Hơn nữa các điều kiện này kéo theo : (c) Đồng cấu chính tắc $\gamma_M : \operatorname{gr}(A) \otimes_{\operatorname{gr}_0(A)} \operatorname{gr}_r(M) \to \operatorname{gr}(M)$ là song ánh. Ngược lại, nếu $\mathfrak{g}$ là lũy linh, (c) suy ra (a) và (b).

Sự tương đương của (a) và (b) suy ra từ dãy khớp

Xét tiếp biểu đồ

trong đó ta chú ý rằng $(\mathfrak{g}^n/\mathfrak{g}^{n+1}) \otimes_A (M/\mathfrak{g}M)$ được đồng nhất một cách chính tắc với $(\mathfrak{g}^n/\mathfrak{g}^{n+1}) \otimes_{A/\mathfrak{g}} (M/\mathfrak{g}M)$. Biểu đồ này giao hoán theo định nghĩa của $\gamma_n$ và các hàng của nó là khớp. Nếu (b) đúng, $0$, và $\theta_{n+1}$ là song ánh và do đó $\gamma_n$ cũng là song ánh theo định nghĩa của đối hạt nhân, vì vậy (b) suy ra (c). Ngược lại, giả sử rằng $\mathfrak{g}$ là lũy linh, ta hãy chứng minh rằng (c) suy ra (b); ta sẽ lập luận bằng quy nạp lùi theo $n$, vì $\mathfrak{g}^n \otimes_A M = \mathfrak{g}^n M = 0$ với $n$ đủ lớn. Giả sử khi đó rằng trong biểu đồ (1), $\gamma_n$ và $\theta_{n+1}$ là song ánh; khi đó $\theta_n$ cũng là song ánh theo Chương I, § 1, no. 4, Hệ quả 1 của Mệnh đề 2.

(C) Hệ quả (ii) $\Rightarrow$ (iv)

Nếu (ii) đúng, thì (ii') cũng đúng theo Nhận xét 1; Mệnh đề 1 khi đó chỉ ra rằng $\gamma_M$ là một đẳng cấu. Mặt khác, ta đã biết rằng (ii) suy ra (iii) và do đó $M/\mathfrak{g}M$ là một $(A/\mathfrak{g})$-môđun phẳng, điều này hoàn tất chứng minh rằng (ii) suy ra (iv).

Nhận xét (2). Mệnh đề 1 chỉ ra rằng, nếu $\mathfrak{g}$ là lũy linh, (iv) suy ra (iii); xét đến Nhận xét 1, vì vậy ta đã chứng minh trong trường hợp này rằng (i), (ii), (iii) và (iv) là tương đương.

(D) Sự tương đương (iv) $\Leftrightarrow$ (v)

Với mọi $n \geq 1$, $M/\mathfrak{g}^n M$ có một cấu trúc môđun $(A/\mathfrak{g}^n)$ chính tắc. Nếu nó được lọc bởi phép lọc $(\mathfrak{g}/\mathfrak{g}^n)$-adic, thì hiển nhiên rằng $\mathrm{gr}_m(M/\mathfrak{g}^n M) = \mathrm{gr}_m(M)$ nếu $m < n$ và $\mathrm{gr}_m(M/\mathfrak{g}^n M) = 0$ nếu $m \geq n$. Với mọi $k \geq 1$, đặt $A_k = A/\mathfrak{g}^k$, $\mathfrak{g}_k = \mathfrak{g}/\mathfrak{g}^k$, $M_k = M/\mathfrak{g}^k M$; gọi (iv), (tương ứng $(v)_k$) là mệnh đề dẫn xuất từ (iv) (tương ứng (v)) bằng cách thay $A, \mathfrak{g}, M$ bởi $A_k, \mathfrak{g}_k, M_k$. Từ điều vừa nói suy ra rằng (iv) tương đương với "với mọi $k \geq 1$, $(iv)_k$" và hiển nhiên (v) tương đương với "với mọi $k \geq 1$, $(v)_k$". Khi đó chỉ cần thiết lập sự tương đương $(iv)_k \Leftrightarrow (v)_k$ với mọi $k$, hoặc cũng chỉ cần chứng minh rằng (iv) $\Leftrightarrow$ (v) khi $3$ là lũy linh. Bây giờ (Nhận xét 2) ta đã thấy rằng trong trường hợp đó (iv) tương đương với (i). Vì $M/\mathfrak{g}^n M$ đẳng cấu với $M \otimes_A (A/\mathfrak{g}^n)$, (i) suy ra (v) (Chương I, § 2, no. 7, Hệ quả 2 của Mệnh đề 8); hơn nữa hiển nhiên (v) khi đó suy ra (i). Do đó ta đã chứng minh sự tương đương (iv) $\Leftrightarrow$ (v) trong mọi trường hợp và cũng chứng minh sự tương đương của tất cả các tính chất của định lý trong trường hợp $3$ là lũy linh.

(E) Sự kéo theo (v) $\Rightarrow$ (i) khi $A$ là Noether và $M$ là Hausdorff theo iđêan

Chỉ cần chứng minh rằng với mọi iđêan $a$ của $A$, ánh xạ chính tắc $j : a \otimes_A M \to M$ là đơn ánh (Chương I, § 2, no. 3, Mệnh đề 1). Cho $x \in \mathrm{Ker}\, j$; $a \otimes_A M$ là Hausdorff với tôpô $\mathfrak{g}$-adic, chỉ cần kiểm tra rằng, với mọi số nguyên $n > 0$, $x \in \mathfrak{g}^n(a \otimes_A M)$. Gọi $f : \mathfrak{g}^n a \to a$ là đơn ánh chính tắc; chỉ cần chứng minh rằng $x \in \mathrm{Im}(f \otimes 1_M)$; vì nếu $b \in \mathfrak{g}^n$, $a \in a$ và $m \in M$, ảnh qua $f \otimes 1$, của phần tử $(ba) \otimes m$ của $(\mathfrak{g}^n a) \otimes_A M$ là phần tử $(ba) \otimes m = b(a \otimes m)$ của $a \otimes_A M$ và do đó $\mathrm{Im}(f \otimes 1_M) \subset \mathfrak{g}^n(a \otimes_A M)$. Theo Định lý Krull (§ 3, no. 2, Định lý 2), tồn tại một số nguyên $k$ sao cho $a_j = a \cap \mathfrak{g}^k \subset \mathfrak{g}^n a$; nếu $i : a_j \to a$ là đơn ánh chính tắc, thì khi đó chỉ cần chứng minh rằng $x \in \operatorname{Im}(i \otimes 1_M)$. Bây giờ, ký hiệu $p : a \to a/a_k$ và $h : a/a_k \to A/\mathfrak{g}^k$ là các ánh xạ chính tắc, ta có một biểu đồ giao hoán

trong đó hàng thứ nhất là khớp. Chỉ cần chứng minh rằng $x \in \operatorname{Ker}(p \otimes 1_M)$ và, vì $x \in \operatorname{Ker} j$ theo giả thiết, chỉ cần kiểm tra rằng ánh xạ $h \otimes 1_1$, là đơn ánh. Bây giờ, nó cũng có thể được viết (Đại số, Chương II, § 3, no. 6, Hệ quả 3 của Mệnh đề 6)

và, vì $h$ là đơn ánh và, theo (v), $M/\mathfrak{g}^k M$ là một $(A/\mathfrak{g}^k)$-môđun phẳng, điều này hoàn tất chứng minh.

Nói tổng quát hơn, ta sẽ thấy rằng với mọi $A$-môđun $N$ sinh hữu hạn, $N \otimes_A M$ là Hausdorff với tôpô $3$-adic. Thật vậy, $N_{(B)} = N \otimes_A B$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn và $B$-môđun $N \otimes_A M$ được đồng nhất một cách chính tắc với $N_{,,} \otimes_B M$ nhờ tính kết hợp của tích tenxơ. Gọi $\mathfrak{L}$ là căn Jacobson của $B$; vì $\mathfrak{g} B$ được chứa trong $\mathfrak{L}$, tôpô $\mathfrak{g}$-adic trên $N \otimes_A M$ do đó được đồng nhất với một tôpô mịn hơn tôpô $\mathfrak{L}$-adic trên $N_{(B)} \otimes_B M$; nhưng tôpô sau này là Hausdorff vì $N_{,,} \otimes_B M$ là một $B$-môđun sinh hữu hạn (no. 1, Ví dụ 1), do đó có kết luận.

Điều kiện (a) suy ra (b) theo Chương I, §2, no. 7, các Hệ quả 2 và 3 đối với Mệnh đề 8 và sự kiện rằng $M/\mathfrak{g} M$ đẳng cấu với $M \otimes_B (B/\mathfrak{g} B)$. Giả sử điều kiện (b) đúng; để chứng minh rằng $M$ là một $B$-môđun phẳng, ta sẽ áp dụng Định lý 1 của no. 2 với $A$ được thay bởi $B$ và $\mathfrak{g}$ bởi $\mathfrak{g} B$. Do đó chỉ cần chứng minh rằng ánh xạ chính tắc $f : \mathfrak{J}B \otimes_B M \to \mathfrak{J}M$ là đơn ánh. Gọi $f_1$ là ánh xạ chính tắc $\mathfrak{J} \otimes_A B \to \mathfrak{J}B$ và $f_2$ là đẳng cấu chính tắc $\mathfrak{J} \otimes_A M \to (\mathfrak{J} \otimes_A B) \otimes_B M ; f \circ (f_1 \circ 1_M) \circ f_2$ là ánh xạ chính tắc $f' : \mathfrak{J} \otimes_A M \to \mathfrak{J}M$, như dễ dàng kiểm tra. Bây giờ $f'$ là một đẳng cấu vì $M$ là một $A$-môđun phẳng, trong khi đó $f_1$ là một đẳng cấu vì $B$ là phẳng trên $A$; khi đó $f$ là một đẳng cấu.

Cho $p : A/\mathfrak{J} \to B/\mathfrak{J}B$ là đồng cấu chính tắc; cấu trúc môđun $(A/\mathfrak{J})$ trên $M/\mathfrak{J}M$ dẫn xuất nhờ $p$ từ cấu trúc môđun $(B/\mathfrak{J}B)$ của nó là đẳng cấu với cấu trúc trên $M \otimes_A (A/\mathfrak{J})$. Khi đó suy ra rằng, nếu $M$ là một $A$-môđun phẳng, thì $M/\mathfrak{J}M$ là một $(A/\mathfrak{J})$-môđun phẳng và do đó cũng là một $(B/\mathfrak{J}B)$-môđun phẳng nếu $p$ là một đẳng cấu; như vậy ta đã chứng minh rằng (c) $\Rightarrow$ (b) trong trường hợp đó.

Thực tế ta biết rằng $\hat{A}$ là một vành Noether ($§ 3$, no. 4, Mệnh đề 8) và một $A$-môđun phẳng ($§ 3$, no. 4, Định lý 3), rằng $\mathfrak{J} \hat{A} = \hat{\mathfrak{J}}$ ($§ 2$, no. 12, Mệnh đề 16) và rằng đồng cấu chính tắc $A/\mathfrak{J} \to \hat{A}/\hat{\mathfrak{J}}$ là song ánh ($§ 2$, no. 12, Mệnh đề 15); do đó có thể áp dụng Mệnh đề 3.

Vì $B$ với tôpô $2$-adic là một vành Zariski, $\hat{B}$ là một $B$-môđun phẳng trung thành ($§ 3$, no. 5, Mệnh đề 9) và $M$ đẳng cấu chính tắc với $M \otimes_B \hat{B}$ ($§ 3$, no. 4, Định lý 3); người ta kiểm tra ngay lập tức rằng đẳng cấu chính tắc này là một đẳng cấu từ cấu trúc môđun $A$ trên $\hat{M}$ lên cấu trúc môđun $A$ trên $M \otimes_B \hat{B}$ dẫn xuất từ cấu trúc trên $M$. Áp dụng Mệnh đề 4 của Chương I, $§ 3$, no. 2 với $R$ được thay bởi $B$, $S$ bởi $A$, $E$ bởi $\hat{B}$, $F$ bởi $M$, ta thấy rằng để $M$ là một $A$-môđun phẳng, điều kiện cần và đủ là $\hat{M}$ là một $A$-môđun phẳng. Hơn nữa, $\hat{M}$ là một $\hat{B}$-môđun sinh hữu hạn và $\mathfrak{J} \hat{B}$ được chứa trong $\mathfrak{Q} = \mathfrak{Q} \hat{B}$ và do đó trong căn Jacobson của $\hat{B}$ ($§ 3$, no. 4, Mệnh đề 8); vì vậy $\hat{M}$ là một $A$-môđun Hausdorff lý tưởng đối với $\mathfrak{J} \hat{A}$ (Mệnh đề 2). Các điều kiện (b) và (c) do đó tương đương theo Hệ quả của Mệnh đề 3.