La prop. 1 de IX, p. 5, montre en effet que $\bar{d}$ est un écart fini sur $\hat{X}$, et y définit la structure uniforme obtenue par complétion; comme cette dernière est séparée, $\bar{d}$ est une distance.

Lorsqu’on considère le complété d’un espace métrique $X$ comme un espace métrique, on sous-entend toujours que la distance sur $\hat{X}$ est obtenue en prolongeant par continuité la distance sur $X$.

En effet, la propriété $d(x, A) = 0$ exprime que la boule $V_a(x)$ rencontre $A$ quel que soit $a > 0$, ce qui équivaut à $x \in \overline{A}$.

Soient en effet $x, y$ deux points quelconques de $X$; quel que soit $\varepsilon > 0$, il existe $z \in A$ tel que $d(y, z) \leq d(y, A) + \varepsilon$, d’où, en vertu de l’inégalité du triangle

A fortiori $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A) + \varepsilon$, et comme $\varepsilon$ est arbitraire, $d(x, A) \leq d(x, y) + d(y, A)$. De la même manière, on a c’est-à-dire d’où la proposition.

Soit en effet $a$ un point quelconque de $\overline{X}$; pour tout $k > \omega(a; f)$, il existe un voisinage ouvert $V$ de $a$ tel que $\delta(f(V \cap X)) \leq k$; pour tout $x \in V \cap \overline{X}$, $V$ est un voisinage de $x$, donc

ce qui prouve que $\omega$ est semi-continue supérieurement au point $a$.

Pour qu’on ait $\omega(x; f) = 0$ en un point $x \in \overline{X}$, il faut et il suffit que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe un voisinage $V$ de $x$ tel que $f(V \cap X)$ soit contenu dans une boule de rayon $\varepsilon$; si $x \in X$, cette condition exprime que $f$ est continue au point $x$ (par rapport à $X$); si $x \in X \cap \mathscr{CX}$, elle exprime que l’image par $f$ de la trace sur $X$ du filtre des voisinages de $x$ dans $Z$ est une base de filtre de Cauchy sur $Y'$; en particulier:

La condition est nécessaire, car (avec la notation de IX, p. 12), les entourages $V_{1/n}(n \geqslant 1)$ forment une base du filtre des entourages de la structure uniforme d’un espace métrique.

La condition est suffisante, car si elle est remplie, la structure uniforme considérée est définie par un seul écart (qu’on peut supposer fini) d’après la prop. 2 de IX, p. 6, et comme elle est séparée, cet écart est une distance.

En effet, si $(f_n)$ est une suite d’écart définissant une telle structure, le filtre des entourages est engendré par la famille dénombrable des ensembles $-1^{f_n}([0, 1/m])$, où $m$ et $n$ parcourent l’ensemble des entiers $> 0$.

En effet, un tel espace est séparé, et sa structure uniforme admet un système fondamental dénombrable d’entourages (d’après II, p. 8, prop. 4).

Plus généralement:

En effet, soit $d$ une distance compatible avec la topologie d’un espace métrisable $X$. Si $A$ est fermé dans $X$, il est l’intersection des ensembles ouverts $V_{1/n}(A)$ (ensemble des $x$ tels que $d(x, A) < 1/n$; cf. IX, p. 13, prop. 2). La seconde partie de la proposition résulte de la première par passage aux complémentaires.

Nous savons déjà que la condition est suffisante (I, p. 47, prop. 6). Pour voir qu’elle est nécessaire, considérons un système fondamental dénombrable (V_n) de voisinages de x tel que V_{n+1} \subset V_n pour tout n. Si x est adhérent à A, chacun des ensembles V_n \cap A est non vide; si x_n est un point de V_n \cap A, la suite (x_n) converge vers x.\footnote{La proposition peut encore être exacte dans certains espaces où un point au moins n’admet pas de système fondamental dénombrable de voisinages: par exemple, l’espace obtenu en rendant compact, par adjonction d’un point à l’infini (I, p. 67, th. 4), un espace discret non dénombrable.}

La prop. 8 entraîne ceci:

En effet, soit $\hat{X}$ le complété de X; s’il existe un point $x \in \hat{X}$ n’appartenant pas à X, il existe une suite $(x_n)$ de points de X qui converge vers x; c’est une suite de Cauchy non convergente dans X.

On sait déjà que la condition est nécessaire (I, p. 50, cor. 1). Pour voir qu’elle est suffisante, considérons le filtre $\mathscr{B}$ des voisinages de $f(a)$ dans Y; l’hypothèse entraîne que $f^{-1}(\mathfrak{B})$ est moins fin que tout filtre élémentaire associé à une suite qui converge vers $a$, c’est-à-dire tout filtre élémentaire convergent vers $a$; mais l’intersection de ces derniers est le filtre des voisinages de $a$ (I, p. 43, prop. 11), d’où la proposition.

On notera que les prop. 8 et 10 sont encore valables dans un espace $X$ où l’on suppose que tout point admet un système fondamental dénombrable de voisinages.

Soit d’une distance définissant la topologie de $X$. Supposons d’abord que $f = \varphi_A$, où $A$ est une partie ouverte de $X$. La fonction $h_n$ définie par

est alors continue, finie et $\geqslant 0$ dans $X$; en outre, $h_n(x) = f(x)$ pour $x \in X - A$ et pour $d(x, X - A) > 1/n$. On a donc bien $f = \sup_n h_n$. Dans le cas général, il résulte de IV, p. 31, prop. 3 que $f$ est l’enveloppe supérieure d’une suite $(g_n)$ de fonctions dont chacune est combinaison linéaire de fonctions caractéristiques d’ensembles ouverts. En vertu de ce qu’on vient de voir, $g_n$ est l’enveloppe supérieure d’une suite croissante $(h_{mn})_{m \geqslant 0}$ de fonctions continues finies et $\geqslant 0$ (IV, p. 30); d’où il résulte que $f = \sup_{m, n} h_{mn}$ (E, III, p. 11). En posant $f_n = \sup_{p \leqslant n, q \leqslant n} h_{pq}$, on voit que $f$ est l’enveloppe supérieure de la suite croissante des fonctions $f_n$, qui sont finies, $\geqslant 0$ et continues (IV, p. 30).

b) il existe un ensemble dénombrable dense dans $X$; c) $X$ est homéomorphe à un sous-espace du cube $I^\mathbf{N}$, où $I$ est l’intervalle $(0, 1)$ dans $\mathbf{R}$.

D’après les remarques précédentes, il est clair que c) implique a); a) implique b), car si $(U_n)$ est une base dénombrable de la topologie de $X$ et $a_n$ un point de $U_n$, l’ensemble des $a_n$ est partout dense dans $X$. Montrons enfin que b) entraîne c). Soit $(a_n)$ une suite partout dense de points de $X$, et pour tout $x \in X$, soit $\varphi(x)$ le point $(d(x, a_n))_{n \in \mathbf{N}}$ de $I^\mathbf{N}$ ($d$ étant une distance compatible avec la topologie de $X$ et pour laquelle le diamètre de $X$ est $\leqslant 1$); nous allons voir que $\varphi$ est un homéomorphisme de $X$ sur un sous-espace de $I^\mathbf{N}$. En effet, $\varphi$ est continue puisque chacune des fonctions $x \mapsto d(x, a_n)$ l’est; en outre $\varphi$ est injective, car tout point de $X$ est limite d’une suite extraite de $(a_n)$ (IX, p. 17, prop. 8). Soit $B$ une boule de centre $x_0$ et de rayon $r$ dans $X$, et soit $n$ un entier tel que $d(x_0, a_n) < r/3$. L’image par $\varphi$ de l’ensemble $W$ des points $x \in X$ tels que

est par définition un voisinage de $\varphi(x_0)$ dans $\varphi(X)$. Mais pour tout $x \in W$, on a $d(x, a_n) < d(x_0, a_n) + r/3 < 2r/3$, d’où

ce qui montre que $W$ est un voisinage de $x_0$ contenu dans $B$; donc $\varphi$ est un homéomorphisme de $X$ sur $\varphi(X)$.

On notera que pour un espace topologique quelconque $X$, la propriété b) n’entraîne pas nécessairement l’existence d’une base dénombrable, même lorsque $X$ est compact et que tout point de $X$ admet un système fondamental dénombrable de voisinages (IX, p. 92, exerc. 12; cf. I, p. 90, exerc. 7).

L’assertion (i) résulte de la définition; pour prouver l’assertion (ii) relative aux sommes, notons que toute somme d’espaces métrisables est métrisable (IX, p. 16); d’autre part, si $X$ est somme d’une suite $(X_n)$ d’espaces topologiques et si $D_n$ est une partie partout dense de $X_n$, $\bigcup_n D_n$ est dense dans $X$. Enfin, l’assertion (ii) relative aux produits résulte de la prop. 12 et de la relation $(I^\mathbf{N})^\mathbf{N} = I^{\mathbf{N} \times \mathbf{N}}$, et du fait que $\mathbf{N} \times \mathbf{N}$ est dénombrable.

En effet, soit $H$ la partie de $\mathbf{N}$ formée des indices $n$ tels que $U_n$ soit contenu dans un au moins des $V_i$; la suite $(U_n)_{n \in H}$ est un recouvrement de $X$, car tout point $x \in X$ appartient à un $V_i$, et comme $V_i$ est ouvert, il existe un indice $n$ tel que $x \in U_n \subset V_i$. Cela étant, il existe une application $\psi$ de $H$ dans $I$ telle que $U_n \subset V_{\psi(n)}$ pour tout $n \in H$; en prenant $J = \psi(H)$, qui est dénombrable, on répond à la question.

Si on ajoute l’hypothèse que $X$ est complet, on obtient un critère de compacité des espaces métriques.

On déduit de la prop. 14 un critère topologique de compacité, applicable aux espaces métrisables:

D’après l’axiome (C) (I, p. 59), la condition est nécessaire. Pour voir qu’elle est suffisante, considérons une distance $d$ compatible avec la topologie de $X$. Montrons d’abord que l’espace métrique $X$ ainsi défini est complet: en effet, toute suite de Cauchy dans $X$ a alors une valeur d’adhérence, et par suite est convergente (II, p. 14, cor. 2 de la prop. 5); la prop. 9, IX, p. 17 montre donc que $X$ est complet. En second lieu, montrons que $X$ est précompact; dans le cas contraire, en vertu de la prop. 14, il existerait un nombre $\alpha > 0$ tel qu’il n’y ait aucun recouvrement fini de $X$ par des parties de $X$ de diamètre $< \alpha$. On pourrait alors définir par récurrence sur $n$ une suite infinie $(x_n)$ de points de $X$ par la condition $d(x_p, x_n) > \alpha/2$ pour tout $p < n$; or, une telle suite ne peut avoir de valeur d’adhérence, puisque toute boule de rayon $< \alpha/4$ contient au plus un point de la suite.

La condition est nécessaire d’après I, p. 62, prop. 7. Inversement, soit $d$ une distance compatible avec la topologie de $X$. Montrons que l’espace $\overline{A}$ est compact, en appliquant le critère de la prop. 15: soit $(x_n)$ une suite de points de $\overline{A}$; pour chaque indice $n$, il existe $y_n \in A$ tel que $d(x_n, y_n) < 1/n$; la suite $(y_n)$ admet par hypothèse une valeur d’adhérence $a \in X$, et $a$ est aussi valeur d’adhérence de la suite $(x_n)$, car si $y_m$ appartient à la boule de centre $a$ et de rayon $1/n$ pour un $m > n$, $x_m$ appartient à la boule de centre $a$ et de rayon $2/n$.

Il faut remarquer que la prop. 15 n’est pas une conséquence de l’existence, en tout point de X, d’un système fondamental dénombrable de voisinages; on peut donner des exemples d’espaces non métrisables et non compacts, dans lesquels tout point possède un système fondamental dénombrable de voisinages, et toute suite de points une valeur d’adhérence (IX, p. 94, exerc. 14).

La condition est nécessaire. En effet, d’après la prop. 14 (IX, p. 20), pour tout entier $n \geqslant 1$, il existe une partie finie $A_n$ de X telle que la distance à $A_n$ de tout point de X soit $\leqslant 1/n$; l’ensemble dénombrable $A = \bigcup_n A_n$ est par suite dense dans X, d’où notre assertion (IX, p. 18, prop. 12).

La condition est suffisante. Soit en effet $(U_n)$ une base dénombrable de la topologie de X. Tout voisinage d’un point de la diagonale $\Delta$ de $X \times X$ contient alors un voisinage de la forme $U_n \times U_n$; il résulte de l’axiome de Borel-Lebesgue appliqué à l’ensemble compact $\Delta$ dans $X \times X$, que tout voisinage de $\Delta$ contient une réunion finie d’ensembles de la forme $U_n \times U_n$, qui est un voisinage de $\Delta$. Les voisinages de $\Delta$ qui sont réunions finies d’ensembles de la forme $U_n \times U_n$ forment par suite un système fondamental d’entourages de la structure uniforme de X (II, p. 27, th. 1); notre assertion résulte par suite du th. 1 (IX, p. 5).

a) la topologie de X admet une base dénombrable; b) $X'$ est métrisable; c) X est métrisable et dénombrable à l’infini.

Montrons d’abord que a) entraîne b). Soit $(U_n)$ une base dénombrable de la topologie de X; tout voisinage d’un point x de X contient un voisinage compact de x, lequel contient à son tour un voisinage de x égal à l’un des $U_n$; ceux des $U_n$ qui sont relativement compacts forment donc aussi une base de la topologie de X, et on peut donc supposer tous les $U_n$ relativement compacts. L’espace X est donc réunion dénombrable des ensembles compacts $\overline{U}_n$, autrement dit est dénombrable à l’infini; cela entraîne que, dans $X'$, le point $\omega$ admet un système fondamental dénombrable $(V_n)$ de voisinages ouverts (I, p. 69, corollaire); il est clair alors que tout voisinage d’un point $y \in X'$ contient, soit l’un des $U_n$, soit l’un des $V_n$, qui est un voisinage de y; autrement dit les $U_n$ et les $V_n$ forment une base dénombrable de la topologie de E’, et notre assertion résulte de la prop. 16.

Il est immédiat que b) entraîne c), car b) implique que $\omega$ admet un système fondamental dénombrable de voisinages (I, p. 69, corollaire).

Prouvons enfin que c) entraîne a). Il existe par hypothèse une suite croissante $(V_n)$ d’ensembles ouverts relativement compacts, formant un recouvrement ouvert de X et tels que $V_n \subset V_{n+1}$ (I, p. 68, prop. 15). Le sous-espace $V_n$ étant compact et métrisable, admet une base dénombrable (IX, p. 21, prop. 16), et il en est donc de même de $V_n$; soit $(U_{mn})_{m \geq 1}$ une base de la topologie de $V_n$. Pour $x \in E$ et tout voisinage $W$ de $x$, il existe $n$ tel que $x \in V_n$, donc il existe $m$ tel que $x \in U_{mn} \subset V_n \cap W$; les ensembles $U_{mn}$ ($m \geq 1, n \geq 1$) forment par suite une base de la topologie de $X$.

Il revient au même de dire que si $f$ est une application continue d’un espace compact métrisable $X$ dans un espace séparé $Y$, $f(X)$ est un sous-espace métrisable de $Y$ (I, p. 63, cor. 3).

Soient $X$ un espace compact métrisable, $R$ une relation d’équivalence dans $X$ telle que $X/R$ soit séparé. On sait alors (I, p. 62, th. 2) que $X/R$ est compact; d’après la prop. 16 (IX, p. 21), tout revient à prouver que la topologie de $X/R$ admet une base dénombrable. Nous utiliserons pour cela le fait que $R$ est fermée (I, p. 63, cor. 2) et que les classes mod. $R$ sont compactes. Soit $\varphi$ l’application canonique de $X$ sur $X/R$, et soit $(U_n)$ une base dénombrable de la topologie de $X$.

Soient $z$ un point quelconque de $X/R$, $V$ un voisinage de $z$ dans $X/R$; $\varphi^{-1}(V)$ est donc un voisinage dans $X$ de l’ensemble compact $\varphi^{-1}(z)$. Comme pour tout $x \in \varphi^{-1}(z)$ il existe un $U_n$ contenant $x$ et contenu dans $\varphi^{-1}(V)$, l’axiome de Borel-Lebesgue montre qu’il existe un recouvrement ouvert fini $(U_{n_k})_{1 \leq k \leq r}$ de $\varphi^{-1}(z)$ tel que, si on pose $W = \bigcup_k U_{n_k}$, $W$ soit un voisinage de $\varphi^{-1}(z)$ contenu dans $\varphi^{-1}(V)$. Comme $R$ est fermée, $\varphi(W)$ est alors un voisinage de $z$ dans $X/R$, contenu dans $V$ (I, p. 35, Remarque). Désignons par $\mathfrak{B}$ l’ensemble des intérieurs des ensembles de la forme $\varphi(W)$, où $W$ parcourt l’ensemble $\mathfrak{F}$ des réunions finies d’ensembles de la forme $U_n$; ce qui précède prouve que $\mathfrak{B}$ est une base de la topologie de $X/R$, et comme $\mathfrak{F}$ est dénombrable, il en est de même de $\mathfrak{B}$.

Soit $\mathfrak{B}_1$ l’ensemble des boules ouvertes de rayon $1/2$ dans $X$. Lorsque $B$ parcourt $\mathfrak{B}_1$, les ensembles $\varphi(B)$ forment un recouvrement ouvert de $K$, donc il existe un nombre fini de points $x_1, \ldots, x_m$ de $X$ tels que les images par $\varphi$ des boules ouvertes de rayon $1/2$ et de centre $x_i (1 \leq i \leq m)$ forment un recouvrement ouvert de K. Posons $H_1 = \{x_1, \ldots, x_m\}$, et supposons défini, pour $1 < i \leq n$, un ensemble fini $H_i$ tel que:

$1^\circ$ $H_i \subset H_{i+1}$ et tout point de $H_{i+1}$ est à une distance $< 1/2^i$ de $H_i$ pour $1 \leq i \leq n - 1$; $2^\circ$ les images par $\varphi$ des boules ouvertes de rayon $1/2^i$, dont le centre parcourt $H_i$, forment un recouvrement ouvert de K, pour $1 \leq i \leq n$.

Soit alors $\mathfrak{B}_{n+1}$ l’ensemble des boules ouvertes de rayon $1/2^{n+1}$, dont le centre $x$ est tel que $d(x, H_n) < 1/2^n$; d’après les propriétés de $H_n$, les ensembles $\varphi(B)$, où B parcourt $\mathfrak{B}_{n+1}$, forment un recouvrement ouvert de K; donc il existe un ensemble fini $L_{n+1} \subset X$, tel que les images par $\varphi$ des boules ouvertes de rayon $1/2^{n+1}$, dont le centre parcourt $L_{n+1}$, forment un recouvrement ouvert de K; en prenant $H_{n+1} = H_n \cup L_{n+1}$, on voit qu’on peut définir par récurrence une suite infinie $(H_n)$ de parties de X ayant les propriétés $1^\circ$ et $2^\circ$ ci-dessus. Posons $H = \bigcup_n H_n$ et montrons que H est précompact: pour tout $p > 0$ et tout point $z_{n+p} \in H_{n+p}$, il existe une suite de points $z_{n+i} \in H_{n+i} (0 \leq i \leq p-1)$ tels que

on en conclut que $d(z_n, z_{n+p}) \leq \sum_{i=0}^{p-1} 1/2^{n+i} \leq 1/2^{n-1}$, et par suite pour tout $y \in H$, ce qui prouve notre assertion. Comme X est complet, $H$ est compact, et par suite $\varphi(H)$ est compact. Montrons que $K \subset \varphi(H)$: si $z \in K$, on a par définition $d(H_n, \varphi^{-1}(z)) \leq 1/2^n$ pour tout $n$, d’où $d(H, \varphi^{-1}(z)) = 0$; comme $\varphi^{-1}(z)$ est fermé et $H$ compact, cela entraîne $H \cap \varphi^{-1}(z) \neq \varnothing$ (IX, p. 14, Remarque), d’où notre assertion. Si alors $K' = H \cap \varphi^{-1}(K)$, $K'$ est fermé dans $H$, donc compact, et on a $\varphi(K') = K$.