Bourbaki

3. Các tổng vô hạn trong các nhóm Rn\mathbf{R}^n

1. Các họ khả tổng trong Rn\mathbf{R}^n

Vì mọi điểm của Rn\mathbf{R}^n đều có một hệ cơ bản đếm được các lân cận, một họ (xt)(x_t) các điểm của nhóm cộng Rn\mathbf{R}^n chỉ khả tổng nếu tập hợp các chỉ số tt sao cho Xt≠0X_t \neq 0 là đếm được (Chương III, § 5, no. 2, Hệ quả của Mệnh đề 1); do đó, về cơ bản, việc nghiên cứu các họ khả tổng

Mệnh đề 1

Một họ* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} các điểm xi=(xi,k)1≤k≤nx_i = (x_{i,k})_{1 \leq k \leq n} của Rn\mathbf{R}^n là khả tổng khi và chỉ khi mỗi một trong nn họ (xi,k)i∈I(x_{i,k})_{i \in I} các số thực là khả tổng trong R\mathbf{R}.

Điều này suy ra từ Chương III, § 5, no. 4, Mệnh đề 4.

Điều kiện của Mệnh đề 1 có thể được biến đổi như sau:

Định lý 1

Một họ* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} các điểm của Rn\mathbf{R}^n là khả tổng khi và chỉ khi họ (∣∣xi∣∣)(||x_i||) các chuẩn Euclid của các xix_i là khả tổng trong R\mathbf{R}.

Điều này suy ra không khó từ Mệnh đề 1, điều kiện để một họ các số thực khả tổng (Chương IV, § 7, no. 2, Định lý 3), các bất đẳng thức

sup⁡1≤k≤n∣xi,k∣≤∣∣xi∣∣≤∑i=1n∣xi,i∣, \sup_{1 \leq k \leq n} |x_{i,k}| \leq ||x_i|| \leq \sum_{i=1}^n |x_{i,i}|,

và nguyên lý so sánh (Chương IV, § 7, no. 1, Định lý 2).

Cũng có thể tiến hành hơi khác, bằng cách trước hết chứng minh mệnh đề sau:

Mệnh đề 2

Nếu* (xi)i∈I(x_i)_{i \in I} là một họ hữu hạn bất kỳ các điểm trong Rn\mathbf{R}^n, *thì

∑i∈I∣∣xi∣∣≤2n⋅sup⁡J⊂I∣∑i∈Jxi∣. \sum_{i \in I} ||x_i|| \leq 2n \cdot \sup_{J \subset I} \left| \sum_{i \in J} x_i \right|.

Vì nếu xi=(xij)1≤j≤nx_i = (x_{ij})_{1 \leq j \leq n}, ta có ∣∣xi∣∣≤∑j=1n∣xij∣||x_i|| \leq \sum_{j=1}^n |x_{ij}|, do đó

∑i∈I∣∣xi∣∣≤∑j=1n(∑i∈I∣xij∣). \sum_{i \in I} ||x_i|| \leq \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i \in I} |x_{ij}| \right).

Bây giờ ∑i∈I∣xij∣=∑i∈Ixij++∑i∈Ixij−\sum_{i \in I} |x_{ij}| = \sum_{i \in I} x_{ij}^+ + \sum_{i \in I} x_{ij}^-, và vì với mọi tập con JJ của II ta có

−∑i∈Ixij−≤−∑i∈Jxij−≤∑i∈Jxij+≤∑i∈Ixij+ -\sum_{i \in I} x_{ij}^- \leq -\sum_{i \in J} x_{ij}^- \leq \sum_{i \in J} x_{ij}^+ \leq \sum_{i \in I} x_{ij}^+

suy ra rằng

∑i∈I∣xij∣≤2⋅sup⁡J⊂I∣∑i∈Jxij∣. \sum_{i \in I} |x_{ij}| \leq 2 \cdot \sup_{J \subset I} \left| \sum_{i \in J} x_{ij} \right|.

Nhưng ∣∑i∈Jxij∣≤∣∑i∈Jxij∣\left| \sum_{i \in J} x_{ij} \right| \leq \left| \sum_{i \in J} x_{ij} \right|, do đó ta được bất đẳng thức (1).

Bây giờ, Định lý 1 tương đương với mệnh đề sau (vì Rn\mathbf{R}^n là một nhóm đầy đủ): họ (xi)(x_i) thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy (Chương III, § 5, no. 2, Định lý 1) khi và chỉ khi họ (∣∣xi∣∣)(||x_i||) cũng thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy. Bây giờ bất đẳng thức tam giác cho thấy điều kiện này là đủ, và bất đẳng thức (1) cho thấy nó là cần.

Hơn nữa ta có bất đẳng thức

∣∑ixi∣≤∑i∣∣xi∣∣ \left| \sum_i x_i \right| \leq \sum_i ||x_i||

bất đẳng thức này có được bằng cách chuyển qua giới hạn từ bất đẳng thức tương ứng đối với các tổng riêng hữu hạn.

Hệ quả

Một họ* (xi)(x_i) các điểm của Rn\mathbf{R}^n là khả tổng khi và chỉ khi tập hợp các tổng riêng hữu hạn của họ bị chặn trong Rn\mathbf{R}^n.

Theo Định lý 1 và bất đẳng thức tam giác, điều kiện này là cần; nó là đủ theo bất đẳng thức (1) và Định lý 1.

Mệnh đề 3

Cho* (xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L} là một họ khả tổng các điểm của Rm\mathbf{R}^m, (yμ)μ∈M(y_\mu)_{\mu \in M} là một họ khả tổng các điểm của Rn\mathbf{R}^n, và cho ff là một ánh xạ song tuyến tính từ Rm×Rn\mathbf{R}^m \times \mathbf{R}^n vào Rp\mathbf{R}^p. Khi đó họ (f(xλ,yμ))(λ,μ)∈L×M(f(x_\lambda, y_\mu))_{(\lambda, \mu) \in L \times M} *là khả tổng và ta có

∑(λ,μ)∈L×Mf(xλ,yμ)=f(∑λ∈μxλ,∑μ∈Myμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} f(x_\lambda, y_\mu) = f \left( \sum_{\lambda \in \mu} x_\lambda, \sum_{\mu \in M} y_\mu \right).

Để chứng minh rằng họ (f(xλ,yμ))(f(x_\lambda, y_\mu)) là khả tổng, theo Mệnh đề 1 chỉ cần chứng minh rằng mỗi một trong pp họ được tạo bởi các tọa độ của các điểm f(xλ,yμ)f(x_\lambda, y_\mu) trong Rn\mathbf{R}^n là khả tổng: nói cách khác, ta có thể hạn chế vào trường hợp ff là một dạng song tuyến tính; nhưng đối với một dạng như vậy ff ta có

f(x,y)=∑i,jaijxiyj, f(x, y) = \sum_{i, j} a_{ij} x_i y_j,

và do đó ta quy về trường hợp f(x,y)=xiyjf(x, y) = x_i y_j, và trong trường hợp này kết quả đã được chứng minh (Chương IV, § 7, no. 3, Mệnh đề 1).

Bằng cách chuyên biệt hóa hàm ff, ta thu được đặc biệt các hệ quả sau:

Hệ quả 1

Nếu* (aλ)λ∈L(a_\lambda)_{\lambda \in L} là một họ khả tổng các số thực và nếu (xμ)μ∈M(x_\mu)_{\mu \in M} là một họ khả tổng các điểm của Rn\mathbf{R}^n, thì họ (aλxμ)(λ,μ)∈L×M(a_\lambda x_\mu)_{(\lambda, \mu) \in L \times M} *là khả tổng và ta có

∑(λ,μ)∈L×Maλxμ=(∑λ∈Laλ)(∑μ∈Mxμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} a_\lambda x_\mu = \left( \sum_{\lambda \in L} a_\lambda \right) \left( \sum_{\mu \in M} x_\mu \right).

Hệ quả 2

Nếu* (xλ)λ∈L(x_\lambda)_{\lambda \in L} và (yμ)μ∈M(y_\mu)_{\mu \in M} là hai họ điểm khả tổng của Rn\mathbf{R}^n, thì họ (xλ∣yμ)(x_\lambda | y_\mu) (xem Chương VI, § 2, no. 2) là khả tổng trong R\mathbf{R}, *và ta có

∑(λ,μ)∈L×M(xλ∣yμ)=(∑λ∈Lxλ|∑μ∈Myμ). \sum_{(\lambda, \mu) \in L \times M} (x_\lambda | y_\mu) = \left( \sum_{\lambda \in L} x_\lambda \middle| \sum_{\mu \in M} y_\mu \right).

2. Chuỗi trong Rn\mathbf{R}^n

Một chuỗi có số hạng tổng quát là xm=(xmi)1≤i≤nx_m = (x_{mi})_{1 \leq i \leq n} hội tụ trong Rn\mathbf{R}^n khi và chỉ khi mỗi trong số nn chuỗi (xmi)m∈N(x_{mi})_{m \in \mathbf{N}} hội tụ trong R\mathbf{R}.

Định nghĩa 1

Một chuỗi các điểm của* Rn\mathbf{R}^n *được gọi là hội tụ tuyệt đối nếu chuỗi các chuẩn Euclid của các số hạng của nó hội tụ.

Mệnh đề 4

Một chuỗi các điểm của* Rn\mathbf{R}^n *được gọi là hội tụ giao hoán khi và chỉ khi nó hội tụ tuyệt đối.

Đây là một hệ quả của Mệnh đề 9 của Chương III, § 5, no. 7 và Định lý 1 ở trên.

Các ví dụ được cho trong Chương IV, § 7 cho thấy một chuỗi trong Rn\mathbf{R}^n có thể hội tụ mà không hội tụ tuyệt đối.

Bài tập

Xem các bài tập của § 3.

==========

Đó là toàn bộ đoạn văn. Hãy viết bản dịch của mọi thứ giữa hai dòng, rồi dừng lại.

Machine translation of the English, by gpt-5-6-mini, against glossary version 34. Not checked by a person. That model is a cut down version of the one the rest of this language was written by.