme; on désigne par $\mathfrak{U}_0$ la structure uniforme induite sur $\mathfrak{F}(X)$ par la structure uniforme $\tilde{\mathfrak{U}}$ (II, p. 35, exerc. 6 b)), par $\mathfrak{U}_{00}$ la structure uniforme induite sur $\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(X))$ par la structure uniforme $\tilde{\mathfrak{U}}_0$. Montrer que l’application canonique $x \mapsto \{ \{x\} \}$ de X dans $\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(X))$ se prolonge en un isomorphisme de $\hat{X}$ sur un sous-espace uniforme fermé de $\mathfrak{F}(\mathfrak{F}(X))$ (muni de $\mathfrak{U}_{00}$) (utiliser la prop. 9 de II, p. 17).