Bourbaki

§ 3. Sommes infinies dans les groupes Rn\mathbf{R}^n

1. Familles sommables dans Rn\mathbf{R}^n

Comme tout point de Rn\mathbf{R}^n possède un système fondamental dénombrable de voisinages, une famille (xi)(\mathbf{x}_i) de points du groupe additif Rn\mathbf{R}^n ne peut être sommable que si l’ensemble des ii tels que xi≠0\mathbf{x}_i \neq 0 est dénombrable (III, p. 38, corollaire), ce qui ramène essentiellement l’étude des familles sommables dans Rn\mathbf{R}^n à celle des suites sommables. Toutefois, pour les mêmes raisons que celles qui ont été exposées au sujet des familles sommables dans R\mathbf{R} (IV, p. 32), nous ne ferons, dans les énoncés qui suivent, aucune restriction sur la puissance de l’ensemble des indices.

Proposition 1

Pour qu’une famille (xi)i∈I(\mathbf{x}_i)_{i \in I} de points xi=(xi,k)1≤k≤n\mathbf{x}_i = (x_{i,k})_{1 \leq k \leq n} de Rn\mathbf{R}^n soit sommable, il faut et il suffit que chacune des nn familles (xi,k)i∈I(x_{i,k})_{i \in I} de nombres réels soit sommable dans R\mathbf{R}.

Cela résulte de la prop. 4 de III, p. 41. Cette condition se transforme de la manière suivante:

Théorème 1

Pour qu’une famille (xi)i∈I(\mathbf{x}_i)_{i \in I} de points de Rn\mathbf{R}^n soit sommable, il faut et il suffit que la famille (∥xi∥)(\|\mathbf{x}_i\|) des normes euclidiennes des xi\mathbf{x}_i soit sommable dans R\mathbf{R}.

Cela résulte sans peine de la prop. 1, de la condition de sommabilité d’une famille de nombres réels (IV, p. 34, th. 3), des inégalités

sup⁡1≤k≤n∣xi,k∣≤∥xi∥≤∑i=1n∣xi,i∣, \sup_{1 \leq k \leq n} |x_{i,k}| \leq \|\mathbf{x}_i\| \leq \sum_{i=1}^n |x_{i,i}|,

et du principe de comparaison (IV, p. 33, th. 2).

On peut procéder un peu autrement, en établissant d’abord la proposition suivante:

Proposition 2

Pour toute famille finie (xi)i∈I(\mathbf{x}_i)_{i \in I} de points de Rn\mathbf{R}^n, on a

(1)

∑i∈I∥xi∥≤2n⋅sup⁡J⊂I∥∑i∈Jxi∥. \sum_{i \in I} \|\mathbf{x}_i\| \leq 2n \cdot \sup_{J \subset I} \|\sum_{i \in J} \mathbf{x}_i\|.

En effet, si xi=(xij)1≤j≤n\mathbf{x}_i = (x_{ij})_{1 \leq j \leq n}, on a ∥xi∥≤∑j=1n∣xij∣\|\mathbf{x}_i\| \leq \sum_{j=1}^n |x_{ij}|, donc

∑i∈I∥xi∥≤∑j=1n(∑i∈I∣xij∣). \sum_{i \in I} \|\mathbf{x}_i\| \leq \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i \in I} |x_{ij}| \right).
Or,
∑i∈I∣xij∣=∑i∈Ixij++∑i∈Ixij−, \sum_{i \in I} |x_{ij}| = \sum_{i \in I} x_{ij}^+ + \sum_{i \in I} x_{ij}^-,
et comme, pour toute partie JJ de II, on a
−∑i∈Ixij−≤−∑i∈Jxij−≤∑i∈Jxij≤∑i∈Jxij+≤∑i∈Ixij+, -\sum_{i \in I} x_{ij}^- \leq -\sum_{i \in J} x_{ij}^- \leq \sum_{i \in J} x_{ij} \leq \sum_{i \in J} x_{ij}^+ \leq \sum_{i \in I} x_{ij}^+,
on en déduit
∑i∈I∣xij∣≤2⋅sup⁡J⊂I∣∑i∈Jxij∣. \sum_{i \in I} |x_{ij}| \leq 2 \cdot \sup_{J \subset I} |\sum_{i \in J} x_{ij}|.
Mais ∣∑i∈Jxij∣≤∥∑i∈Jxi∥|\sum_{i \in J} x_{ij}| \leq \|\sum_{i \in J} \mathbf{x}_i\|, d’où l’inégalité (1).

D’autre part, le th. 1 équivaut à la proposition suivante (puisque Rn\mathbf{R}^n est un groupe complet): pour que la famille (xt)(\mathbf{x}_t) satisfasse au critère de Cauchy (III, p. 38, th. 1), il faut et il suffit que la famille (∣∣xt∣∣)(||\mathbf{x}_t||) satisfasse aussi à ce critère. Or l’inégalité du triangle montre que cette condition est suffisante, et l’inégalité (1) montre qu’elle est nécessaire. En outre, on a l’inégalité

∣∑txt∣≤∑t∣xt∣, \left| \sum_t \mathbf{x}_t \right| \leq \sum_t \left| \mathbf{x}_t \right|,
qu’on déduit par passage à la limite de l’inégalité analogue pour les sommes partielles finies.

Corollaire

Pour qu’une famille (xt)(\mathbf{x}_t) de points de Rn\mathbf{R}^n soit sommable, il faut et il suffit que l’ensemble des sommes partielles finies de cette famille soit borné dans Rn\mathbf{R}^n.* D’après le th. 1 (VII, p. 16) et l’inégalité du triangle, cette condition est nécessaire; elle est suffisante d’après l’inégalité (1) et le th. 1.

Proposition 3

Soient (xλ)λ∈L(\mathbf{x}_\lambda)_{\lambda \in L} une famille sommable de points de Rm\mathbf{R}^m, (yμ)μ∈M(\mathbf{y}_\mu)_{\mu \in M} une famille sommable de points de Rn\mathbf{R}^n, ff une application bilinéaire de Rm×Rn\mathbf{R}^m \times \mathbf{R}^n dans Rp\mathbf{R}^p. La famille (f(xλ,yμ))(λ,μ)∈L×M(f(\mathbf{x}_\lambda, \mathbf{y}_\mu))_{(\lambda, \mu) \in L \times M} est sommable, et l’on a*

∑(λ,μ)∈L×Mf(xλ,yμ)=f(∑λ∈Lxλ,∑μ∈Myμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} f(\mathbf{x}_\lambda, \mathbf{y}_\mu) = f\left( \sum_{\lambda \in L} \mathbf{x}_\lambda, \sum_{\mu \in M} \mathbf{y}_\mu \right).
Pour montrer que la famille des f(xλ,yμ)f(\mathbf{x}_\lambda, \mathbf{y}_\mu) est sommable, il suffit (VII, p. 16, prop. 1) d’établir que chacune des pp familles formées par les coordonnées des f(xλ,yμ)f(\mathbf{x}_\lambda, \mathbf{y}_\mu) dans Rn\mathbf{R}^n est sommable; autrement dit, on peut se limiter au cas où ff est une forme bilinéaire; mais, pour une telle forme ff, on a f(x,y)=∑i,jaijxiyjf(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = \sum_{i,j} a_{ij} x_i y_j, donc on est ramené au cas où f(x,y)=xiyjf(\mathbf{x}, \mathbf{y}) = x_i y_j, et dans ce cas la proposition a déjà été démontrée (IV, p. 35, prop. 1).

En spécialisant la fonction ff, on a en particulier les corollaires suivants:

Corollaire 1

Si (aλ)λ∈L(a_\lambda)_{\lambda \in L} est une famille sommable de nombres réels, (xμ)μ∈M(\mathbf{x}_\mu)_{\mu \in M} une famille sommable de points de Rn\mathbf{R}^n, la famille (aλxμ)(λ,μ)∈L×M(a_\lambda \mathbf{x}_\mu)_{(\lambda, \mu) \in L \times M} est sommable, et l’on a*

∑(λ,μ)∈L×Maλxμ=(∑λ∈Laλ)(∑μ∈Mxμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} a_\lambda \mathbf{x}_\mu = \left( \sum_{\lambda \in L} a_\lambda \right) \left( \sum_{\mu \in M} \mathbf{x}_\mu \right).

Corollaire 2

Si (xλ)λ∈L(\mathbf{x}_\lambda)_{\lambda \in L} et (yμ)μ∈M(\mathbf{y}_\mu)_{\mu \in M} sont deux familles sommables de points de Rn\mathbf{R}^n, la famille (xλ∣yμ)(\mathbf{x}_\lambda \mid \mathbf{y}_\mu) (cf. VI, p. 8) est sommable dans R\mathbf{R}, et l’on a*

∑(λ,μ)∈L×M(xλ∣yμ)=(∑λ∈Lxλ∣∑μ∈Myμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (\mathbf{x}_\lambda \mid \mathbf{y}_\mu) = \left( \sum_{\lambda \in L} \mathbf{x}_\lambda \mid \sum_{\mu \in M} \mathbf{y}_\mu \right).

2. Séries dans Rn\mathbf{R}^n

Pour qu’une série de terme général xm=(xmi)1≤i≤n\mathbf{x}_m = (x_{mi})_{1 \leq i \leq n} soit convergente dans Rn\mathbf{R}^n, il faut et il suffit évidemment que chacune des nn séries (xmi)m∈N(x_{mi})_{m \in \mathbf{N}} soit convergente dans R\mathbf{R}.

Définition 1

Une série de points de Rn\mathbf{R}^n est dite absolument convergente si la série des normes euclidiennes de ses termes est convergente.

Proposition 4

Pour qu’une série de points de Rn\mathbf{R}^n, soit commutativement convergente, il faut et il suffit qu’elle soit absolument convergente.

C’est une conséquence de la prop. 9 de III, p. 44, et du th. 1 (VII, p. 16).

Les exemples de IV, p. 38, montrent que, dans Rn\mathbf{R}^n, une série peut être convergente sans être absolument convergente.

Exercises

Exercices

See the exercises for § 3.

Transcribed from the printed volume. Not translated.