4. Nâng lên trong các vành đầy đủ

1. Các đa thức nguyên tố cùng nhau mạnh

Cho $R$ là một vành giao hoán. Hai phần tử $x, y$ của $R$ được gọi là nguyên tố cùng nhau mạnh nếu các iđêan chính $Rx$ và $Ry$ là nguyên tố cùng nhau, nói cách khác (Chương II, § 1, no. 2) nếu $R x + R y = R$; điều này tương đương với việc nói rằng tồn tại hai phần tử $a, b$ của $R$ sao cho $ax + by = 1$.

Bổ đề 1 ("Bổ đề Euclid"). Cho $x, y$ là hai phần tử nguyên tố cùng nhau mạnh của $R$; nếu $z \in R$ là sao cho $x$ chia hết $yz$, thì $x$ chia hết $z$.

Nếu $1 = ax + by$, thì $z = x(az) + (yz)b$.

Nếu $x$ và $y$ là nguyên tố cùng nhau mạnh trong $R$, thì

Đối với các vành đa thức ta có kết quả sau:

2. Chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế

Lưu ý rằng trong một vành như vậy, các iđêan $3 \in \mathscr{B}$ là mở và đóng (Tôpô đại cương, chương 111, § 2, no. 1, Hệ quả của Mệnh đề 4 ). Với mọi $3 \in \mathscr{B}$, vành tôpô thương $A/\mathfrak{J}$ khi đó là rời rạc; với $8 \in \mathscr{B}$, $8' \in \mathscr{B}$, $\mathfrak{J}' \subset 8$, đặt

Nếu $A$ được tôpô hóa tuyến tính, các chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế trong $A[[X_1, \ldots, X_p]]$ tạo thành một vành con của $A[[X_1, \ldots, X_p]]$, được ký hiệu là $A\{X_1, \ldots, X_p\}$: vì nếu

thì $c''_{n_1 \ldots n_p} = \sum c_{r_1 \ldots r_p} c'_{s_1 \ldots s_p}$ đối với mọi hệ $(r_k), (s_k)$ sao cho $r_k + s_k = n_k$ với $1 \leq k \leq p$; ta kết luận rằng nếu $n_k \geq 2m$, thì $r_k \geq m$ hoặc $s_k \geq m$ và do đó, vì $\mathfrak{z}$ là một iđêan, $c''_{n_1 \ldots n_p} \in \mathfrak{g}$ chừng nào $n_k \geq 2m$ đối với ít nhất một $k$, điều này thiết lập mệnh đề của ta. Hơn nữa, mọi đạo hàm $\partial T / \partial X_i$ ($1 \leq i \leq p$) của một chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế đều hạn chế, như suy ra ngay lập tức từ định nghĩa và sự kiện rằng các lân cận $\mathfrak{z} \in \mathscr{B}$ là các nhóm con cộng tính của $\mathbf{A}$.

Nếu $\mathbf{A}$ là rời rạc, vành các chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế chỉ là vành đa thức $\mathbf{A}[X_1, \ldots, X_n]$.

Luôn luôn giả sử rằng $\mathbf{A}$ là được trang bị tôpô tuyến tính và cho $\mathscr{B}$ là một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong $\mathbf{A}$ gồm các iđêan của $\mathbf{A}$; với mọi $\mathfrak{g} \in \mathscr{B}$, cho $p_\mathfrak{g}: \mathbf{A} \to \mathbf{A}/\mathfrak{g}$ là đồng cấu chính tắc. Theo định nghĩa, với mọi chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế $T \in \mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$,

Rõ ràng

là một hệ ngược các vành (đối với tập chỉ số có hướng $\mathscr{B}$) và $(\bar{p}_\mathfrak{g})$ là một hệ ngược các đồng cấu $\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\} \to (\mathbf{A}/\mathfrak{g})[X_1, \ldots, X_p]$; vì mọi đa thức đều là một chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế, $\bar{p}_\mathfrak{g}$ là toàn ánh; hạt nhân của nó $N_\mathfrak{g}$ là iđêan của $\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$ gồm các chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế mà tất cả các hệ số của chúng đều thuộc $\mathfrak{g}$; ta sẽ trang bị cho $\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$ tôpô (tuyến tính) mà đối với nó các $N_\mathfrak{g}$ (với $\mathfrak{g} \in \mathscr{B}$) tạo thành một hệ cơ sở các lân cận của 0 (một tôpô rõ ràng chỉ phụ thuộc vào tôpô trên $\mathbf{A}$). Khi đó, theo Tôpô đại cương, Chương III, § 7, no. 3, Mệnh đề 2, ta có

là một cấu xạ ngặt có hạt nhân là bao đóng của $\{0\}$ trong $\mathbf{A}\{X_1, \ldots, X_n\}$ và có ảnh trù mật trong

3. Bổ đề Hensel

Trong một vành tôpô $A$, một phần tử $x$ được gọi là lũy linh tôpô nếu $O$ là giới hạn của dãy $(x^n)_{n \geq 0}$. Nếu $A$ là một vành giao hoán có tôpô tuyến tính, việc nói rằng $x$ là lũy linh tôpô có nghĩa là với mọi iđêan mở $\mathfrak{J}$ của $A$, ảnh chính tắc của $x$ trong $A/\mathfrak{J}$ là một phần tử lũy linh của vành đó. Nếu $\mathfrak{r}_g$ là căn nil của $A/\mathfrak{J}$, rõ ràng $(\mathfrak{r}_g)$ là một hệ ngược của các tập hợp và tập hợp $t$ các phần tử lũy linh tôpô của $A$ là ảnh ngược của $\mathfrak{r} = \lim \mathfrak{r}_g$ qua đồng cấu chính tắc $A \to \lim A/\mathfrak{J}$; do đó nó là một iđêan đóng của $A$. Nếu ngoài ra $A$ là Hausdorff và đầy đủ, iđêan này được chứa trong căn Jacobson của $A$ và, để một phần tử $x \in A$ là khả nghịch, điều kiện cần và đủ là lớp của nó mod. $t$ là khả nghịch trong $A/t$ (§ 2, no. 13, Bổ đề 3).

Chú ý rằng nếu $A$ là một vành và $m$ là một iđêan hai phía của $A$, các phần tử của $m$ là lũy linh tôpô đối với tôpô m-adic.

Định lý 1 (Hensel). Cho $A$ là một vành giao hoán có tôpô tuyến tính Hausdorff đầy đủ. Cho $m$ là một iđêan đóng của $A$ mà các phần tử của nó là lũy linh tôpô. Cho $B = A/m$ là vành tôpô thương và $\varphi : A \to B$ là ánh xạ chính tắc. Cho $R$ là một chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế trong $A\{X\}$, $\overline{P}$ là một đa thức đơn khởi trong $B[X]$ và $\overline{Q}$ là một chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế trong $B\{X\}$. Giả sử rằng $\overline{\varphi}(R) = \overline{P} \cdot \overline{Q}$ và rằng $\overline{P}$ và $\overline{Q}$ nguyên tố cùng nhau mạnh trong $B\{X\}$. Khi đó tồn tại duy nhất một cặp có thứ tự $(P, Q)$ gồm một đa thức đơn khởi $P \in A[X]$ và một chuỗi lũy thừa hình thức hạn chế $Q \in A\{X\}$ sao cho (4)

Chứng minh được chia thành bốn bước. Trong ba bước đầu tiên ta giả sử rằng $A$ là rời rạc, trong trường hợp đó $R$ và $\overline{Q}$ là các đa thức.

(I) $m^2 = 0$ Cho $S, T$ là hai đa thức của $A[X]$ sao cho $S$ là đơn khởi và $\bar{\varphi}(S) = \overline{P}$, $\bar{\varphi}(T) = \overline{Q}$; Mệnh đề 2 của no. 1 chứng minh rằng $S$ và $T$ nguyên tố cùng nhau mạnh; do đó (no. 1, Mệnh đề 1) tồn tại một cặp có thứ tự duy nhất gồm các đa thức $(S', T')$ của $A[X]$ sao cho (5)

(2) $m$ là lũy linh Cho $n$ là số nguyên nhỏ nhất sao cho $m^n = 0$ và ta lập luận bằng quy nạp theo $n > 2$, định lý đã được chứng minh cho $n = 2$. Đặt $A = A/m^{n-1}$, $m' = m/m^{n-1}$; vì ${m'}^{n-1} = 0$, tồn tại một cặp có thứ tự duy nhất $(P', Q')$ các đa thức trong $A'[X]$ sao cho $P'$ là monic, $R' = P'Q'$, $\psi(P') = \overline{P}$ và $\psi(Q') = \overline{Q}$, trong đó $\psi$ ký hiệu đồng cấu chính tắc $A' \to A'/m' = B$, $\theta$ ký hiệu đồng cấu chính tắc $A \to A'$ và $R' = \tilde{\theta}(R)$. Mặt khác, vì $(m^{n-1})^2 = 0$, tồn tại một cặp có thứ tự duy nhất $(P, Q)$ các đa thức trong $A[X]$ sao cho $P$ là monic và $R = PQ$, $\bar{\theta}(P) = \overline{P}$, $\bar{\theta}(Q) = \overline{Q}$; vì $\phi = \psi \circ \theta$, điều này chỉ ra sự tồn tại và tính duy nhất của $P$ và $Q$ thỏa mãn (4); hơn nữa $P'$ và $Q'$ nguyên tố cùng nhau mạnh theo giả thiết quy nạp và do đó $P$ và $Q$ cũng vậy.

(3) A là rời rạc

Chú ý rằng trong trường hợp này $m$ không còn nhất thiết lũy linh, nhưng theo giả thiết nó luôn là một iđêan lũy linh. Cho $P_0$, $Q_0$ là hai đa thức của $A[X]$ sao cho $\bar{\varphi}(P_0) = \overline{P}$, $\bar{\varphi}(Q_0) = \overline{Q}$ và $P_0$ là đơn thức đầu. Xét iđêan $n$ của $A$ sinh bởi các hệ số của $R - P_0 Q_0$; nó sinh hữu hạn và được chứa trong $m$, do đó nó lũy linh (chương 11, § 2, no. 6, Mệnh đề 15) và theo định nghĩa, nếu $\psi : A \to A/n$ là ánh xạ chính tắc, thì $\bar{\psi}(R) = \bar{\psi}(P_0) \bar{\psi}(Q_0)$. Hơn nữa, $\bar{\psi}(P_0)$ và $\bar{\psi}(Q_0)$ nguyên tố cùng nhau mạnh, như suy ra từ giả thiết đối với $\overline{P}$ và $\overline{Q}$ và Mệnh đề 2 của no. 1 áp dụng cho đồng cấu chính tắc $A/n \to A/m$. Theo trường hợp (2), do đó tồn tại một cặp có thứ tự $(P, Q)$ gồm các đa thức trong $A[X]$ sao cho $P$ là đơn thức đầu và các hệ thức (4) được thỏa mãn. Việc $\overline{P}$ và $\overline{Q}$ nguyên tố cùng nhau mạnh cũng kéo theo ở đây rằng $P$ và $Q$ nguyên tố cùng nhau mạnh trong $A[X]$ theo no. 1, Mệnh đề 2, vì $m$ được chứa trong căn Jacobson của $A$. Cuối cùng, giả sử $P_1$, $Q_1$ là hai đa thức trong $A[X]$ thỏa mãn (4) và $P_1$ là đơn thức đầu, và đặt $n_1$ là iđêan sinh hữu hạn của $A$ sinh bởi các hệ số của $P - P_1$ và các hệ số của $Q - Q_1$; vì $n_1$ được chứa trong $m$, nó lũy linh và, nếu $\psi_1 : A \to A/n_1$ là ánh xạ chính tắc, $\bar{\psi}_1(P) = \bar{\psi}_1(P_1)$ và

(4) Trường hợp tổng quát

Cho $\mathscr{B}$ là một hệ cơ sở các lân cận của 0 trong $A$ gồm các iđêan của $A$. Với mọi $\mathfrak{s} \in \mathscr{B}$, gọi $f_{\mathfrak{s}}$ là ánh xạ chính tắc $A \to A/\mathfrak{s}$, $\phi_{\mathfrak{s}}$ là ánh xạ chính tắc