Exercice 2, § 3

*a) Soient X un ensemble infini, $\mathfrak{F}$ un ultrafiltre non trivial sur X. Montrer que dans le complété de X muni de la structure uniforme $\mathfrak{U}(\mathfrak{F})$ (II, p. 34, exerc. 1) le complémentaire de X se réduit à un seul point, et que l’espace topologique $\hat{X}$ s’identifie à l’espace associé à l’ultrafiltre $\mathfrak{F}$ (I, p. 40, Exemple). b) Déduire de a) un exemple de structure uniforme sur $\mathbf{R}$, plus fine que la structure uniforme additive, et pour laquelle $\mathbf{R}$ n’est pas complet.