Il suffit de montrer que, pour tout $x \in \mathbf{R}^m$ et tout $t \in \mathbf{R}$, on a $f(tx) = tf(x)$. Le raisonnement est le même que celui de la prop. 5 de V, p. 2 en remplaçant $x$ par $x$ et $\mathbf{R}$ par $\mathbf{R}^m$.

Par le même raisonnement que dans la prop. 6 de V, p. 3, on prouve d’abord que l’homomorphisme prolongeant $f$, s’il existe, est unique. D’autre part, le sous-groupe $G_1$ de $G$, engendré par $f(A)$, est commutatif; en effet, si $x$ et $y$ sont deux points quelconques de $A$, $\frac{1}{2}x$, $\frac{1}{2}y$ et $\frac{1}{2}(x + y)$ appartiennent à $A$, donc on a $f(\frac{1}{2}(x + y)) = f(\frac{1}{2}x)f(\frac{1}{2}y) = f(\frac{1}{2}y)f(\frac{1}{2}x)$, ce qui prouve que $f(\frac{1}{2}x)$ et $f(\frac{1}{2}y)$ sont permutables; il en est donc de même de $f(x) = (f(\frac{1}{2}x))^2$ et $f(y) = (f(\frac{1}{2}y))^2$, ce qui montre que deux éléments quelconques de $f(A)$ sont permutables.

Soient $a_1, a_2, \ldots, a_n$ $n$ vecteurs non nuls contenus dans $A$ et proportionnels aux vecteurs de base de ce parallélétope; pour chaque indice $i$, soit $D_i$ la droite passant par $0$ et $a_i$, ensemble des points $ta_i$ où $t$ parcourt $\mathbf{R}$. Soit $A_i$ l’ensemble des $t \in \mathbf{R}$ tels que $ta_i \in A$; $A_i$ est un intervalle contenant $(0, 1)$, et la fonction $f_i(t) = f(ta_i)$ est définie et continue dans $A_i$ et satisfait à la relation

pour $t \in A_i, t' \in A_i$ et $t + t' \in A_i$. D’après la prop. 6 de V, p. 3, il existe un homomorphisme continu $\bar{f}_i$ de $\mathbf{R}$ dans $G$ qui prolonge $f_i$. Comme $\mathbf{R}^n$ est somme directe des sous-groupes $D_i$, on définit un homomorphisme $\bar{f}$ de $\mathbf{R}^n$ dans le groupe commutatif $G_1$ en posant, pour tout $x = \sum_{i=1}^n t_i a_i$, $\bar{f}(x) = \sum_{i=1}^n \bar{f}_i(t_i)$; $\bar{f}$ est un prolongement de $f$, puisque, si $x \in A$, tous les composants $x_i$ de $x$ sur les $D_i$ appartiennent aussi à $A$, d’après le choix des $a_i$; en outre, $\bar{f}$ est continu dans $\mathbf{R}^n$, puisqu’il est continu sur chacune des droites $D_i$, et que $t_i$ est fonction linéaire (donc continue) de $x$.

Il suffit de prendre pour $W$ un pavé ouvert de centre $0$, contenu dans $V$, et de lui appliquer la prop. 2.

Nous verrons au chap. XI que cette propriété de $\mathbf{R}^n$ s’étend à une catégorie plus générale de groupes topologiques, les groupes « simplement connexes ».

En effet, soit $\bar{f}$ l’homomorphisme continu de $\mathbf{R}^n$ dans $G$ qui coïncide avec $f$ en tous les points d’un voisinage de $0$; $\bar{f}(\mathbf{R}^n)$ contient par hypothèse un voisinage de l’élément neutre de $G$, donc (III, p. 7, corollaire) est un sous-groupe ouvert de $G$; en outre, $\bar{f}$ est un morphisme strict de $\mathbf{R}^n$ sur $\bar{f}(\mathbf{R}^n)$, d’après III, p. 16, prop. 24.

Supposons $\mathbf{R}^n$ et $\mathbf{R}^m$ localement isomorphes. D’après le cor. 2 et la prop. 1 de VII, p. 11, il existe une application linéaire $f$ de $\mathbf{R}^m$ sur $\mathbf{R}^n$ qui est un isomorphisme local. Alors $f$ est injective, et par suite $m = n$.

Soit $G$ un groupe topologique. Le corollaire précédent montre qu’il existe au plus un entier $n$ tel que $G$ soit localement isomorphe à $\mathbf{R}^n$.

D’après le cor. 2 de la prop. 2, il existe un morphisme $f$ de $\mathbf{R}^n$ dans $G$, qui est un isomorphisme local, et qui se prolonge en un morphisme strict de $\mathbf{R}^n$ sur un sous-groupe ouvert de $G$. Comme $G$ est connexe, on a $f(\mathbf{R}^n) = G$; le noyau $H$ de $f$ est discret, puisque son intersection avec un voisinage convenable de 0 dans $\mathbf{R}^n$ est réduite à 0. Soient $W$ le sous-espace vectoriel de $\mathbf{R}^n$ engendré par $H$, $q$ sa dimension, et $V'$ un supplémentaire de $W$. D’après le th. 1 de VII, p. 4, le sous-groupe $K = f(W)$ de $G$ est isomorphe à $T^q$; le sous-groupe $V = f(V')$ de $G$ est isomorphe à $\mathbf{R}^{n-q}$, et le groupe topologique $G$ est le produit direct de ses sous-groupes $K$ et $V$ (III, p. 18, cor. de la prop. 26). Soit $u$ la projection de $G$ sur $V$, de noyau $K$, associée à cette décomposition; si $L$ est un sous-groupe compact de $G$, $u(L)$ est un sous-groupe compact de $V$ (I, p. 63, cor. 1 du th. 2), donc est réduit à 0 (VII, p. 6, cor. 2 du th. 2); on a donc $L \subset K$ et $K$ est bien le plus-grand sous-groupe compact de $G$. Enfin, tout élément de torsion de $G$ engendre un sous-groupe fini, donc appartient à $K$ d’après ce qui précède; le sous-groupe de torsion de $G$ est donc le sous-groupe de torsion de $K$; comme le sous-groupe de torsion de $T^q = (\mathbf{R}/\mathbf{Z})^q$ est $(\mathbf{Q}/\mathbf{Z})^q$, le groupe $K$ est l’adhérence de son sous-groupe de torsion, ce qui achève la démonstration.

Soit $f$ un homomorphisme continu de $\mathbf{R}^m$ dans $T^n$; nous allons montrer qu’il existe une application linéaire $u$ de $\mathbf{R}^m$ dans $\mathbf{R}^n$ telle que les homomorphismes $x \mapsto f(x)$ et $x \mapsto \varphi(u(x))$ coïncident en tous les points d’un voisinage de 0 dans $\mathbf{R}^m$; la proposition à démontrer en résultera, d’après VII, p. 12, cor. 1. Or, soit $V$ un voisinage de 0 dans $\mathbf{R}^n$ tel que $\varphi$, restreint à $V$, soit un isomorphisme local de $\mathbf{R}^n$ à $\mathbf{T}^n$; soit $\psi$ l’isomorphisme local réciproque défini dans $\varphi(V)$. Comme $f$ est continue, $V' = f^{-1}(\varphi(V))$ est un voisinage de 0 dans $\mathbf{R}^m$; l’application $x \mapsto \psi(f(x))$ restreinte à $V'$, est une application continue de $V'$ dans $\mathbf{R}^n$, telle que

pour tout couple de points de $\mathbf{R}^m$ tels que $x \in V', \ y \in V', \ x + y \in V'$; donc (VII, p. 12, cor. 1), cette application coïncide avec un homomorphisme continu bien déterminé $u$ de $\mathbf{R}^m$ dans $\mathbf{R}^n$, en tous les points d’un voisinage $W$ de 0 dans $\mathbf{R}^m$; d’après la prop. 1 de VII, p. 11, $u$ est d’ailleurs une application linéaire de $\mathbf{R}^m$ dans $\mathbf{R}^n$; pour tout $x \in W$, on a donc $f(x) = \varphi(u(x))$, ce qui achève la démonstration.

Il revient au même de dire (VII, p. 2) que, si $u(\mathbf{e}_i) = \sum_{j=1}^n a_{ij} \mathbf{e}_j$, les $a_{ij}$ doivent être des entiers tels que le déterminant $\det(a_{ij})$, soit égal à $+1$, ou à $-1$, autrement dit on doit avoir $(a_{ij}) \in \mathbf{GL}(n, \mathbf{Z})$.

On peut aussi présenter ce résultat de la manière suivante: à chaque matrice $(a_{ij}) \in \mathbf{GL}(n, \mathbf{Z})$, associons l’automorphisme $(u_j) \mapsto \left( \sum_i a_{ij} u_i \right)$ de $\mathbf{T}^n$. L’application de $\mathbf{GL}(n, \mathbf{Z})$ dans le groupe des automorphismes du groupe topologique $\mathbf{T}^n$ ainsi définie est un isomorphisme.

En particulier, pour $n = 1$: