Note historique

(N.-B. — Les chiffres romains entre parenthèses renvoient à la bibliographie placée à la fin de cette note.)

Au langage près, les résultats essentiels de l’étude des sous-groupes et des groupes quotients des groupes additifs $\mathbf{R}^n$ sont connus depuis la fin du xixe siècle. De nombreuses questions d’arithmétique et d’analyse avaient en effet conduit à chercher la structure des sous-groupes de $\mathbf{R}^n$ engendrés par un nombre fini de points. C’est ainsi que Lagrange, développant la théorie des fractions continues, montre en passant que, pour tout nombre réel $\theta$, il existe des entiers $m, n$ non tous nuls, tels que $m - n\theta$ soit arbitrairement petit ((I), t. VII, p. 27). En 1835, Jacobi, en vue de ses recherches sur les fonctions analytiques périodiques de plusieurs variables complexes, montre que, si $\mathbf{x}, \mathbf{y}, \mathbf{z}$ sont trois vecteurs de $\mathbf{R}^2$, il existe des entiers non tous nuls $m, n, p$, rendant arbitrairement petit le vecteur $m\mathbf{x} + n\mathbf{y} + p\mathbf{z}$ ((II), t. II, p. 25). Un peu plus tard, Dirichlet, au cours de travaux sur la théorie des nombres algébriques, découvre sa célèbre « méthode des tiroirs » (cf. VII, p. 21, exerc. 10 et 11), grâce à laquelle il établit que $p$ formes $\alpha_{i1}m_1 + \alpha_{i2}m_2 + \cdots + \alpha_{in}m_n - q_i$ ($1 \leq i \leq p$) où les $\alpha_{ij}$ sont quelconques, les $m_j$ et les $q_i$ entiers (non tous nuls), peuvent être rendues arbitrairement petites simultanément ((III), t. I, p. 635). Par une tout autre méthode, Hermite arrive au même résultat en 1850, pour les formes particulières du type $m\theta_i - q_i$ ($1 \leq i \leq p$) ((IV), t. I, p. 105). Enfin, en 1884, Kronecker établit le résultat général énoncé dans la prop. 7 de VII, p. 7 ((V), t. III₁, p. 47).

Ces travaux étaient naturellement indépendants de la théorie générale des groupes abéliens localement compacts, celle-ci étant de création récente (voir Note historique du chap. III); mais cette dernière théorie, et en particulier la théorie de la dualité,$^1$ a fait apparaître sous un nouveau jour ces anciens travaux, en y mettant notamment en évidence la notion fondamentale de sous-groupes associés; c’est sur ces idées qu’est basé l’exposé du texte.$^2$

Le point de vue auquel nous nous sommes placé dans ce chapitre pour exposer ces résultats est exclusivement qualitatif, c’est-à-dire que nous avons démontré l’existence de combinaisons linéaires de $p$ points, à coefficients entiers, approchant autant qu’on veut un point donné (qui doit éventuellement satisfaire à des conditions convenables); mais on peut se demander s’il y a des relations entre l’approximation obtenue et la grandeur des coefficients des combinaisons linéaires qui la fournissent: c’est le point de vue quantitatif des « approximations

$^1$ Voir TS, ch. II, §1. $^2$ Un exposé analogue avait déjà été esquissé par Marcel Riesz. (Modules réciproques, Congrès Intern. des Math., Oslo, 1936, vol. II, p. 36.)

diophantiennes », auquel se placent tous les auteurs que nous venons de citer. Ces questions n’ont cessé, depuis un siècle, de faire l’objet de recherches très nombreuses et très variées, riches en applications à la Théorie des nombres; il n’entre pas dans notre propos de les développer ici, et nous nous bornerons à renvoyer le lecteur désireux de s’initier à ces théories, aux travaux fondamentaux de Minkowski (VI) et de H. Weyl (VII), qui sont à l’origine d’une très abondante littérature.¹

¹ Pour une bibliographie du sujet, voir par exemple J. Koksma, Diophantische Approximationen, Berlin (Springer), 1936 et W. M. Schmidt, Approximation to algebraic numbers, L’Enseignement mathématique, 17, p. 187–253, 1971.

(I) J. L. Lagrange, Œuvres, t. VII, Paris (Gauthier-Villars), 1877. (II) C. G. J. Jacobi, Gesammelte Werke, t. II, Berlin (G. Reimer), 1882. (II bis) C. G. J. Jacobi, Ueber die vierfach periodischen Funktionen zweier Variabeln (Ostwald’s Klassiker, n° 64, Leipzig (Engelmann), 1895). (III) P. G. Lejeune-Dirichlet, Werke, t. I, Berlin (G. Reimer), 1889. (IV) Ch. Hermite, Œuvres, t. I, Paris (Gauthier-Villars), 1905. (V) L. Kronecker, Werke, t. III₁, Leipzig (Teubner), 1899. (VI) H. Minkowski, Gesammelte Abhandlungen, 2 vol., Leipzig-Berlin (Teubner), 1911. (VII) H. Weyl, Ueber die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins, Math. Ann., t. LXXVII (1916), p. 313 (= Selecta, Basel-Stuttgart (Birkhäuser), 1956, p. 111).