Exercice 20, § 8

a) Dans un espace topologique X, on dit qu’un ensemble ouvert U est régulier si l’on a U = \alpha(U) (I, p. 89, exerc. 3); il revient au même de dire que U est l’intérieur d’un ensemble fermé. On dit que X est semi-régulier (et que sa topologie \mathscr{T} est semi-régulière) si les ensembles ouverts réguliers de X forment une base pour \mathscr{T}. Montrer que si \mathscr{T} vérifie l’axiome (O_{III}), \mathscr{T} est semi-régulière.

b) L’intersection de deux ensembles ouverts réguliers est un ensemble ouvert régulier. En déduire que les ensembles ouverts réguliers pour \mathscr{T} forment la base d’une topologie \mathscr{T}* sur X, moins fine que \mathscr{T} et semi-régulière (utiliser l’exerc. 3 d) de I, p. 89); on dit que \mathscr{T}* est la topologie semi-régulière associée à \mathscr{T}. Pour toute partie U de X, ouverte pour \mathscr{T}, l’adhérence de U pour \mathscr{T}* est égale à son adhérence pour \mathscr{T}; si X est accessible pour \mathscr{T}, les points isolés de X pour \mathscr{T}* sont les mêmes que pour \mathscr{T}. Pour que \mathscr{T}* soit séparée, il faut et il suffit que \mathscr{T} le soit. Si Y est un espace régulier, les applications continues de X dans Y sont les mêmes pour la topologie \mathscr{T} et pour la topologie \mathscr{T}*.

c) Soient X un espace semi-régulier, \mathscr{T}_0 sa topologie. Pour qu’une topologie \mathscr{T} sur X soit telle que \mathscr{T}* = \mathscr{T}_0, il faut et il suffit qu’il existe un ensemble \mathscr{M} de parties de X denses pour \mathscr{T}_0, tel que toute intersection finie d’ensembles de \mathscr{M} appartienne à \mathscr{M}, et que la topologie \mathscr{T} soit engendrée par la réunion de \mathscr{M} et de l’ensemble des parties ouvertes pour \mathscr{T}_0. (Pour montrer que la condition est nécessaire, considérer les ensembles ouverts et partout denses pour \mathscr{T}, et observer que tout ensemble ouvert pour \mathscr{T} est l’intersection d’un ensemble ouvert partout dense pour \mathscr{T} et d’un ensemble ouvert pour \mathscr{T}_0.) En déduire des exemples de topologies séparées non régulières plus fines qu’une topologie régulière (et même plus fines qu’une topologie d’espace compact métrisable).

d) Montrer que les ensembles ouverts réguliers forment un réseau booléien achevé (E, III, p. 71, exerc. 11) pour la relation d’inclusion.