Bài tập 20, § 8

a) Một tập con mở $U$ của một không gian tôpô $X$ được gọi là chính quy nếu $U = \alpha(u)$ (§ 1, Bài tập 3); tương đương, $U$ là chính quy nếu $U$ là phần trong của một tập đóng. $X$ được gọi là nửa chính quy (và tôpô $\mathfrak{T}$ của nó được gọi là nửa chính quy) nếu các tập con mở chính quy của $X$ tạo thành một cơ sở của $\mathfrak{T}$. Chứng minh rằng nếu $\mathfrak{T}$ thỏa tiên đề $(O_{III})$ thì $\mathfrak{T}$ là nửa chính quy.

b) Chứng minh rằng giao của hai tập mở chính quy là một tập mở chính quy. Suy ra rằng các tập mở chính quy đối với $\mathfrak{T}$ tạo thành một cơ sở của một tôpô $\mathfrak{T}^*$ trên $X$, thô hơn $\mathfrak{T}$ và nửa chính quy; $\mathfrak{T}^*$ được gọi là tôpô nửa chính quy liên kết với $\mathfrak{T}$. Chứng minh rằng đối với mỗi tập con $U$ của $X$ mở trong $\mathfrak{T}$, bao đóng của $U$ đối với $\mathfrak{T}^*$ trùng với bao đóng của nó trong $\mathfrak{T}$, và rằng nếu $X$ là khả tiếp đối với $\mathfrak{T}$ thì các điểm cô lập của $X$ đối với $\mathfrak{T}^*$ cũng chính là các điểm cô lập của $X$ đối với $\mathfrak{T}$. Chứng minh rằng $\mathfrak{T}^*$ là Hausdorff khi và chỉ khi $\mathfrak{T}$ là [dùng Bài tập 3 d) của § 1], và cuối cùng rằng nếu $Y$ là một không gian chính quy thì các ánh xạ liên tục từ $X$ vào $Y$ là như nhau trong cả hai tôpô $\mathfrak{T}$ và $\mathfrak{T}^*$.

c) Cho $X$ là một không gian nửa chính quy và cho $\mathfrak{T}_0$ là tôpô của nó. Chứng minh rằng một tôpô $\mathfrak{T}$ trên $X$ có tính chất $\mathfrak{T}^* = \mathfrak{T}_0$ khi và chỉ khi có một tập hợp $\mathfrak{M}$ gồm các tập con trù mật của $X$ (trong tôpô $\mathfrak{T}_0$) sao cho mọi giao hữu hạn của các tập hợp thuộc $\mathfrak{M}$ đều thuộc $\mathfrak{M}$, và sao cho tôpô $\mathfrak{T}$ được sinh bởi hợp của $\mathfrak{M}$ và tập hợp các tập con của $X$ mở trong tôpô $\mathfrak{T}_0$. [Xét các tập mở trù mật (trong tôpô $\mathfrak{T}$) và chú ý rằng mọi tập mở trong $\mathfrak{T}$ là giao của một tập mở trù mật (trong tôpô $\mathfrak{T}$) và một tập mở (trong tôpô $\mathfrak{T}_0$).] Do đó hãy xây dựng các ví dụ về các tôpô Hausdorff không chính quy mà mịn hơn một tôpô chính quy (và thậm chí mịn hơn một tôpô của một không gian mêtric hóa compact).