En effet, $G \cap P$ est compact et discret, donc fini. Soit $x$ un point quelconque de $G$; il est égal à une combinaison linéaire $\sum_{i=1}^p t_i a_i$ à coefficients réels des $a_i$. Pour tout entier $m > 0$, considérons le point

il appartient à $G$, et comme $0 \leq m t_i - [m t_i] < 1$, il est contenu dans $P$. On en déduit tout d’abord que $x = z_1 + \sum_{i=1}^p [t_i] a_i$, donc $G$ est engendré par $G \cap P$. D’autre part, comme $G \cap P$ est fini, il existe deux entiers distincts $h, k$ tels que $z_h = z_k$, ce qui entraîne $(h - k) t_i = [h t_i] - [k t_i]$ pour $1 \leq i \leq p$; donc les $t_i$ sont rationnels.

La prop. 1 montre que la condition est nécessaire. Elle est suffisante, car si elle est remplie, on peut écrire $t_i = m_i / d$, où $d$ et les $m_i$ sont entiers ($1 \leq i \leq p$); $b$ est donc combinaison linéaire à coefficients entiers des $p$ points $(1/d) a_i$, d’où résulte que $G$ est un sous-groupe du groupe discret engendré par ces $p$ points, et par suite est lui-même discret.

On peut encore exprimer le résultat de la prop. 1 de la façon suivante: si $q$ points $x_i$ ($1 \leq i \leq q$) d’un sous-groupe discret $G$ de $\mathbf{R}^n$ forment un système lié par rapport à $\mathbf{R}$, ils forment aussi un système lié par rapport à $\mathbf{Q}$. On en conclut aussitôt que le rang rationnel d’un sous-groupe discret de $\mathbf{R}^n$ est égal à son rang.

Le corollaire de la prop. 1, appliqué au cas où les $a_i$ sont les $n$ vecteurs $e_i$ de la base canonique, donne la proposition suivante:

1 On rappelle (IV, p. 41) que pour tout nombre réel $x$, $[x]$ est la partie entière de $x$, c’est-à-dire le plus grand entier rationnel qui soit $\leq x$.

D’après les propriétés des groupes isomorphes à $\mathbf{Z}^p$ rappelées plus haut, il suffira de montrer que G est sous-groupe d’un groupe discret engendré par un système libre de p points. Or, comme G est de rang p, il existe un système libre de p points $\mathbf{a}_i$ ($1 \leq i \leq p$) de G tel que tout $\mathbf{x} \in G$ soit égal à une combinaison linéaire $\sum_{i=1}^p t_i \mathbf{a}_i$ à coefficients réels des $\mathbf{a}_i$; G étant discret, la prop. 1 (VII, p. 2) montre que les $t_i$ sont rationnels et que G est engendré par un nombre fini de points; ces points étant combinaisons linéaires des $\mathbf{a}_i$ à coefficients rationnels, il existe un entier d tel qu’ils soient combinaisons linéaires à coefficients entiers des p points $(1/d)\mathbf{a}_i = \mathbf{a}'_i$; il en résulte que G est un sous-groupe du groupe engendré par les $\mathbf{a}'_i$.

On peut démontrer le th. 1 sans faire appel à la théorie des facteurs invariants (cf. VII, p. 19, exerc. 1). Les sous-groupes discrets de $\mathbf{R}^n$ qui sont de rang n sont encore appelés des réseaux dans $\mathbf{R}^n$.

En effet, soit $(\mathbf{x}_p)_{p \in \mathbf{N}}$ une suite infinie de points de G, tels que $\mathbf{x}_p \neq 0$ et $\lim_{p \to \infty} \mathbf{x}_p = 0$; une telle suite existe d’après l’hypothèse. Soit P un cube ouvert de centre 0 contenant les $\mathbf{x}_p$. Désignons par $k_p$ le plus grand les entiers $h > 0$ tels que $h \mathbf{x}_p \in P$ (comme P est un pavé borné et $\mathbf{x}_p \neq 0$, l’existence de $k_p$ résulte de l’axiome d’Archimède). Les points $k_p \mathbf{x}_p$ appartiennent à l’ensemble compact $\overline{P}$; la suite $(k_p \mathbf{x}_p)_{p \in \mathbf{N}}$ a donc une valeur d’adhérence $\mathbf{a} \in \overline{P}$. D’ailleurs, si $\|k_p \mathbf{x}_p - \mathbf{a}\| \leq \varepsilon$, on a $\|(k_p + 1) \mathbf{x}_p - \mathbf{a}\| \leq \varepsilon + \|\mathbf{x}_p\|$, et comme $\lim_{p \to \infty} \mathbf{x}_p = 0$, $\mathbf{a}$ est aussi valeur d’adhérence de la suite $((k_p + 1) \mathbf{x}_p)$, dont les points appartiennent à l’ensemble fermé $\mathscr{C} P$, d’après la définition de $k_p$; on a donc $\mathbf{a} \in \overline{P} \cap \mathscr{C} P$ (frontière de P, fig. 5), ce qui entraîne $\mathbf{a} \neq 0$; en outre, comme G est fermé, $\mathbf{a} \in G$. Soit alors t un nombre réel quelconque; comme $|t k_p - [t k_p]| < 1$ la relation $\|k_p x_p - a\| \leq \varepsilon$ entraîne $\|[(tk_p)x_p - ta\| \leq |t|\varepsilon + \|x_p\|$; comme $\lim_{p \to \infty} x_p = 0$, $ta$ est valeur d’adhérence de la suite $[tk_p]x_p$; les points de cette suite appartenant à $G$, on a $ta \in G$, puisque $G$ est fermé. La proposition est ainsi démontrée.

!Figure 5 Figure 5

!Figure 6 Figure 6

Démontrons d’abord l’existence de $V$ en prouvant que la réunion des droites contenues dans $G$ et passant par $0$ est un sous-espace vectoriel: en effet, le sous-espace vectoriel engendré par la réunion de ces droites est identique au sous-groupe engendré par cette réunion. Le groupe $G$ est somme directe de $V$ et de $W \cap G$, car pour tout $x \in G$, on a $x = y + z$, avec $y \in V$, $z \in W$; comme $V \subset G$, on a $z = x - y \in G$, donc $z \in W \cap G$. Reste à prouver que $W \cap G$ est discret; cela résulte de la prop. 3 (VII, p. 4), car $W \cap G$ est un sous-groupe fermé, et ne contient aucune droite, en vertu de la définition de $V$.

D’une manière imagée, lorsque $G \neq V$, on peut dire que $G$ est la réunion d’une infinité dénombrable de variétés linéaires parallèles à $V$, passant par les points du groupe discret $W \cap G$ (fig. 6).

Si $p$ est la dimension du sous-espace vectoriel $V$, on a $p \leq r$, et $W \cap G$ est un sous-groupe discret de rang $r - p$.

C’est une conséquence immédiate du cor. 1.

Le cor. 2 du th. 2 montre qu’un sous-groupe fermé $G$ de $\mathbf{R}^n$ est entièrement déterminé, à isomorphisme près, par la donnée de deux entiers $\geqslant 0$: son rang que nous noterons $r(G)$, et la dimension du plus grand sous-espace vectoriel contenu dans $G$, nombre que nous noterons $d(G)$ et appellerons dimension du sous-groupe $G$; les seules conditions que doivent remplir ces deux entiers sont les inégalités $0 \leqslant d(G) \leqslant r(G) \leqslant n$.

Appliquons le même raisonnement à $G^*$; en remarquant que la base duale de $(\mathbf{a}_i')$ est $(\mathbf{a}_i)$, on voit que:

Appliquons cette caractérisation des points adhérents à un sous-groupe G, au cas du sous-groupe G engendré par les $n$ vecteurs $\mathbf{e}_j$ de la base canonique $(1 \leq j \leq n)$, et par un nombre quelconque $m$ de points $\mathbf{a}_i$ $(1 \leq i \leq m)$ de $\mathbf{R}^n$. Dire que $(\mathbf{u} \mid \mathbf{e}_j)$ est entier pour $1 \leq j \leq n$ signifie que les $n$ coordonnées de $\mathbf{u}$ sont entières; donc:

Proposition 7 (Kronecker). — Soient $\mathbf{a}_i = (a_{ji})$ $(1 \leq i \leq m, 1 \leq j \leq n)$ m points de $\mathbf{R}^n$, $\mathbf{b} = (b_j)$ $(1 \leq j \leq n)$ un point de $\mathbf{R}^n$. Afin que, pour tout $\varepsilon > 0$, il existe m entiers $q_i$ $(1 \leq i \leq m)$ et n entiers $p_j$ $(1 \leq j \leq n)$ tels que

En effet, si G est dense dans $\mathbf{R}^n$, c’est-à-dire si $\overline{G} = \mathbf{R}^n$, $G^*$ est réduit à 0, et réciproquement.

En particulier, pour $m = 1$:

On peut interpréter ce résultat de la façon suivante: pour tout entier $q \in \mathbf{Z}$, désignons par $\mathbf{x}_q$ le point de coordonnées $q\theta_j - [q\theta_j]$ ($1 \leq j \leq n$); alors le cor. 2 donne une condition nécessaire et suffisante pour que l’ensemble des $\mathbf{x}_q$ soit dense dans le cube produit des intervalles $(0, 1)$ des espaces facteurs de $\mathbf{R}^n$.

En effet, pour que $(\mathbf{u} \mid \mathbf{x} + \mathbf{y})$ soit entier quels que soient $\mathbf{x} \in G_1$ et $\mathbf{y} \in G_2$, il faut et il suffit que $(\mathbf{u} \mid \mathbf{x})$ soit entier pour tout $\mathbf{x} \in G_1$ et que $(\mathbf{u} \mid \mathbf{y})$ soit entier pour tout $\mathbf{y} \in G_2$, en raison de la relation $(\mathbf{u} \mid \mathbf{x} + \mathbf{y}) = (\mathbf{u} \mid \mathbf{x}) + (\mathbf{u} \mid \mathbf{y})$; on a donc $(G_1 + G_2)^* = G_1^* \cap G_2^*$ pour tout couple de sous-groupes $G_1, G_2$ de $\mathbf{R}^n$. Si maintenant on suppose $G_1$ et $G_2$ fermés, on a $(G_1^* + G_2^*)^* = G_1 \cap G_2$ d’après la prop. 6 (VII, p. 7), d’où, en prenant les groupes associés, et appliquant de nouveau la prop. 6, $(G_1 \cap G_2)^* = \overline{G_1^* + G_2^*}$.

L’espace produit $T^n$ (et, par abus de langage, le groupe topologique $T^n$) est appelé tore à n dimensions; d’après la prop. 4 de V, p. 2, c’est un espace compact, connexe et localement connexe.

En outre, si on désigne par C un cube fermé de côté 1 dans $\mathbf{R}^n$, $T^n$ est homéomorphe à l’espace quotient de C par la relation d’équivalence: « quel que soit i, $x_i \equiv y_i \pmod{1}$ » entre les points $\mathbf{x} = (x_i)$ et $\mathbf{y} = (y_i)$ de C. De façon plus imagée on dit que $T^n$ provient du cube C par « identification des faces opposées ».

Il en résulte que les groupes $\mathbf{R}^p \times T^{n-p}$ sont localement isomorphes à $\mathbf{R}^n$ pour $0 \leq p \leq n$; nous verrons dans VII, p. 13, que ce sont les seuls groupes connexes ayant cette propriété.

Soit $f : \mathbf{R} \to \mathbf{T}$ l’homomorphisme canonique. Les sous-groupes fermés de $\mathbf{T}$ sont les $f(H)$, où H est un sous-groupe fermé de $\mathbf{R}$ contenant $\mathbf{Z}$. D’après VII, p. 5, cor. 1 du th. 2, on a soit $H = \mathbf{R}$, c’est-à-dire $f(H) = \mathbf{T}$, soit $H = (1/n)\mathbf{Z}$, où $n$ est un entier $> 0$, auquel cas $f(H)$ est cyclique d’ordre $n$ et est l’ensemble des éléments de $\mathbf{T}$ dont l’ordre divise $n$. La dernière assertion résulte de l’existence d’un isomorphisme de $\mathbf{R}/H$ sur $\mathbf{T}/f(H)$.

Il résulte notamment de ce qui précède que $T^n$ et $T^m$ ne peuvent être algébriquement isomorphes que si $n = m$. En effet, $T^n$ possède $2^n - 1$ points d’ordre 2 et $2^n - 1 \neq 2^m - 1$ si $n \neq m$.

Tout groupe quotient séparé de $T^n$ est compact; il est donc isomorphe à un groupe quotient compact de $\mathbf{R}^n$, donc à un groupe $T^k$, $0 \leq k \leq n$ (VII, p. 8, prop. 9).