Giả sử rằng $m E_{n-1} = E_n$ với $n > n_0 \geq 0$. Với $i \leq n_0$, gọi $(e_i)_{i \leq n_0}$ là một hệ hữu hạn các phần tử sinh của $A$-môđun $E_i$. Vì $A$-môđun $E_n \otimes_A A X^n$ được sinh bởi các phần tử $e_{n,j} \otimes X^n$ với $0 \leq n \leq n_0$ và bằng

với $n > n_0$, nên $A'$-môđun $E'$ được sinh bởi các phần tử $e_{n,j} \otimes X^n$ với $0 \leq n \leq n_0$ và $1 \leq j \leq r_n$; do đó hiển nhiên nó sinh hữu hạn.

Ngược lại, nếu $E'$ là một $A'$-môđun sinh hữu hạn, thì nó được sinh bởi một họ hữu hạn các phần tử dạng $e_k \otimes X^{n(k)}$, trong đó $e_k \in E_{n(k)}$. Gọi $n_0$ là số nguyên lớn nhất trong các số nguyên $n(k)$. Khi đó với $n \geq n_0$ và $f \in E_n$,

trong đó $t_k \in A'$; nếu cần, thay thế $t$, bằng thành phần thuần nhất bậc $n - n(k)$ của nó, ta có thể giả sử rằng $t_k = a_k X^{n-n(k)}$, trong đó $a_k \in m^{n-n(k)}$.

Vì phần tử duy nhất $X^n$ lập thành một cơ sở của A-môđun AX", phương trình $f \otimes X^n = \left( \sum_k a_k e_k \right) \otimes X^n$ suy ra $f = \sum_k a_k e_k$. Khi đó $E_n \subset m^{n-n_0} E_{n_0}$; vì bao hàm đối là hiển nhiên,

do đó $E_n = m E_{n-1}$ với $n > n_0$.

$A'$ là một đại số trên A sinh bởi $mX$; vì A là Noether, $mX$ là một A-môđun hữu hạn sinh và khi đó kết luận suy ra từ § 2, no. 10, Hệ quả 3 của Định lý 2.

Vì F đẳng cấu với một môđun con của E, nó sinh hữu hạn do A là Noether và E sinh hữu hạn. Gọi $(E_n)$, $(F_n)$ là các lọc tương ứng trên E và F, gồm các môđun con sinh hữu hạn; giữ nguyên ký hiệu của Bổ đề 1, đặt $E' = \sum_{n \geq 0} E_n \otimes_A A X^n, F' = \sum F_n \otimes_A A X^n$; vì theo giả thiết F, đẳng cấu với một môđun con của $E_n$, ta thấy rằng F' đẳng cấu với một môđun con của $E'$. Theo Định lý 1, $E'$ là một $A'$-môđun hữu hạn sinh và do đó F' cũng vậy vì A' là Noether (Bổ đề 1). Suy ra kết luận nhờ Định lý 1.

Nói cách khác, tồn tại một số nguyên $n_0$ sao cho

với mọi $n \geq n_0$.

Tồn tại n sao cho $a^{n+1} \cap b = a(a^n \cap b) \subset ab$ theo Hệ quả 1 áp dụng cho $E = A, F = b$.

Hệ quả 1 áp dụng cho $E = A, F = A x$ cho thấy rằng tồn tại $k$ sao cho, với mọi $n \geq k$, $m^n \cap Ax = m^{n-k}(m^k \cap Ax)$. Khi đó, nếu $xy \in m^n$,

và vì $x$ không phải là ước của $0$, ta suy ra rằng $y \in m^{n-k}$.

Theo ký hiệu của các transporter (Chương I, § 2, no. 10), kết luận của Hệ quả 3 được viết là

(2)

Theo giả thiết, tồn tại một A-đồng cấu toàn ánh $v : A^n \to E$; do đó ánh xạ $u \mapsto u \circ v$ từ $\mathrm{Hom}_A(E, \phi_*(F))$ vào $\mathrm{Hom}_A(A^n, \phi_*(F))$ là đơn ánh và, vì $B$ là Noether, chỉ cần chứng minh rằng $\mathrm{Hom}_A(A^n, \phi_*(F))$ là một B-môđun sinh hữu hạn; điều này là ngay lập tức vì nó đẳng cấu với $F^n$.

khi đó họ $(\mathrm{Hom}_A(E, F_n))_{n \in \mathbf{Z}}$ là một lọc trên $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ tương thích với cấu trúc môđun của nó trên vành $A$ được lọc bởi lọc $m$-adic. Vì $E$ sinh hữu hạn, tồn tại một số nguyên $r > 0$ và một A-đồng cấu toàn ánh $u : A^r \to E$ xác định một A-đồng cấu đơn ánh

rõ ràng $v$ tương thích với các lọc $(\mathrm{Hom}_A(E, F_n))$ và $(\mathrm{Hom}_A(A^r, F_n))$. Vì $\mathrm{Hom}_A(E, F)$ và $\mathrm{Hom}_A(A^r, F)$ là sinh hữu hạn (Bổ đề 2), theo Mệnh đề 1 chỉ cần chỉ ra rằng lọc $(\mathrm{Hom}_A(A^r, F))$ là $m$-tốt; nhưng điều này là ngay lập tức nhờ sự tồn tại của đẳng cấu chính tắc $\mathrm{Hom}_A(A^r, F_r) \to F_n^r$ và thực tế là quan hệ $mF_n = F_n +$, suy ra $m(F_n^r) = (mF_n)^r = F_{n+1}^r$ (Đại số, Chương II, § 3, no. 7, Nhận xét).

Ngay lập tức suy ra từ các định nghĩa rằng (a) kéo theo (c). Việc (b) kéo theo (c) là một hệ quả của § 1, no. 3, Bổ đề 1; ngược lại, nếu (c) đúng, rõ ràng $\mathrm{gr}(E)$ được sinh như một $\mathrm{gr}(A)$-môđun bởi tổng của các $\mathrm{gr}_p(E)$ với $p \leq n_0$ và do đó theo giả thiết thừa nhận một hệ sinh hữu hạn. Còn phải chứng minh rằng (c) kéo theo (a); vì các $\mathrm{gr}_n(E)$ sinh hữu hạn và $E_n = E$, trước hết rõ ràng, bằng quy nạp theo $n$, $E/E_n$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn với mọi $n$; do đó chỉ cần chứng minh rằng, với $n > n_0$, $E_n$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $mE_n = E_{n+1}$. Bây giờ, xét $A$-môđun $E_{n+1}$ với hệ lọc vét cạn và tách biệt $(E_{n+k})(k \geq 1)$; $mE_n \subset E_{n+1}$; giả thiết (c) kéo theo rằng ảnh của $mE_n$ trong $\mathrm{gr}_{n+1}(E) = E_{n+1}/E_{n+2}$ bằng $\mathrm{gr}_{n+1}(E)$ và sinh $\mathrm{gr}(A)$-môđun phân bậc $\mathrm{gr}(E_{n+1})$. Vì $\mathrm{gr}_{n+1}(E)$ theo giả thiết là một $A$-môđun sinh hữu hạn, suy ra từ § 2, no. 9, Mệnh đề 12 rằng $mE_n = E_{n+1}$ và $E_{n+1}$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn.

Cho $(E_n)$ là một lọc m-tốt trên $E$. Vì lọc này là toàn diện, mọi phần tử của $E$ thuộc một trong các $E_n$ và, vì $E$ là sinh hữu hạn và các $E_n$ là các $A$-môđun, tồn tại một số nguyên $n_1$ sao cho $E_{n_1} = E$. Mặt khác, lấy $n_0$ sao cho $mE_n = E_{n+1}$ với $n \geq n_0$; khi đó, với $n > n_0 - n_1$, $m^n E \subset E_{n+n_1} = m^{n+n_1-n_0} E_{n_0} \subset m^{n+n_1-n_0} E$, điều này chứng minh mệnh đề.

Định lý 2 (Krull). Cho $A$ là một vành giao hoán Noether, $m$ là một iđêan của $A$, $E$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $F$ là một môđun con của $E$. Khi đó tôpô $m$-adic trên $F$ là tôpô cảm sinh bởi tôpô $m$-adic trên $E$.

Suy ra từ no. 1, Mệnh đề 1 rằng lọc cảm sinh trên $F$ bởi lọc $m$-adic trên $E$ là m-tốt và khi đó kết luận suy ra từ Mệnh đề 4.

Vì $u(m^nE) = m^n u(E)$, $u$ là một cấu xạ ngặt từ $E$ lên $u(E)$ đối với các tôpô $m$-adic trên hai môđun này và tôpô $m$-adic trên $u(E)$ là cảm sinh bởi tôpô $m$-adic trên $F$ theo Định lý 2.

Nếu $x = mx$ trong đó $m \in m$, $x = m^n x \in m^nE$ với mọi số nguyên $n \geq 0$ và do đó $x \in F = \bigcap_{n=0}^m m^nE$. Ngược lại, nếu $x \in F$, $Ax$ được chứa trong giao của các lân cận của 0 trong $E$; khi đó từ Định lý 2 suy ra rằng tôpô $m$-adic trên $Ax$, cảm sinh bởi tôpô trên $E$, là tôpô thô nhất; vì $mx$ theo định nghĩa là một lân cận của 0 đối với tôpô này, $mx = Ax$ và do đó tồn tại $m \in m$ sao cho $x = mx$.

Ta cũng có thể nói rằng $mF = F$ vì

vì $A$ là Noether, $F$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn; khi đó chỉ cần áp dụng Chương II, § 2, no. 2, Hệ quả 3 vào Mệnh đề 4.

Chỉ cần áp dụng Mệnh đề 5 cho $E = A$.

Ta hãy chỉ ra rằng (a) suy ra (b). Giả sử rằng $m$ được chứa trong căn Jacobson của $A$ và cho $E$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn. Nếu $x \in E$ và $m \in m$ sao cho $(1 - m)x = 0$, thì $x = 0$, vì $1 - m$ khả nghịch trong $A$. Khi đó (no. 2, Mệnh đề 5) $E$ là Hausdorff đối với tôpô $m$-adic.

Ta hãy chứng minh rằng (b) suy ra (c). Giả sử (b) đúng. Cho $E$ là một $A$-môđun sinh hữu hạn và $F$ là một môđun con của $E$. Khi đó $E/F$ là Hausdorff đối với tôpô $m$-adic, là tôpô thương của tôpô $m$-adic trên $E$; khi đó $F$ đóng trong $E$.

Rõ ràng (c) suy ra (d). Sau cùng ta hãy chứng minh rằng (d) suy ra (a). Từ (d) suy ra rằng, với mọi iđêan cực đại $a$ của $A$, A-môđun $A/a$ là Hausdorff đối với tôpô $m$-adic. Điều này suy ra $m(A/a) \neq A/a$, trừ phi tôpô $m$-adic trên $A/a$ là tôpô thô nhất và $A/a$ thu về 0, điều này là vô lý vì $A/a$ là một trường. Do đó ảnh chính tắc của $m$ trong $A/a$ là một iđêan của $A/a$ phân biệt với $A/a$ và vì thế thu về 0; khi đó $m \subset a$, điều này chứng tỏ rằng $m$ được chứa trong căn Jacobson của $A$.

(i) Để tôpô $m'$-adic trên $A'$ là Hausdorff, điều kiện cần và đủ là các phần tử của $1 + h(m)$ không là ước của $0$ trong $A'$.

(ii) Nếu $A$, với tôpô $m$-adic, là một vành Zariski, thì $A'$, với tôpô $m'$-adic, là một vành Zariski.

(iii) Nếu $h$ là đơn ánh (do đó đồng nhất hoá $A$ với một vành con của $A'$), tôpô $m'$-adic trên $A'$ cảm sinh trên $A$ tôpô $m$-adic.

Nhắc lại rằng bộ lọc $m'$-adic trên $A'$ trùng với bộ lọc $m$-adic trên A-môđun $A'$ (§ 2, no. 1, Ví dụ 3). Do đó mệnh đề (i) là một trường hợp riêng của Mệnh đề 5 của no. 2 và mệnh đề (iii) là một trường hợp riêng của Định lý 2 của no. 2. Sau hết, hãy chứng minh (ii). Giả sử rằng $A$ là một vành Zariski với tôpô $m$-adic và $E'$ là một $A'$-môđun hữu hạn sinh; nó cũng là một A-môđun hữu hạn sinh và các bộ lọc $m$-adic và $m'$-adic trên $E'$ trùng nhau; khi đó $E'$ là Hausdorff đối với tôpô $m'$-adic. Cuối cùng A-môđun $A'$ là Noether và vì thế vành $A'$ là Noether, điều này hoàn tất chứng minh rằng $A'$ là một vành Zariski.

(i) Nếu $E \xrightarrow{u} F \xrightarrow{v} G$ là một dãy khớp các ánh xạ A-tuyến tính, thì dãy $\hat{E} \xrightarrow{\hat{u}} \hat{F} \xrightarrow{\hat{v}} \hat{G}$ thu được bằng cách chuyển qua các bổ sung Hausdorff (đối với các tôpô m-adic) là khớp.

(ii) Ánh xạ A-tuyến tính chính tắc $\alpha_E : \hat{A} \otimes_A E \to \hat{E}$ là song ánh.

(iii) A-môđun $\hat{A}$ là phẳng.

Ta đã thấy rằng $u$ và $v$ là các cấu xạ ngặt của các nhóm tôpô (no. 2, Hệ quả của Định lý 2). Khi đó mệnh đề (i) suy ra từ § 2, no. 12, Bổ đề 2. Mệnh đề (ii) là hiển nhiên khi $E = A$ và trường hợp E là một A-môđun tự do hữu hạn sinh có thể ngay lập tức quy về trường hợp đó. Trong trường hợp tổng quát, E thừa nhận một trình bày hữu hạn

(Chương I, § 2, no. 8, Bổ đề 8). Ta suy ra một biểu đồ giao hoán

Hàng thứ nhất là khớp (Chương I, § 2, no. 1, Bổ đề 1) và hàng thứ hai cũng vậy theo (i). Ta đã biết rằng $\alpha_E$ là toàn ánh (§ 2, no. 12, Mệnh đề 16); mặt khác, vì $\alpha_L$ và $\alpha_{L'}$ là song ánh và $1 \otimes v$ là toàn ánh, nên $\alpha_E$ là đơn ánh theo Chương I, § 1, no. 4, Hệ quả 2 của Mệnh đề 2; điều này chứng tỏ (ii).

Khi đó suy ra từ (i) và (ii) rằng, nếu $a$ là một iđêan của A (tất yếu sinh hữu hạn), ánh xạ chính tắc $\hat{A} \otimes_A a \to \hat{A}$ là đơn ánh, vì nó là hợp thành của $\hat{a} \to \hat{A}$ và $\alpha_E$, điều này chứng minh rằng $\hat{A}$ là một $A$-môđun phẳng (Chương I, § 2, no. 3, Mệnh đề 1).

Trong các điều kiện của Định lý 3, $\hat{A} \otimes_A E$ thường được đồng nhất với $E$ bằng ánh xạ chính tắc $\alpha_E$. Nếu $u : E \to F$ là một đồng cấu của các $A$-môđun sinh hữu hạn, thì khi đó $\hat{u} : E \to \hat{F}$ được đồng nhất với $1 @ u$ theo tính giao hoán của biểu đồ (4).

Hơn nữa, nếu $a$ và $b$ là hai iđêan của $A$ và $c = ab, \hat{c} = \hat{a}\hat{b}$.

Theo Định lý 3, $\hat{E}, \hat{F}, \hat{G}$ được đồng nhất một cách chính tắc với $\hat{A} \otimes_A E, \hat{A} \otimes_A F, \hat{A} \otimes_A G$, điều này thiết lập hai công thức đầu tiên. Công thức thứ ba và thứ tư lần lượt suy ra từ Chương I, § 2, no. 6, Mệnh đề 6 và no. 10, Mệnh đề 12. Cuối cùng, vì $\hat{a} = \hat{A}i(a), \hat{b} = \hat{A}i(b), \hat{c} = \hat{A}i(c)$,

Vì $\hat{A}$ là một $A$-môđun phẳng, hệ quả này là một trường hợp riêng của Chương I, § 2, no. 4, Mệnh đề 3 (i).

Đó là bổ túc của vành đa thức

đối với tôpô $m$-adic, trong đó $m$ là tập hợp các đa thức không có số hạng hằng ($§ 2,$ no. 12, Ví dụ 1); vì $B$ là Noether ($§ 2,$ no. 10, Hệ quả 2 của Định lý 2), nên $A[[X_1, \ldots, X_n]]$ là một B-môđun phẳng theo Định lý 3 và, vì $B$ là một A-môđun tự do, $A[[X_1, \ldots, X_n]]$ là một A-môđun phẳng (Chương I, § 2, no. 7, Hệ quả 3 của Mệnh đề 8).

(ii) Ánh xạ $n \mapsto A = \hat{A}.j(n)$ là một song ánh từ tập hợp các iđêan cực đại của $A$ chứa $m$ lên tập hợp các iđêan cực đại của $\hat{A}$ và $q \mapsto j^{-1}(q)$ là song ánh ngược.

(iii) Cho $n$ là một iđêan cực đại của $A$ chứa $m$. Đồng cấu $j': A_n \to \hat{A}_{\hat{n}}$ dẫn xuất từ $j$ là đơn ánh; nếu $A$, được đồng nhất nhờ $j$ với một vành con của $\hat{A}$, thì tôpô $(nA_n)$*-adic trên* $A_n$ được cảm sinh bởi tôpô $A$*-adic trên* $\hat{A}_{\hat{n}}$ và $A_n$ trù mật trong $A$, đối với tôpô $A$*-adic*.

Ta hãy chứng minh (i). Vì $m$ là một iđêan sinh hữu hạn, $(m^n)^{\wedge} = (\hat{m})^n = m^n \hat{A}$ (§ 2, no. 12, Hệ quả 2 của Mệnh đề 16) và tôpô trên $\hat{A}$ là tôpô $m$-adic. Vì $\hat{A}/\hat{m}$ đẳng cấu với $A/m$, đó là một vành Noether và $\hat{m} = m \hat{A}$ là một A-môđun sinh hữu hạn và do đó $\hat{A}$ là Noether (§ 2, no. 10, Hệ quả 5 của Định lý 2); cuối cùng, vì $\hat{A}$ là Hausdorff và đầy đủ đối với tôpô $m$-adic, nên $\hat{A}$ là một vành Zariski (no. 3, Ví dụ 1).

Mệnh đề (ii) suy ra ngay lập tức từ việc đồng cấu chính tắc $A/m + \hat{A}/\hat{m}$ cảm sinh bởi $j$ là song ánh và từ việc mọi iđêan cực đại của $\hat{A}$ đều chứa $\hat{m}$, vì $\hat{A}$ là một vành Zariski và khi đó căn Jacobson của $\hat{A}$ chứa $m$ (no. 3, Mệnh đề 6).

Sau cùng, hãy chứng minh (iii). Vì $n = j^{-1}(A)$, ta có $j(A - n) \subset \hat{A} - \hat{n}$ và hiển nhiên $j$ xác định một đồng cấu $j': A_n \to \hat{A}_{\hat{n}}$ (Chương II, § 2, no. 1, Mệnh đề 2). Hãy chỉ ra rằng $j'$ là đơn ánh; giả sử $a \in A, s \in A - n$ sao cho

khi đó tồn tại $s' \in \hat{A} - \hat{n}$ sao cho $s'j(a) = 0$ (Chương II, § 2, no. 1, Nhận xét 3) và do đó linh hóa tử của $j(a)$ trong $\hat{A}$ không được chứa trong $\hat{n}$. Bây giờ, nếu $b$ là linh hóa tử của $a$ trong $A$, thì linh hóa tử của $j(a)$ trong $\hat{A}$ là $b$ (Hệ quả 1 của Định lý 3); vì thế $b \notin n$, điều này chứng tỏ rằng $a/s = 0$.

Hơn nữa, có một biểu đồ giao hoán

trong đó $h$ và $h'$ lần lượt được cảm sinh bởi $j$ và $j'$ còn các mũi tên ngang là các đẳng cấu chính tắc của Chương II, § 3, no. 3, Mệnh đề 9. Vì $n^k$ là một iđêan mở của $A$ (do nó chứa $m^k$), $h$ là song ánh và do đó $h'$ cũng vậy. Điều này trước hết cho thấy rằng $(nA_n)^k = j'((\hat{n}\hat{A}_{\hat{n}})^k)$ và do đó tôpô trên $A_n$ được cảm sinh bởi tôpô trên $A_n$; hơn nữa, $\hat{A}_{\hat{n}} = A_n + (\hat{n}\hat{A}_{\hat{n}})^k$ với mọi $k > 0$ và do đó $A_n$ trù mật trong $A_n$.