a) La filtration $(E_n)$ est $m$*-bonne*.

b) $E'$ est un $A'$*-module de type fini*.

Supposons que $m E_{n-1} = E_n$ pour $n > n_0 \geq 0$. Pour $i \leq n_0$, soit $(e_{ij})_{1 \leq j \leq r_i}$ un système fini de générateurs du $A$-module $E_i$. Comme le $A$-module $E_n \otimes_A A X^n$ est engendré par les éléments $e_{nj} \otimes X^n$ pour $0 \leq n \leq n_0$, et est égal à $m^{n-n_0} E_{n_0} \otimes_A A X^n$ pour $n > n_0$, le $A'$-module $E'$ est engendré par les éléments $e_{nj} \otimes X^n$ pour $0 \leq n \leq n_0$ et $1 \leq j \leq r_n$; il est donc bien de type fini.

Réciproquement, si $E'$ est un $A'$-module de type fini, il est engendré par une famille finie d’éléments de la forme $e_k \otimes X^{n(k)}$, où $e_k \in E_{n(k)}$. Soit $n_0$ le plus grand des entiers $n(k)$. Pour $n \geq n_0$ et $f \in E_n$, on a donc $f \otimes X^n = \sum_k t_k (e_k \otimes X^{n(k)})$ avec $t_k \in A'$; remplaçant au besoin $t_k$ par son composant homogène de degré $n - n(k)$, on peut supposer que $t_k = a_k X^{n-n(k)}$ avec $a_k \in m^{n-n(k)}$. Comme l’unique élément $X^n$ forme une base du $A$-module $A X^n$, l’égalité $f \otimes X^n = (\sum_k a_k e_k) \otimes X^n$ entraîne $f = \sum_k a_k e_k$. On a donc $E_n \subset m^{n-n_0} E_{n_0}$; l’inclusion opposée étant évidente, on a

d’où $E_n = m E_{n-1}$ pour $n > n_0$.

C. Q. F. D.

En effet $A'$ est une $A$-algèbre engendrée par $mX$; comme $A$ est noethérien, $mX$ est un $A$-module de type fini, et la conclusion résulte donc du § 2, no 10, cor. 3 du th. 2.

Comme $F$ est isomorphe à un sous-module de $E$, il est de type fini puisque $A$ est noethérien et $E$ de type fini. Soient $(E_n), (F_n)$ les filtrations respectives de $E$ et $F$, qui sont formées de sous-modules de type fini ; gardons les notations du lemme 1 et posons $E' = \sum_{n \geq 0} E_n \otimes_A AX^n, \quad F' = \sum_{n \geq 0} F_n \otimes_A AX^n$; comme par hypothèse $F_n$ est isomorphe à un sous-module de $E_n$, on voit que $F'$ est isomorphe à un sous-module de $E'$. En vertu du th. 1, $E'$ est un $A'$-module de type fini, donc il en est de même de $F'$ puisque $A'$ est noethérien (lemme 1). D'où la conclusion en vertu du th. 1.

En d’autres termes, il existe un entier $n_0$ tel que l’on ait

pour tout $n \geq n_0$.

En effet, il existe $n$ tel que $a^{n+1} \cap b = a(a^n \cap b) \subset ab$ en vertu du cor. 1 appliqué à $E = A, F = b$.

En effet, le cor. 1 appliqué à $E = A$, $F = Ax$, montre qu’il existe $k$ tel que, pour tout $n \geq k$, on ait $m^n \cap Ax = m^{n-k}(m^k \cap Ax)$. Donc, si $xy \in m^n$, on a $xy \in m^n \cap Ax \subset m^{n-k}x$, et comme $x$ n’est pas diviseur de $0$, on en déduit $y \in m^{n-k}$.

Avec la notation des transporteurs (chap. I, § 2, no 10), la conclusion du cor. 3 s’écrit

C’est un cas particulier de la prop. 1.

En effet, il existe par hypothèse un $A$-homomorphisme surjectif $\varphi : A^n \to E$; l’application $u \to u \circ \varphi$ de $\mathrm{Hom}_A(E, \varphi_*(F))$ dans $\mathrm{Hom}_A(A^n, \varphi_*(F))$ est donc injective, et comme $B$ est noethérien, il suffit de prouver que $\mathrm{Hom}_A(A^n, \varphi_*(F))$ est un $B$-module de type fini ; ce qui est immédiat puisqu’il est isomorphe à $F^n$.

Comme on a $m^k F_n \subset F_{n+k}$ pour $n \in \mathbf{Z}$, $k \geq 0$, on a aussi

la famille $(\mathrm{Hom}_A(E, F_n))_{n \in \mathbf{Z}}$ est donc une filtration sur $\mathrm{Hom}_A(E, F)$, compatible avec sa structure de module sur l’anneau $A$ filtré parla filtration m-adique. Puisque E est de type fini, il existe un entier r > 0 et un A-homomorphisme surjectif u : Ar → E, qui définit un A-homomorphisme injectif

il est clair que $v$ est compatible avec les filtrations ($\operatorname{Hom}_A(E, F_n)$) et ($\operatorname{Hom}_A(A^r, F_n)$). Comme $\operatorname{Hom}_A(E, F)$ et $\operatorname{Hom}_A(A^r, F)$ sont de type fini (lemme 2), il suffit, en vertu de la prop. 1, de montrer que la filtration ($\operatorname{Hom}_A(A^r, F_n)$) est m-bonne ; mais cela est immédiat en vertu de l’existence de l’isomorphisme canonique $\operatorname{Hom}_A(A^r, F_n) \to F_n^r$ et du fait que la relation $mF_n = F_{n+1}$ entraîne $m(F_n^r) = (mF_n)^r = F_{n+1}^r$ (Alg., chap. II, 3e éd., § 3, no 7, Remarque).

soit surjectif.

Il résulte aussitôt des définitions que a) implique c). Le fait que b) entraîne c) est conséquence du § 1, no 3, lemme 1 ; inversement, si c) est vérifiée, il est clair que gr(E) est engendré, en tant que gr(A)-module, par la somme des gr_p(E) pour p \leqslant n_0, donc admet par hypothèse un système fini de générateurs. Reste à prouver que c) implique a) ; comme les gr_n(E) sont de type fini et que E_0 = E, il est clair d’abord, par récurrence sur n, que E/E_n est un A-module de type fini pour tout n ; il suffira donc de prouver que pour n > n_0, E_n est un A-module de type fini et que l’on a mE_n = E_{n+1}. Or, considérons le A-module E_{n+1} muni de la filtration exhaustive et séparée des E_{n+k} (k \geqslant 1) ; on a mE_n \subset E_{n+1} ;

l’hypothèse c) entraîne que l’image de mE_n dans gr_{n+1}(E) = E_{n+1}/E_{n+2} est égale à gr_{n+1}(E) et engendre le gr(A)-module gradué gr(E_{n+1}). Comme gr_{n+1}(E) est par hypothèse un A-module de type fini, il résulte du § 2, no 9, prop. 12 que mE_n = E_{n+1} et que E_{n+1} est un A-module de type fini.

Soit $(E_n)$ une filtration $m$-bonne sur E. Comme cette filtration est exhaustive, tout élément de E appartient à un des $E_n$, et comme E est de type fini et les $E_n$ des A-modules, il existe un entier $n_1$ tel que $E_{n_1} = E$. Soit d’autre part $n_0$ tel que $mE_n = E_{n+1}$ pour $n \geq n_0$; pour $n > n_0 - n_1$, on a donc $m^n E \subset E_{n+n_1} = m^{n+n_1-n_0} E_{n_0} \subset m^{n+n_1-n_0} E$, ce qui démontre la proposition.

En effet, il résulte du no 1, prop. 1, que la filtration induite sur F par la filtration $m$-adique de E est $m$-bonne, et la conclusion découle alors de la prop. 4.

En effet, comme $u(m^n E) = m^n u(E)$, $u$ est un morphisme strict de E sur $u(E)$ pour les topologies $m$-adiques sur ces deux modules, et la topologie $m$-adique sur $u(E)$ est induite par la topologie $m$-adique sur F en vertu du th. 2.

En effet, si $x = mx$ avec $m \in m$, on a $x = m^n x \in m^n E$ pour tout entier $n \geq 0$, donc $x \in F = \bigcap_{n=0}^{\infty} m^n E$. Inversement, si $x \in F$, $Ax$ est contenu dans l’intersection des voisinages de 0 dans E ; il résulte alors du th. 2 que la topologie m-adique sur $Ax$, qui est induite par celle de E, est la topologie la moins fine ; comme $mx$ est par définition un voisinage de 0 pour cette topologie, on a $mx = Ax$, donc il existe $m \in m$ tel que $x = mx$.

Il suffit d’appliquer la prop. 5 à $E = A_s$.

Montrons que a) implique b). Supposons $m$ contenu dans le radical de $A$ et soit $E$ un $A$-module de type fini. Si $x \in E$ et $m \in m$ sont tels que $(1 - m)x = 0$, on a $x = 0$, car $1 - m$ est inversible dans $A$. Donc (no 2, prop. 5) $E$ est séparé pour la topologie $m$-adique.

Prouvons que b) entraîne c). Supposons b) vérifiée. Soient $E$ un $A$-module de type fini, $F$ un sous-module de $A$. Alors $E/F$ est séparé pour la topologie $m$-adique, qui est la topologie quotient de la topologie $m$-adique de $E$; donc $F$ est fermé dans $E$.

Il est clair que c) implique d). Démontrons enfin que d) implique a). Il résulte de d) que pour tout idéal maximal $a$ de $A$, le $A$-module $A/a$ est séparé pour la topologie $m$-adique. Cela entraîne $m(A/a) \neq A/a$, sinon la topologie $m$-adique de $A/a$ serait la topologie la moins fine, et $A/a$ serait réduit à 0, ce qui est absurde puisque $A/a$ est un corps. L'image canonique de $m$ dans $A/a$ est donc un idéal de $A/a$ distinct de $A/a$, donc est réduite à 0; on a par suite $m \subset a$, ce qui montre que $m$ est contenu dans le radical de $A$.

(i) Pour que la topologie $m'$-adique de $A'$ soit séparée, il faut et il suffit que les éléments de $1 + h(m)$ soient non diviseurs de 0 dans $A'$.

(ii) Si $A$, muni de la topologie $m$-adique, est un anneau de Zariski, alors $A'$, muni de la topologie $m'$-adique, est un anneau de Zariski.

(iii) Si $h$ est injectif (identifiant ainsi $A$ à un sous-anneau de $A'$) la topologie $m'$-adique de $A'$ induit sur $A$ la topologie $m$-adique.

Rappelons que la filtration $m'$-adique de $A'$ coïncide avec la filtration $m$-adique du $A$-module $A'$ ($§ 2$, n° 1, Exemple 3). L’assertion (i) est donc un cas particulier de la prop. 5 du n° 2, et l’assertion (iii) un cas particulier du th. 2 du n° 2. Démontrons enfin (ii). Supposons que A soit un anneau de Zariski pour la topologie m-adique, et soit E' un A'-module de type fini ; c'est aussi un A-module de type fini, et les filtrations m-adique et m'-adique sur E' coïncident ; donc E' est séparé pour la topologie m'-adique. Enfin le A-module A' est noethérien, donc l'anneau A' est noethérien, ce qui achève de prouver que A' est un anneau de Zariski.

On a vu que $u$ et $v$ sont des morphismes stricts de groupes topologiques (no 2, cor. du th. 2). L’assertion (i) résulte donc du § 2, no 12, lemme 2. L’assertion (ii) est évidente lorsque $E = A$, et le cas où $E$ est un $A$-module libre de type fini se ramène aussitôt à celui-là. Dans le cas général, $E$ admet une présentation de type fini

(chap. I, § 2, no 8, lemme 8). On en déduit le diagramme commutatif

La première ligne est exacte (chap. I, § 2, no 1, lemme 1) et il en est de même de la seconde d’après (i). On sait déjà que $\alpha_E$ est surjectif ($§ 2$, no 12, prop. 16); d’autre part, comme $\alpha_L$ et $\alpha_{L'}$ sont bijectifs et $1 \otimes v$ surjectif, $\alpha_E$ est injectif en vertu du chap. I, § 1, no 4, cor. 2 de la prop. 2; ceci démontre (ii).

Il résulte alors de (i) et (ii) que si $a$ est un idéal de $A$ (nécessairement de type fini), l’application canonique $\hat{A} \otimes_A a \to \hat{A}$ est injective, étant composée de $\hat{a} \to \hat{A}$ et de $\alpha_E$, ce qui prouve que $\hat{A}$ est un $A$-module plat (chap. I, § 2, no 3, prop. 1).

C. Q. F. D.

Sous les conditions du th. 3, on identifie souvent $\hat{A} \otimes_A E$ à $\hat{E}$ au moyen de l’application canonique $\alpha_E$. Si $u : E \to F$ est un homomorphisme de $A$-modules de type fini, $\hat{u} : \hat{E} \to \hat{F}$ se trouve alors identifié à $1 \otimes u$ en vertu de la commutativité du diagramme (4).

En effet, en vertu du th. 3, $\hat{E}, \hat{F}, \hat{G}$ s’identifient canoniquement à $\hat{A} \otimes E, \hat{A} \otimes F, \hat{A} \otimes G$, ce qui démontre les deux premières formules. La troisième et la quatrième résultent respectivement du chap. I, § 2, no 6, prop. 6 et no 10, prop. 12. Enfin comme $\hat{a} = \hat{A}i(a), \hat{b} = \hat{A}i(b), \hat{c} = \hat{A}i(c)$, on a bien

Comme $\hat{A}$ est un A-module plat, le corollaire est un cas particulier du chap. I, § 2, no 4, prop. 3, (i).

En effet c’est le complété de l’anneau de polynômes

pour la topologie m-adique, où m est l’ensemble des polynômes sans terme constant ($§ 2,$ no 12, Exemple 1); comme B est noethérien ($§ 2,$ no 10, cor. 2 du th. 2), $A[[X_1, ..., X_n]]$ est un B-module plat en vertu du th. 3, et comme B est un A-module libre, $A[[X_1, ..., X_n]]$ est un A-module plat (chap. I, § 2, no 7, cor. 3 de la prop. 8).

Démontrons (i). Comme $m$ est un idéal de type fini, on a $(m^n)^{\sim} = (\hat{m})^n = m^n \hat{A}$ (§ 2, no 12, cor. 2 de la prop. 16) et la topologie de $\hat{A}$ est la topologie $\hat{m}$-adique. Comme $\hat{A}/\hat{m}$ est isomorphe à $A/m$, c'est un anneau nœthérien, et $\hat{m} = m \hat{A}$ est un $\hat{A}$-module de type fini, donc $\hat{A}$ est nœthérien (§ 2, no 10, cor. 5 du th. 2); enfin, comme $\hat{A}$ est séparé et complet pour la topologie $\hat{m}$-adique, $\hat{A}$ est un anneau de Zariski (no 3, Exemple 1).

L’assertion (ii) résulte aussitôt de ce que l’homomorphisme canonique $A/m \to \hat{A}/\hat{m}$ déduit de $j$ est bijectif et du fait que tout idéal maximal de $\hat{A}$ contient $\hat{m}$, puisque $\hat{A}$ est un anneau de Zariski et que le radical de $\hat{A}$ contient donc $\hat{m}$ (no 3, prop. 6).

Prouvons enfin (iii). Comme $n = j^{-1}(\hat{n})$, on a $j(A - n) \subset \hat{A} - \hat{n}$, et $j$ définit bien un homomorphisme $j' : A_n \to \hat{A}_{\hat{n}}$ (chap. II, § 2, no 1, prop. 2). Montrons que $j'$ est injectif; soient $a \in A, s \in A - n$ tels que $j'(a/s) = j(a)/j(s) = 0$; il existe donc $s' \in \hat{A} - \hat{n}$ tel que $s'j(a) = 0$ (chap. II, § 2, no 1, Remarque 3), et l’annulateur de $j(a)$ dans $\hat{A}$ n’est donc pas contenu dans $\hat{n}$. Or, si $b$ est l’annulateur de $a$ dans $A$, l’annulateur de $j(a)$ dans $\hat{A}$ est $\hat{b}$ (cor. 1 du th. 3); donc $b \notin n$, ce qui montre que $a/s = 0$.

En outre, on a un diagramme commutatif

où $h$ et $h'$ sont déduits de $j$ et $j'$ respectivement, et où les flèches horizontales sont les isomorphismes canoniques du chap. II, § 3, no 3, prop. 9. Comme $n^k$ est un idéal ouvert de $A$ (puisqu’il contient $m^k$), $h$ est bijectif, donc il en est de même de $h'$. Ceci montre d’abord que $(nA_n)^k = {j'}^{-1}((\hat{n}\hat{A}_{\hat{n}})^k)$, donc la topologie de $A_n$ est induite par celle de $\hat{A}_{\hat{n}}$; en outre, on a $\hat{A}_{\hat{n}} = A_n + (\hat{n}\hat{A}_{\hat{n}})^k$ pour tout $k > 0$, donc $A_n$ est partout dense dans $\hat{A}_{\hat{n}}$.

C. Q. F. D.

En effet, $\hat{A}$ est noethérien en vertu de la prop. 8, (i), et le reste résulte de la prop. 8, (ii) et de la troisième formule du cor. 1 du th. 3.

En effet, pour tout $A$-module de type fini $M$, l’application canonique $M \to M \otimes_{A} \hat{A}$ s’identifie à l’application canonique $M \to \hat{M}$ de $M$ dans son séparé complété pour la topologie $m$-adique (no 4, th. 3), et le noyau de cette application est donc l’adhérence de $\{0\}$ dans $M$ pour cette topologie. Comme on sait déjà que $\hat{A}$ est un $A$-module plat (no 4, th. 3), la proposition résulte de la caractérisation des modules fidèlement plats (chap. I, § 3, no 1, prop. 1 b)) et de la caractérisation des anneaux de Zariski (no 3, prop. 6).

Si $A$ est un anneau de Zariski et si $E$ est un $A$-module de type fini on peut (en vertu de la prop. 9) identifier $E$ à une partie de $\hat{E}$ au moyen de l’application canonique $j_e : E \to \hat{E}$. Avec cette identification :

C’est un cas particulier du chap. I, § 3, no 5, prop. 10, (ii), et résulte aussi d’ailleurs du no 3, prop. 6.